高中数学函数的奇偶性教学案

教学目标

1．了解函数的奇偶性及其几何意义；

2．学会运用函数图象理解和研究函数的性质；

3．学会利用定义判断函数的奇偶性．

教学重点与难点

本节课的重点是函数的奇偶性及其几何意义，教学难点是判断函数的奇偶性的方法与格式．

一、问题情景

●大自然中孕育着美——对称美

二、学生活动、建构数学

1、观察下列函数图象，总结这些函数图象的共性（图象关于y轴对称）．

                 y＝x2                            y＝|x|－1

以二次函数y＝f(x)＝x2为例，f(1)＝1，f(－1)＝1，f(2)＝4，f(－2)＝4，f(x0)＝x02，f(－x0)＝x02f(x0)＝f(－x0) f(x)是偶函数．

对于一般函数

点A关于y轴的对称点A’的坐标是(－x0，f (x0)) ．

点A’在函数的图象上吗？点A’的坐标还可以表示为__(－x0，f (－x0))__．因此f(x0)＝f(－x0) 是偶函数．

2、观察下列函数图象，总结这些函数图象的共性（图象关于原点对称）．

f(x0)＝－f(－x0) 是奇函数．

练习、根据下列函数图象，判断函数的奇偶性

         奇函数                         偶函数                    偶函数

●思考：如何用数学语言来准确表述函数的奇偶性？

三、数学理论、数用

奇函数、偶函数的定义

一般地，设函数的定义域为A．

如果对于任意的 x∈A ，都有f(－x)＝f(x)，那么称函数是偶函数．

如果对于任意的 x∈A ，都有f(－x)＝－f(x)，那么称函数是奇函数．

如果函数是奇函数或偶函数，就说此函数具有奇偶性．偶函数的图像关于y轴对称，奇函数的图像关于原点对称．为什么？

注意：．定义域优先；

．自变量的任意性；

．对于奇函数来讲，若0在定义域内，则必有；

．对于偶函数来讲，则必有．

函数的奇偶性定义

6．若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________．答案　0

【解】因函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，故f(－x)＝f(x)，即(－x)2－|－x＋a|＝x2－|x＋a|，故|－x＋a|＝|x＋a|，即|x－a|＝|x＋a|，故a＝0．

9．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是________．答案　

【解】依题意得b＝0，且2a＝－(a－1)，故a＝，则a＋b＝．

例1、判断下列函数的奇偶性：⑴．f(x)＝x2－1；⑵．f(x)＝2x；⑶．f(x)＝2|x|；⑷．f(x)＝(x－1)2．

【解】⑴．函数f(x)＝x2－1的定义域是R．因对于任意的x∈R，都有 f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1＝f(x)，故函数f(x)＝x2－1是偶函数．

⑵．奇函数；  

⑶．偶函数；

⑷．函数f(x)＝(x－1)2的定义域是R．因f(1)＝0，f(－1)＝4，故f(1)≠f(－1)， f(1)≠－f(－1)．因此，函数f(x)＝(x－1)2既不是奇函数也不是偶函数．

注：1、函数的奇偶性是“整体性质”，要说明函数不具有奇偶性只需举一反例即可．

2、用定义判断函数奇偶性的步骤：

⑴先求定义域，看是否关于原点对称；

⑵再判断f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是否恒成立．

练习：判断下列函数的奇偶性

⑴；⑵；⑶；⑷．

课内练习：教材第40页，练习1，2，3，4．

四、回顾反思

本节课主要学习了函数奇偶性的定义，能利用（1）图象法；（2）定义法来判定函数的奇偶性，从中体会了数形结合的思想．

课后作业

1．教材第40页，练习5、6． 

2．教材第43页，第5题、第9题．

3．判断下列函数的奇偶性：

⑴；⑵；⑶．

2．1．3 函数的奇偶性（二）

函数的奇偶性的应用

．画图像；

【例1】已知函数为偶函数，其在上的图像如图所示，请画出其在上的图像．

【练习1】已知函数为奇函数，其在上的图像如图所示，请画出其在上的图像．

．求值、比较大小

【例2】设是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝________．

【解】因是奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，故f(1)＝－f(－1)＝－[2×(－1)2－(－1)]＝－3．

【练习2】在(0，2)上是增函数，y＝f(x＋2)是偶函数，则f(1)，f()，f()的大小关系是__________．

【解】因y＝f(x＋2)是偶函数，f(x＋2)的图象向右平移2个单位即得的图象．故函数的图象关于直线x＝2对称，又因在(0，2)上是增函数，故在(2，4)上是减函数，且f(1)＝f(3)，由于>3>，故f()．求最极值；

