中考数学几何证明题--(专题练习 答案详解)

1、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，连接BE，CE

（1）求证：BE=CE；

（2）若∠BEC=90°，过点B作BF⊥CD，垂足为点F，交CE于点G，连接DG，求证：BG=DG+CD．

2、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，连接ED，与BC交于点H．过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G．已知G为CH的中点．

（1）若HE=HG，求证：△EBH≌△GFC；

（2）若CD=4，BH=1，求AD的长．

3、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=BC，∠DAB=60°，E是对角线AC延长线上一点，F是AD延长线上的一点，且EB⊥AB，EF⊥AF．

（1）当CE=1时，求△BCE的面积；

（2）求证：BD=EF+CE．

4、如图．在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，点E为线段BC延长线上的一点，且．过点E EF∥CA，交CD于点F，连接OF．

（1）求证：OF∥BC；

（2）如果梯形OBEF是等腰梯形，判断四边形ABCD的形状，并给出证明．

5、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BF⊥CD于F，延长BF交AD的延长线于E，延长CD交BA的延长线于G，且DG=DE，AB=，CF=6．

（1）求线段CD的长；

（2）H在边BF上，且∠HDF=∠E，连接CH，求证：∠BCH=45°﹣∠EBC．

6、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠D=45°．

（1）若AB=6cm，求梯形ABCD的面积；

（2）若E、F、G、H分别是梯形ABCD的边AB、BC、CD、DA上一点，且满足EF=GH，∠EFH=∠FHG，求证：HD=BE+BF．

7、已知：如图，ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长CD至F，使DF=CD，连接BF交AD于点E．

（1）求证：AE=ED；

（2）若AB=BC，求∠CAF的度数．

8、已知：如图，在正方形ABCD中，点G是BC延长线上一点，连接AG，分别交BD、CD于点E、F．

（1）求证：∠DAE=∠DCE；

（2）当CG=CE时，试判断CF与EG之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．

9、如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接EF，若BE=DF，点P是EF的中点．

（1）求证：DP平分∠ADC；

（2）若∠AEB=75°，AB=2，求△DFP的面积．

10、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BD=BC，E为CD的中点，交BC的延长线于F；

（1）证明：EF=EA；

（2）过D作DG⊥BC于G，连接EG，试证明：EG⊥AF．

11、如图，直角梯形ABCD中，∠DAB=90°，AB∥CD，AB=AD，∠ABC=60度．以AD为边在直角梯形ABCD外作等边三角形ADF，点E是直角梯形ABCD内一点，且∠EAD=∠EDA=15°，连接EB、EF．

（1）求证：EB=EF；

（2）延长FE交BC于点G，点G恰好是BC的中点，若AB=6，求BC的长．

12、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，∠C=60°，AE⊥BD于点E，F是CD的中点，DG是梯形ABCD的高．

（1）求证：AE=GF；

（2）设AE=1，求四边形DEGF的面积．

13、已知，如图在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC，连AG． 

（1）求证：FC=BE；

（2）若AD=DC=2，求AG的长．

14、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，点E是AB边上一点，AE=BC，DE⊥EC，取DC的中点F，连接AF、BF．

