培优指数函数与对数函数

一、1．根式

(1)根式的概念

①若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n>1且n∈N*.式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．

②a的n次方根的表示：xn＝a⇒

(2)根式的性质

①()n＝a(n∈N*)．②＝

2．有理数指数幂

(1)幂的有关概念：

①正分数指数幂：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；

②负分数指数幂：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；

③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义．

(2)有理数指数幂的运算性质：

①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；

③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．

3．指数函数的图象与性质

1.设函数，若对于任意实数x恒成立，则实数b的取值范围是（      ）

A．           B．            C．          D．

2.函数是上的奇函数，满足，当∈（0，3）时，则当∈（，）时， =（   ）

  A.           B.         C.          D. 

3.设1 < a < b < a 2，则在四个数2，log a b，log b a，log a b a 2中，最大的和最小的分别是（   ）

（A）2，log b a      （B）2，log a b a 2     （C）log a b，log b a     （D）log a b，log a b a 2

二、填空

4.已知a > 0，f ( x ) =，则f () + f () + … + f () =_________。

5.已知函数的定义域为，则实数的取值范围是________________________.

6.先将函数f ( x ) = ln的图像作关于原点的对称变换，然后向右平移1个单位，再作关于y = x的对称变换，则此时的图像所对应的函数的解析式是               。

7.已知函数y = log[ a x 2 + 2 x + ( a – 1 ) ]的值域是[ 0，+ ∞ ])，则参数a的值是           。

三、解答题

8.已知定义域为R的函数是奇函数.

（1）求；

（2）判断函数的单调性（不必证明）

（3）若对任意的，不等式恒成立，求k的取值范围.

9.已知函数，函数的最小值为．

（1）求的解析式；

（2）是否存在实数同时满足下列两个条件：①；②当的定义域为时，值域为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由

10.函数在区间上恒有定义，求实数的取值范围．

11.(本题满分12分) 已知函数，其中是大于0的常数

（1）设, 判断并证明在内的单调性；

（2）当时，求函数在[ 2 内的最小值；

（3）若对任意恒有，试确定的取值范围。

12.（12分）已知函数为奇函数，为常数.

（1）求的值；

（2）当时，是否存在最大值？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由；

（3）设函数，当为何值时，不等式在有实数解？ 

13.（12分）函数y=f（x）满足lg（lgy）=lg3x+lg（3﹣x），

（1）求f（x）；

（2）求f（x）的值域；

（3）求f（x）的递减区间．

14.已知二次函数在区间[2，3]上有最大值4，最小值1.

(Ⅰ)求函数的解析式；

(Ⅱ)设.若在时恒成立，求的取值范围.

试卷答案

1.D

2.B

3.A

4.

5.或

6.y = e x

7.1 –

8.解  （1） 因为是R上的奇函数，所以

从而有…………………..3分

（2）由（1）知

由的单调性可推知在R上为减函数…………………….3分

（3）解法一：由（1）知

由上式易知在R上为减函数，

又因是奇函数，从而不等式

等价于 …….2分

因是R上的减函数，由上式推得

即对一切从而

………………………………………….…………2分

9.解析：（1）由，知，令

．．．．．．．．．．．．1分

记，则的对称轴为，故有：

①当时，的最小值

②当时，的最小值

③当时，的最小值

综述，                             ．．．．．．．．．．．．7分

（2）当时，．故时，在上为减函数．

所以在上的值域为．                     ．．．．．．．．．．．．9分

由题，则有，两式相减得，又

所以，这与矛盾．故不存在满足题中条件的的值．

10.解析：设，则

    在区间上恒有定义即在上恒成立．

    当时，于上恒成立．

    当时，的对称轴，在上单调增加，所以，

    ，

    由，，所以．

    当时，于上恒成立，则，

    由，，得

    ，即；

    由，得，

    解得或，所以，或．

    综上，．

11.解析：（I）

， …………1分

   （II）证明：由（I）知：，令

   （III）对于[3，4]上的每一个x的值，不等式恒成立，

即：恒成立 …………10分

由（II）知：在R上单调递增，

内单调递增，显然在[3，4]上递增，…………12分

，

  …………14分

12.

（1）增函数，用定义证明.

（2）设，当，时

由（1）知在上是增函数 

∴在上是增函数   

∴在上的最小值为

（3） 对任意恒有，即对恒成立

∴ ，而在上是减函数

∴，∴

13.

13考点：    对数的运算性质；指数函数综合题；对数函数的图像与性质． 

专题：    函数的性质及应用．

分析：    （1）由lg（lgy）=lg3x+lg（3﹣x），可得lg（lgy）=lg[3x（3﹣x）]，0＜x＜3．lgy=3x（3﹣x），即可得出．

（2）令u=3x（3﹣x）=+，在上单调递增，在上单调递减；而10u是增函数，即可得出，

（3）由（2）可知：函数f（x）的递减区间为．

解答：    （1）∵lg（lgy）=lg3x+lg（3﹣x），

∴lg（lgy）=lg[3x（3﹣x）]，0＜x＜3．

∴lgy=3x（3﹣x），

∴f（x）=y=103x（3﹣x），x∈（0，3）．

（2）令u=3x（3﹣x）=+，在上单调递增，在上单调递减；而10u是增函数．

∴，

∴f（x）的值域为．

（3）由（2）可知：函数f（x）的递减区间为．

点评：    本题考查了对数的运算法则、二次函数与指数函数的单调性、复合函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

14.解：(Ⅰ)∵                            

∴函数的图象的对称轴方程为                                   

   ∴在区间[2，3]上递增。      

依题意得                                          

即，解得 

∴                                             

(Ⅱ)∵    ∴                 

∵在时恒成立，

即在时恒成立

∴在时恒成立                  

只需                                 

令，由得                       

设

∵                                    

当时，取得最小值0

∴

∴的取值范围为

略