【例3】若奇函数在[a，b]上是增函数，且有最大值M，则在[－b，－a]上是增函数，且有最小值－M．

【练习3】已知函数与均为奇函数，且函数在上的最大值为5，则函数在上的最小值为_______________．

．解方程、解不等式

【例4】已知函数为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是________．

【解】由于偶函数的图象关于y轴对称，故偶函数的图象与x轴的交点也关于y轴对称，因此，四个交点中，有两个在x轴的负半轴上，另两个在x轴的正半轴上，故四个实根的和为0．

【练习4】．定义在R上的偶函数在[0，＋∞)上是增函数，若，则a，b的大小关系为________．

【解】因为偶函数，故y＝f(x)＝f(|x|)，又，故f(|a|)．设奇函数在(0，＋∞)上为减函数，且f(1)＝0，则不等式＜0的解集为____________．

【解】因为奇函数，＜0，即＜0，因在(0，＋∞)上为减函数且f(1)＝0，故当x＞1时，f(x)＜0．因奇函数图象关于原点对称，故在(－∞，0)上为减函数且f(－1)＝0，即x＜－1时，f(x)＞0．综上使＜0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．

．求解析式；

【例5】　函数是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，求当x<0时，的解析式．

【解】设x<0，则－x>0，故f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1，又因函数是定义域为R的奇函数，故f(－x)＝－f(x)＝x＋1，故当x<0时，f(x)＝－x－1．

反思与感悟　求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x，此时－x成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式．

【练习5】设是偶函数，是奇函数，且f(x)＋g(x)＝，求函数，的解析式．

【解】因是偶函数，是奇函数，故f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，又f(x)＋g(x)＝①，用－x代换x得f(－x)＋g(－x)＝，故f(x)－g(x)＝②，(①＋②)÷2，得f(x)＝；(①－②)÷2，得g(x)＝．

．判断单调性(见第5讲)．

考察下列函数在和是的单调性与函数的奇偶性的关系

．；．；．；．；．；．．

思考1　观看下列两个偶函数的图象在y轴两侧的图象有何不同？可得出什么结论？

答　偶函数在y轴两侧的图象的升降方向是相反的；即偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．

思考2　观看下列两个奇函数的图象在y轴两侧的图象有何不同？可得出什么结论？

答　奇函数在y轴两侧的图象的升降方向是相同的；即奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同．

【例6】已知函数是奇函数，其定义域为(－1，1)，且在[0，1)上为增函数．若f(a－2)＋f(3－2a)<0，试求a的取值范围．

【解】因f(a－2)＋f(3－2a)<0，故f(a－2)<－f(3－2a)．又为奇函数，故f(a－2)反思与感悟　在奇、偶函数定义中，交换条件和结论仍成立．即若为奇函数，则f(－x)＝－f(x)．若为偶函数，则f(－x)＝f(x)．

【练习6】．已知是定义在(－1，1)上的奇函数，且在(－1，1)上是减函数，解不等式f(1－x)＋f(1－2x)＜0．

【解】因是定义在(－1，1)上的奇函数，故由f(1－x)＋f(1－2x)＜0，得f(1－x)＜－f(1－2x)．故f(1－x)＜f(2x－1)．又因在(－1，1)上是减函数，故解得0＜x＜．故原不等式的解集为(0，)．

．已知是定义在(－1，1)上的偶函数，且在[0，1)上是减函数，解不等式f(1－x)＜f(1－2x)．

作业

1．已知函数为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)＝________．

【解】f(－1)＝－f(1)＝－(1＋1)＝－2．

10．函数在R上为奇函数，且x>0时，f(x)＝＋1，则当x<0时，f(x)＝________．

【解】因为奇函数，x>0时，f(x)＝＋1，故当x<0时，－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－(＋1)，即x<0时，f(x)＝－(＋1)＝－－1．