（1）求证：AD=BE；

（2）试判断△ABF的形状，并说明理由．

15、（2011•潼南县）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB=BC，且AE⊥BC．

（1）求证：AD=AE；

（2）若AD=8，DC=4，求AB的长．

16、如图，已知梯形ABCD中，AD∥CB，E，F分别是BD，AC的中点，BD平分∠ABC．

（1）求证：AE⊥BD；    （2）若AD=4，BC=14，求EF的长．

17、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BE⊥AC，E为垂足，AC=BC． 

（1）求证：CD=BE；

（2）若AD=3，DC=4，求AE．

18、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，∠B=45°，AD=1，BC=4，求DC的长．

19、已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=DC，点E、F分别在AD、AB上，且．

（1）求证：BF=EF﹣ED；

（2）连接AC，若∠B=80°，∠DEC=70°，求∠ACF的度数．

20、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE=BE，且AF⊥AB，连接EF．

（1）若EF⊥AF，AF=4，AB=6，求 AE的长．

（2）若点F是CD的中点，求证：CE=BE﹣AD．

21、如图，四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BD，DH⊥BC．

（1）求证：DH=（AD+BC）；

（2）若AC=6，求梯形ABCD的面积．

22、已知，如图，△ABC是等边三角形，过AC边上的点D作DG∥BC，交AB于点G，在GD的延长线上取点E，使DE=DC，连接AE，BD．

（1）求证：△AGE≌△DAB；

（2）过点E作EF∥DB，交BC于点F，连AF，求∠AFE的度数．

23、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE=EC，EF∥AB交BC于点F，EF=EC，连接DF．

（1）试说明梯形ABCD是等腰梯形；

（2）若AD=1，BC=3，DC=，试判断△DCF的形状；

（3）在条件（2）下，射线BC上是否存在一点P，使△PCD是等腰三角形，若存在，请直接写出PB的长；若不存在，请说明理由．

24、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=60°，AD=DC，E、F分别在AD、DC的延长线上，且DE=CF．AF交BE于P．

（1）证明：△ABE≌△DAF；

（2）求∠BPF的度数．

25、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，BD⊥DC，将BC延长至点F，使CF=CD．

（1）求∠ABC的度数；

（2）如果BC=8，求△DBF的面积？

26、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=10cm，AC交BD于G，且∠AGD=60°，E、F分别为CG、AB的中点．

（1）求证：△AGD为正三角形；

（2）求EF的长度．

27、已知，如图，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，点E是AB上的点，∠ECD=45°，连接ED，过D作DF⊥BC于F．

（1）若∠BEC=75°，FC=3，求梯形ABCD的周长．

（2）求证：ED=BE+FC．

28、（2005•镇江）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，直线CE交DA的延长线于点F．

（1）求证：△BCE≌△AFE；

（2）若AB⊥BC且BC=4，AB=6，求EF的长．

29、已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E． 

求证：

（1）△BFC≌△DFC；

（2）AD=DE；

（3）若△DEF的周长为6，AD=2，BC=5，求梯形ABCD的面积．

30、如图，梯形ABCD中，AD∥BC．∠C=90°，且AB=AD．连接BD，过A点作BD的垂线，交BC于E．

（1）求证：四边形ABED是菱形；

（2）如果EC=3cm，CD=4cm，求梯形ABCD的面积．

参

1、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，连接BE，CE

（1）求证：BE=CE；

（2）若∠BEC=90°，过点B作BF⊥CD，垂足为点F，交CE于点G，连接DG，求证：BG=DG+CD．

证明：（1）已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，

∴AB=DC，∠BAE=∠CDE，AE=DE，

∴△BAE≌△CDE，

∴BE=CE；

（2）延长CD和BE的延长线交于H， 

∵BF⊥CD，∠HEC=90°，

∴∠EBF+∠H=∠ECH+∠H=90°

∴∠EBF=∠ECH，

又∠BEC=∠CEH=90°，

BE=CE（已证），

∴△BEG≌△CEH，

∴EG=EH，BG=CH=DH+CD，

∵△BAE≌△CDE（已证），

∴∠AEB=∠GED，

∠HED=∠AEB，

∴∠GED=∠HED，

又EG=EH（已证），ED=ED，

∴△GED≌△HED，

∴DG=DH，

∴BG=DG+CD．

2、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，连接ED，与BC交于点H．过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G．已知G为CH的中点．

（1）若HE=HG，求证：△EBH≌△GFC；

（2）若CD=4，BH=1，求AD的长．

（1）证明：∵HE=HG，

∴∠HEG=∠HGE，

∵∠HGE=∠FGC，∠BEH=∠HEG，

∴∠BEH=∠FGC，

∵G是HC的中点，

∴HG=GC，

∴HE=GC，

∵∠HBE=∠CFG=90°．

∴△EBH≌△GFC；

（2）解：∵ED平分∠AEF，∠A=∠DFE=90°，

∴AD=DF，

∵DF=DC﹣FC，

∵△EBH≌△GFC，

∴FC=BH=1，

∴AD=4﹣1=3．

3、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=BC，∠DAB=60°，E是对角线AC延长线上一点，F是AD延长线上的一点，且EB⊥AB，EF⊥AF．

