知识讲解_对数及对数运算_基础

要点一、对数概念

1.对数的概念

如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作:logaN=b.其中a叫做对数的底数，N叫做真数.    对数式logaN=b中各字母的取值范围是：a>0    且a1， N>0， bR.

2.对数具有下列性质：

(1)0和负数没有对数，即；

(2)1的对数为0，即；

(3)底的对数等于1，即.

3．两种特殊的对数

通常将以10为底的对数叫做常用对数，.以e（e是一个无理数，）为底的对数叫做自然对数，.

4．对数式与指数式的关系

由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化.它们的关系可由下图表示.

由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化.

要点二、对数的运算法则

已知

(1) 正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；

推广： 

(2) 两个正数的商的对数等于被乘数的对数减去除数的对数；

(3) 正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；

要点三、对数公式

1．对数恒等式：

2．换底公式

同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0， a≠1， M>0的前提下有:

(1) 

令 logaM=b， 则有ab=M，  (ab)n=Mn，即， 即，即:.

(2)，令logaM=b， 则有ab=M， 则有

即， 即，即

结论:.

【典型例题】

类型一、对数的概念

例1.求下列各式中的取值范围：

（1）；（2）；（3）．

举一反三：

【变式1】函数的定义域为          ．

类型二、指数式与对数式互化及其应用

例2.将下列指数式与对数式互化：

(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).

举一反三：【变式1】求下列各式中x的值：

(1)   (2)   (3)lg1000=x   (4) 

【变式2】计算：并比较．

类型三、利用对数恒等式化简求值

例3．求值：

举一反三：

【变式1】求的值(a，b，c∈R+，且不等于1，N>0)

类型四、积、商、幂的对数

例4.表示下列各式

举一反三：【变式1】求值

(1) 　　(2)lg2·lg50+(lg5)2     (3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2 

类型五、换底公式的运用

例5.已知，求．

举一反三：【变式1】求值：(1)；(2)；(3).

类型六、对数运算法则的应用

例6.求值

(1) 

(2) 

(3) 

(4) 

举一反三：【变式1】计算下列各式的值

（1）；（2）．

【变式2】求值：