2．1．3 函数的单调性和奇偶性

教学目标

4．更进一步理解函数单调性的概念及证明方法、判别方法；

5．更进一步理解函数奇偶性的概念及判别方法；

6．掌握函数的基本性质（单调性、奇偶性），能综合应用函数的基本性质解决一些问题．

教学重点与难点

本节课的重点是函数的奇偶性、单调性的应用，教学难点是综合应用函数的基本性质解决问题．

五、问题情景

●复习回顾函数的基本性质——单调性、奇偶性．

六、学生活动、建构数学

巩固练习：

⑴．函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，则实数k的取值范围是            ．

⑵．函数f(x)＝2x2－mx+3当x∈[2，＋∞)时是增函数，则实数m的取值范围是            ．

⑶．设f(x)＝ax7＋bx＋5，已知f(－7)＝－17，求f(7)的值．

⑷．已知是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)－g(x)＝，求、g(x)．

七、数学理论、数用

1、复合函数的单调性

已知函数在R上是增函数，g(x)在[a，b]上是减函数，求证：f[g(x)]在[a，b]上是减函数．

证明：设x1，x2∈[a，b]，且x1＜x2，因g(x)在[a，b]上单调递减，故g(x1)＞g(x2)，又在R上递增，而g(x1)∈R，g(x2)∈R，故f[g(x1)]＞f[g(x2)]，故f[g(x)]在[a，b]上是减函数．

已知函数的定义域是F，函数g(x)的定义域是G，且对于任意的x∈G，g(x)∈F，试根据下表众所给的条件，用“增函数”、“减函数”填空：

【解】函数的定义域为，令t＝2x＋1，，因t＝2x＋1在上是增函数，而在t∈[0，＋∞)上是增函数，故函数在上是增函数．

练习：讨论下列函数的单调性：

⑴；       ⑵  ；    ⑶．

2、函数的奇偶性

函数的奇偶性是函数的重要性质：

例2、⑴已知函数，对任意实数x、y，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，试判别的奇偶性．

⑵已知是定义域为的奇函数，当时，，求的解析式． 

【解】⑴．令x＝y＝0，得f(0)＝2f(0)，故f(0)＝0，令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)，故f(－x)＝－f(x)，故是奇函数．

⑵设，则，由已知得，因是奇函数，故，故当时，；又是定义域为的奇函数，故．综上所述： 

说明：⑴奇函数若在x＝0处有定义，则f(0)＝0；

⑵一般情况下，若要求在区间上的解析式，就在区间上设．

练习：已知是偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，求x<0时的解析式．

3、函数的单调性与奇偶性的综合应用

已知奇函数在[0，+∞）上是增函数，求证：在（－∞，0]上也是增函数．

证明：设x1－x2≥0，因在[0，＋∞）上是增函数，故f(－x1)>f(－x2)，因是奇函数，故f(－x1)＝－f(x1)，f(－x2)＝－f(x2)，故－f(x1)>－f(x2)，故f(x1)说明：一般情况下，若要证在区间A上单调，就在区间A上设x1变题：已知是偶函数，且在[a，b]上是减函数，试判断在[－b，－a]上的单调性，并给出证明．

说明：偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致．

例3．定义在(－1，1)上的奇函数在整个定义域上是减函数，若f(1－a)＋f(1－3a)<0，求实数a的取值范围．

【解】原不等式化为 f(1－3a)<－f(1－a)，因是奇函数，故-f(1-a)= f(a-1)，故原不等式化为f(1－3a) < f(a－1)，因是减函数，故1－3a>a－1，故①．又的定义域为(－1，1)，故，解得②，由①和②得实数a的取值范围为．

课内练习：⑴已知是奇函数，且在[3，7]是增函数且最大值为4，那么在[－7，－3]上是     函数，且最   值是        ．

⑵已知偶函数在[0，＋∞）上是增函数，满足f(2x＋5)八、回顾反思

本节课主要讨论了复合函数的单调性，进一步加深对函数单调性的理解，研究了函数奇偶性的应用以及单调性与奇偶性的综合问题．

课后作业

1．已知函数是定义在(0，＋∞)上的增函数，且f (2)＝1，且f (x＋5)＜1，求x的取值范围．

2．已知函数是R上的偶函数，在[0，＋∞)上是减函数，且f (2)＝0，求不等式x f (x)＜0的解．

3．已知函数是定义在[－2，2]上的减函数，且f (3x)＜f (x＋1)，求x的取值范围．

4．定义在R上的函数满足：任意x、y∈R，有f(x＋y)＝ f(x)＋f(y)，当 x＞0， f(x)＜0．

求证：（1）判断函数的奇偶性；（2）在R上是减函数．

5．定义在A＝{x|x≠0}函数f(x)满足：任意x、y∈A，有f(xy)＝f(x)＋ f (y)．

（1）求 f(1)； （2）判断的奇偶性；

（3）若 f(4)＝1，f(3x＋2)＋f(2)≤3，且在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．