（1）当CE=1时，求△BCE的面积；

（2）求证：BD=EF+CE．

（2）过E点作EM⊥DB于点M，四边形FDME是矩形，FE=DM，∠BME=∠BCE=90°，∠BEC=∠MBE=60°，△BME≌△ECB，BM=CE，继而可证明BD=DM+BM=EF+CE．

（1）解：∵AD=CD，

∴∠DAC=∠DCA，

∵DC∥AB，

∴∠DCA=∠CAB，

∴，

∵DC∥AB，AD=BC，

∴∠DAB=∠CBA=60°，

∴∠ACB=180°﹣（∠CAB+∠CBA）=90°，

∴∠BCE=180°﹣∠ACB=90°，

∵BE⊥AB，

∴∠ABE=90°，

∴∠CBE=∠ABE﹣∠ABC=30°，

在Rt△BCE中，BE=2CE=2，

∴…（5分）

（2）证明：过E点作EM⊥DB于点M，

∴四边形FDME是矩形，

∴FE=DM，

∵∠BME=∠BCE=90°，∠BEC=∠MBE=60°，

∴△BME≌△ECB，

∴BM=CE，

∴BD=DM+BM=EF+CE…（10分）

4、如图．在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，点E为线段BC延长线上的一点，且．过点E作EF∥CA，交CD于点F，连接OF．

（1）求证：OF∥BC；

（2）如果梯形OBEF是等腰梯形，判断四边形ABCD的形状，并给出证明．

解答：（1）证明：延长EF交AD于G（如图），

在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，

∵EF∥CA，EG∥CA，

∴四边形ACEG是平行四边形，

∴AG=CE，

又∵，AD=BC，

∴，

∵AD∥BC，

∴∠ADC=∠ECF，

在△CEF和△DGF中，

∵∠CFE=∠DFG，∠ADC=∠ECF，CE=DG，

∴△CEF≌△DGF（AAS），

∴CF=DF，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OB=OD，

∴OF∥BE．

（2）解：如果梯形OBEF是等腰梯形，那么四边形ABCD是矩形．

证明：∵OF∥CE，EF∥CO，

∴四边形OCEF是平行四边形，

∴EF=OC，

又∵梯形OBEF是等腰梯形，

∴BO=EF，

∴OB=OC，

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC=2OC，BD=2BO．

∴AC=BD，

∴平行四边形ABCD是矩形．

5、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BF⊥CD于F，延长BF交AD的延长线于E，延长CD交BA的延长线于G，且DG=DE，AB=，CF=6．

