等差数列典型例题及分析

[例1]等差数列、的前n项和为Sn、Tn.若求；

解：

[例2]已知一个等差数列的通项公式an=25－5n，求数列的前n项和；

解：  

[例3]已知： （）  

（1） 问前多少项之和为最大？（2）前多少项之和的绝对值最小？

解：（1）    ∴ 

   （2）    

当近于0时其和绝对值最小

        令：  即 1024+   得：

            ∵      ∴

[例4]项数是的等差数列，中间两项为是方程的两根，

求证：此数列的和是方程 的根。（）

 证明：依题意   

   ∵     ∴

     ∵

∴        ∴   （获证）。 

[例5]设为等差数列，为数列的前项和，已知，，

为数列的前项和，求。

解：设等差数列的公差为，则 

     ∵，， ∴   即  解得：，。    

     ∴     ，

     ∵     ，

     ∴  数列是等差数列，其首项为，公差为，

     ∴  。    

[例6]设等差数列{an}的首项a1及公差d都为整数，前n项和为Sn.

(Ⅰ)若a11=0,S14=98,求数列｛an｝的通项公式；

(Ⅱ)若a1≥6，a11＞0，S14≤77，求所有可能的数列｛an｝的通项公式.

解：（Ⅰ）由S14=98得2a1+13d=14,   又a11=a1+10d=0,故解得d=－2,a1=20.

因此，{an}的通项公式是an=22－2n,n=1,2,3…

（Ⅱ）由    得     即

由①+②得－7d＜11。即d＞－。

由①+③得13d≤－1 即d≤－

于是－＜d≤－又d∈Z,   故d=－1

将④代入①②得10＜a1≤12.  

又a1∈Z,故a1=11或a1=12.

所以，所有可能的数列{an}的通项公式是  an=12-n和an=13-n,n=1,2,3,…

二、【典型习题导练】

1．已知，求及。

2．设，求证：。

3.求和: 

4.求和： 

5.已知依次成等差数列，求证：依次成等差数列.

6.已知数列为等差数列，且，求的值。