（1）求线段CD的长；

（2）H在边BF上，且∠HDF=∠E，连接CH，求证：∠BCH=45°﹣∠EBC．

（1）解：连接BD，

由∠ABC=90°，AD∥BC得∠GAD=90°，

又∵BF⊥CD，

∴∠DFE=90°

又∵DG=DE，∠GDA=∠EDF，

∴△GAD≌△EFD，

∴DA=DF，

又∵BD=BD，

∴Rt△BAD≌Rt△BFD（HL），

∴BF=BA=，∠ADB=∠BDF

又∵CF=6，

∴BC=，

又∵AD∥BC，

∴∠ADB=∠CBD，

∴∠BDF=∠CBD，

∴CD=CB=8．

（2）证明：∵AD∥BC，

∴∠E=∠CBF，

∵∠HDF=∠E，

∴∠HDF=∠CBF，

由（1）得，∠ADB=∠CBD，

∴∠HDB=∠HBD，

∴HD=HB，

由（1）得CD=CB，

∴△CDH≌△CBH，

∴∠DCH=∠BCH，

∴∠BCH=∠BCD==．

6、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠D=45°．

（1）若AB=6cm，求梯形ABCD的面积；

（2）若E、F、G、H分别是梯形ABCD的边AB、BC、CD、DA上一点，且满足EF=GH，∠EFH=∠FHG，求证：HD=BE+BF．

解：（1）连AC，过C作CM⊥AD于M，如图，

在Rt△ABC中，AB=6，sin∠ACB==，

∴AC=10，

∴BC=8，

在Rt△CDM中，∠D=45°，

∴DM=CM=AB=6，

∴AD=6+8=14，

∴梯形ABCD的面积=•（8+14）•6=66（cm2）；

（2）证明：过G作GN⊥AD，如图，

∵∠D=45°，

∴△DNG为等腰直角三角形，

∴DN=GN，

又∵AD∥BC，

∴∠BFH=∠FHN，

而∠EFH=∠FHG，

∴∠BFE=∠GHN，

∵EF=GH，

∴Rt△BEF≌Rt△NGH，

∴BE=GN，BF=HN，

∴DA=AN+DN=AN+DG=BF+BE．

7、已知：如图，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长CD至F，使DF=CD，连接BF交AD于点E．

（1）求证：AE=ED；

（2）若AB=BC，求∠CAF的度数．

（1）证明：如图．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB=CD．

∵DF=CD，

∴AB∥DF．

∵DF=CD，

∴AB=DF．

∴四边形ABDF是平行四边形，

∴AE=DE．

（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，且AB=BC，

∴四边形ABCD是菱形．

∴AC⊥BD．

∴∠COD=90°．

∵四边形ABDF是平行四边形，

∴AF∥BD．

∴∠CAF=∠COD=90°．

8、已知：如图，在正方形ABCD中，点G是BC延长线上一点，连接AG，分别交BD、CD于点E、F．

（1）求证：∠DAE=∠DCE；

（2）当CG=CE时，试判断CF与EG之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．

（1）证明：在△DAE和△DCE中，

∠ADE=∠CDE（正方形的对角线平分对角），

ED=DE（公共边），

AE=CE（正方形的四条边长相等），

∴△DAE≌△DCE （SAS），

∴∠DAE=∠DCE（全等三角形的对应角相等）；

（2）解：如图，由（1）知，△DAE≌△DCE，

∴AE=EC，

∴∠EAC=∠ECA（等边对等角）；

又∵CG=CE（已知），

∴∠G=∠CEG（等边对等角）；

而∠CEG=2∠EAC（外角定理），

∠ECB=2∠CEG（外角定理），

∴4∠EAC﹣∠ECA=∠ACB=45°，

∴∠G=∠CEG=30°；

过点C作CH⊥AG于点H，

∴∠FCH=30°，

∴在直角△ECH中，EH=CH，EG=2CH，

在直角△FCH中，CH=CF，

∴EG=2×CF=3CF．

9、如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接EF，若BE=DF，点P是EF的中点．

（1）求证：DP平分∠ADC；

（2）若∠AEB=75°，AB=2，求△DFP的面积．

（1）证明：连接PC．

∵ABCD是正方形，

∴∠ABE=∠ADF=90°，AB=AD．

∵BE=DF，

∴△ABE≌△ADF．（SAS）

∴∠BAE=∠DAF，AE=AF．

∴∠EAF=∠BAD=90°．

∵P是EF的中点，

∴PA=EF，PC=EF，

∴PA=PC．

又 AD=CD，PD公共，

∴△PAD≌△PCD，（SSS）

∴∠ADP=∠CDP，即DP平分∠ADC；

（2）作PH⊥CF于H点．

∵P是EF的中点，

∴PH=EC．

设EC=x．

由（1）知△EAF是等腰直角三角形，

∴∠AEF=45°，

∴∠FEC=180°﹣45°﹣75°=60°，

∴EF=2x，FC=x，BE=2﹣x．

在Rt△ABE中，22+（2﹣x）2=（x）2解得 x1=﹣2﹣2（舍去），x2=﹣2+2．

∴PH=﹣1+，FD=（﹣2+2）﹣2=﹣2+4．

∴S△DPF=（﹣2+4）×=3﹣5．

10、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BD=BC，E为CD的中点，交BC的延长线于F；

（1）证明：EF=EA；

（2）过D作DG⊥BC于G，连接EG，试证明：EG⊥AF．

（1）证明：

∵AD∥BC，

∴∠DAE=∠F，∠ADE=∠FCE．

∵E为CD的中点，

∴ED=EC．

∴△ADE≌△FCE．

∴EF=EA．（5分）

（2）解：连接GA，

∵AD∥BC，∠ABC=90°，

∴∠DAB=90°．

∵DG⊥BC，

∴四边形ABGD是矩形．

∴BG=AD，GA=BD．

∵BD=BC，

∴GA=BC．

由（1）得△ADE≌△FCE，

∴AD=FC．

∴GF=GC+FC=GC+AD=GC+BG=BC=GA．

∵由（1）得EF=EA，

∴EG⊥AF．（5分）

11、如图，直角梯形ABCD中，∠DAB=90°，AB∥CD，AB=AD，∠ABC=60度．以AD为边在直角梯形ABCD外作等边三角形ADF，点E是直角梯形ABCD内一点，且∠EAD=∠EDA=15°，连接EB、EF．

（1）求证：EB=EF；

（2）延长FE交BC于点G，点G恰好是BC的中点，若AB=6，求BC的长．

（1）证明：∵△ADF为等边三角形，

∴AF=AD，∠FAD=60°（1分）

∵∠DAB=90°，∠EAD=15°，AD=AB（2分）

∴∠FAE=∠BAE=75°，AB=AF，（3分）

∵AE为公共边

∴△FAE≌△BAE（4分）

∴EF=EB（5分）

（2）解：如图，连接EC．（6分）

∵在等边三角形△ADF中，

∴FD=FA，

∵∠EAD=∠EDA=15°，

∴ED=EA，

∴EF是AD的垂直平分线，则∠EFA=∠EFD=30°．（7分）

由（1）△FAE≌△BAE知∠EBA=∠EFA=30°．

∵∠FAE=∠BAE=75°，

∴∠BEA=∠BAE=∠FEA=75°，

∴BE=BA=6．

∵∠FEA+∠BEA+∠GEB=180°，

∴∠GEB=30°，

∵∠ABC=60°，

∴∠GBE=30°

∴GE=GB．（8分）

∵点G是BC的中点，

∴EG=CG

∵∠CGE=∠GEB+∠GBE=60°，

∴△CEG为等边三角形，

∴∠CEG=60°，

∴∠CEB=∠CEG+∠GEB=90°（9分）

∴在Rt△CEB中，BC=2CE，BC2=CE2+BE2

∴CE=，

∴BC=（10分）；

解法二：过C作CQ⊥AB于Q，

∵CQ=AB=AD=6，

∵∠ABC=60°，

∴BC=6÷=4．

12、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，∠C=60°，AE⊥BD于点E，F是CD的中点，DG是梯形ABCD的高．

（1）求证：AE=GF；

（2）设AE=1，求四边形DEGF的面积．

（1）证明：∵AB=DC，

∴梯形ABCD为等腰梯形．

∵∠C=60°，

∴∠BAD=∠ADC=120°，

又∵AB=AD，

∴∠ABD=∠ADB=30°．

∴∠DBC=∠ADB=30°．

∴∠BDC=90°．（1分）

由已知AE⊥BD，

∴AE∥DC．（2分）

又∵AE为等腰三角形ABD的高，

∴E是BD的中点，

∵F是DC的中点，

∴EF∥BC．

∴EF∥AD．

∴四边形AEFD是平行四边形．（3分）

∴AE=DF（4分）

∵F是DC的中点，DG是梯形ABCD的高，

∴GF=DF，（5分）

∴AE=GF．（6分）

（2）解：在Rt△AED中，∠ADB=30°，

∵AE=1，

∴AD=2．

在Rt△DGC中∠C=60°，

并且DC=AD=2，

∴DG=．（8分）

由（1）知：在平行四边形AEFD中EF=AD=2，

又∵DG⊥BC，

∴DG⊥EF，

∴四边形DEGF的面积=EF•DG=．（10分）

13、已知，如图在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC，连AG．

（1）求证：FC=BE；

（2）若AD=DC=2，求AG的长．

解答：（1）证明：∵∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，

∴∠ABC=∠AFE．

∵AC=AE，∠EAF=∠CAB，

∴△ABC≌△AFE，

∴AB=AF．

∴AE﹣AB=AC﹣AF，

即FC=BE；

（2）解：∵AD=DC=2，DF⊥AC，

∴AF=AC=AE．

∴AG=CG，

∴∠E=30°．

∵∠EAD=90°，

∴∠ADE=60°，

∴∠FAD=∠E=30°，

∴FC=，

∵AD∥BC，

∴∠ACG=∠FAD=30°，

∴CG=2，

∴AG=2．

14、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，点E是AB边上一点，AE=BC，DE⊥EC，取DC的中点F，连接AF、BF．

（1）求证：AD=BE；

（2）试判断△ABF的形状，并说明理由．

（1）证明：∵AD∥BC，

∴∠BAD+∠ABC=180°，

∵∠ABC=90°，

∴∠BAD=∠ABC=90°，

∵DE⊥EC，

∴∠AED+∠BEC=90°

∵∠AED+∠ADE=90°，

∴∠BEC=∠ADE，

∵∠DAE=∠EBC，AE=BC，

∴△EAD≌△EBC，

∴AD=BE．

（2）答：△ABF是等腰直角三角形．

理由是：延长AF交BC的延长线于M，

∵AD∥BM，

∴∠DAF=∠M，

∵∠AFD=∠CFM，DF=FC，

∴△ADF≌△MFC，

∴AD=CM，

∵AD=BE，

∴BE=CM，

∵AE=BC，

∴AB=BM，

∴△ABM是等腰直角三角形，

∵△ADF≌△MFC，

∴AF=FM，

∴∠ABC=90°，

∴BF⊥AM，BF=AM=AF，

∴△AFB是等腰直角三角形．

15、（2011•潼南县）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB=BC，且AE⊥BC．

（1）求证：AD=AE；

（2）若AD=8，DC=4，求AB的长．

解答：（1）证明：连接AC，

∵AB∥CD，

∴∠ACD=∠BAC，

∵AB=BC，

∴∠ACB=∠BAC，

∴∠ACD=∠ACB，

∵AD⊥DC，AE⊥BC，

∴∠D=∠AEC=90°，

∵AC=AC，

∴，

∴△ADC≌△AEC，（AAS）

∴AD=AE；

（2）解：由（1）知：AD=AE，DC=EC，

设AB=x，则BE=x﹣4，AE=8，

在Rt△ABE中∠AEB=90°，

由勾股定理得：82+（x﹣4）2=x2，

解得：x=10，

∴AB=10．

说明：依据此评分标准，其它方法如：过点C作CF⊥AB用来证明和计算均可得分．

16、如图，已知梯形ABCD中，AD∥CB，E，F分别是BD，AC的中点，BD平分∠ABC．

（1）求证：AE⊥BD；    （2）若AD=4，BC=14，求EF的长．

（1）证明：∵AD∥CB，

∴∠ADB=∠CBD，

又BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠CBD，

∴∠ADB=∠ABD，

∴AB=AD，∴△ABD是等腰三角形，

已知E是BD的中点，

∴AE⊥BD．

（2）解：延长AE交BC于G，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABE=∠GBE，

又∵AE⊥BD（已证），

∴∠AEB=∠GEB，

BE=BE，

∴△ABE≌△GBE，

∴AE=GE，BG=AB=AD，

又F是AC的中点（已知），

所以由三角形中位线定理得：

EF=CG=（BC﹣BG）=（BC﹣AD）

=×（14﹣4）=5．

答：EF的长为5．

17、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BE⊥AC，E为垂足，AC=BC．

（1）求证：CD=BE；

（2）若AD=3，DC=4，求AE．

（1）证明：∵AD∥BC，

∴∠DAC=∠BCE，而BE⊥AC，

∴∠D=∠BEC=90°，AC=BC，

∴△BCE≌△CAD．

∴CD=BE．

（2）解：在Rt△ADC中，根据勾股定理得AC==5，

∵△BCE≌△CAD，

∴CE=AD=3．

∴AE=AC﹣CE=2．

18、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，∠B=45°，AD=1，BC=4，求DC的长．

解：如图，过点D作DF∥AB，分别交AC，BC于点E，F．（1分）

∵AB⊥AC，

∴∠AED=∠BAC=90度．

∵AD∥BC，

∴∠DAE=180°﹣∠B﹣∠BAC=45度．

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=45°，BC=4，∴AC=BC•sin45°=4×=2（2分）

在Rt△ADE中，∠AED=90°，∠DAE=45°，AD=1，∴DE=AE=．∴CE=AC﹣AE=．（4分）

在Rt△DEC中，∠CED=90°，∴DC==．（5分）

19、已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=DC，点E、F分别在AD、AB上，且．

（1）求证：BF=EF﹣ED；

（2）连接AC，若∠B=80°，∠DEC=70°，求∠ACF的度数．

证明：∵FC=F′C，EC=EC，∠ECF'=∠BCF+∠DCE=∠ECF，

∴△FCE≌△F′CE，

∴EF′=EF=DF′+ED，

∴BF=EF﹣ED；

（2）解：∵AB=BC，∠B=80°，

∴∠ACB=50°，

由（1）得∠FEC=∠DEC=70°，

∴∠ECB=70°，

而∠B=∠BCD=80°，

∴∠DCE=10°，

∴∠BCF=30°，

∴∠ACF=∠BCA﹣∠BCF=20°．

20、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE=BE，且AF⊥AB，连接EF．

（1）若EF⊥AF，AF=4，AB=6，求 AE的长．

（2）若点F是CD的中点，求证：CE=BE﹣AD．

解：（1）作EM⊥AB，交AB于点M．∵AE=BE，EM⊥AB，

∴AM=BM=×6=3；

∵∠AME=∠MAF=∠AFE=90°，

∴四边形AMEF是矩形，

∴EF=AM=3；

在Rt△AFE中，AE==5；

（2）延长AF、BC交于点N．

∵AD∥EN，

∴∠DAF=∠N；

∵∠AFD=∠NFC，DF=FC，

∴△ADF≌△NCF（AAS），

∴AD=CN；

∵∠B+∠N=90°，∠BAE+∠EAN=90°，

又AE=BE，∠B=∠BAE，

∴∠N=∠EAN，AE=EN，

∴BE=EN=EC+CN=EC+AD，

∴CE=BE﹣AD．

．21、如图，四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BD，DH⊥BC．

（1）求证：DH=（AD+BC）；

（2）若AC=6，求梯形ABCD的面积．

解：（1）证明：过D作DE∥AC交BC延长线于E，（1分）

∵AD∥BC，

∴四边形ACED为平行四边形．（2分）

∴CE=AD，DE=AC．

∵四边形ABCD为等腰梯形，

∴BD=AC=DE．

∵AC⊥BD，

∴DE⊥BD．

∴△DBE为等腰直角三角形．（4分）

∵DH⊥BC，

∴DH=BE=（CE+BC）=（AD+BC）．（5分）

（2）∵AD=CE，

∴．（7分）

∵△DBE为等腰直角三角形BD=DE=6，

∴．

∴梯形ABCD的面积为18．（8分）

注：此题解题方法并不唯一．

22、已知，如图，△ABC是等边三角形，过AC边上的点D作DG∥BC，交AB于点G，在GD的延长线上取点E，使DE=DC，连接AE，BD．

（1）求证：△AGE≌△DAB；

（2）过点E作EF∥DB，交BC于点F，连AF，求∠AFE的度数．

（1）证明：∵△ABC是等边三角形，DG∥BC，

∴∠AGD=∠ABC=60°，∠ADG=∠ACB=60°，且∠BAC=60°，

∴△AGD是等边三角形，

AG=GD=AD，∠AGD=60°．

∵DE=DC，∴GE=GD+DE=AD+DC=AC=AB，

∵∠AGD=∠BAD，AG=AD，

∴△AGE≌△DAB；

（2）解：由（1）知AE=BD，∠ABD=∠AEG．

∵EF∥DB，DG∥BC，

∴四边形BFED是平行四边形．

∴EF=BD，

∴EF=AE．

∵∠DBC=∠DEF，

∴∠ABD+∠DBC=∠AEG+∠DEF，即∠AEF=∠ABC=60°．

∴△AFE是等边三角形，∠AFE=60°．

23、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE=EC，EF∥AB交BC于点F，EF=EC，连接DF．

（1）试说明梯形ABCD是等腰梯形；

（2）若AD=1，BC=3，DC=，试判断△DCF的形状；

（3）在条件（2）下，射线BC上是否存在一点P，使△PCD是等腰三角形，若存在，请直接写出PB的长；若不存在，请说明理由．

解：（1）证明：∵EF=EC，

∴∠EFC=∠ECF，

∵EF∥AB，

∴∠B=∠EFC，

∴∠B=∠ECF，∴梯形ABCD是等腰梯形；

（2）△DCF是等腰直角三角形，

证明：∵DE=EC，EF=EC，∴EF=CD，

∴△CDF是直角三角形（如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形），

∵梯形ABCD是等腰梯形，

∴CF=（BC﹣AD）=1，

∵DC=，

∴由勾股定理得：DF=1，

∴△DCF是等腰直角三角形；

（3）共四种情况：

∵DF⊥BC，

∴当PF=CF时，△PCD是等腰三角形，

即PF=1，

∴PB=1；

当P与F重合时，△PCD是等腰三角形，

∴PB=2；

当PC=CD=（P在点C的左侧）时，△PCD是等腰三角形，

∴PB=3﹣；

当PC=CD=（P在点C的右侧）时，△PCD是等腰三角形，

∴PB=3+．

故共四种情况：PB=1，PB=2，PB=3﹣，PB=3+．（每个1分）

24、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=60°，AD=DC，E、F分别在AD、DC的延长线上，且DE=CF．AF交BE于P．

（1）证明：△ABE≌△DAF；

（2）求∠BPF的度数．

解答：（1）证明：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=60°，

∴AB=CD，

∵AD=DC，

∴BA=AD，∠BAE=∠ADF=120°，

∵DE=CF，

∴AE=DF，

在△BAE和△ADF中，

，

∴△ABE≌△DAF（SAS）．

（2）解：∵由（1）△BAE≌△ADF，

∴∠ABE=∠DAF．

∴∠BPF=∠ABE+∠BAP=∠BAE．

而AD∥BC，∠C=∠ABC=60°，

∴∠BPF=120°．

25、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，BD⊥DC，将BC延长至点F，使CF=CD．

（1）求∠ABC的度数；

（2）如果BC=8，求△DBF的面积？

解答：解：（1）∵AD∥BC，

∴∠ADB=∠DBC，

∵AB=AD，

∴∠ADB=∠ABD，

∴∠DBC=∠ABD，

∵在梯形ABCD中AB=DC，

∴∠ABC=∠DCB=2∠DBC，

∵BD⊥DC，

∴∠DBC+2∠DBC=90°

∴∠DBC=30°

∴∠ABC=60°

（2）过点D作DH⊥BC，垂足为H，

∵∠DBC=30°，BC=8，

∴DC=4，

∵CF=CD∴CF=4，

∴BF=12，

∵∠F+∠FDC=∠DCB=60°，∠F=∠FDC

∴∠F=30°，

∵∠DBC=30°，

∴∠F=∠DBC，

∴DB=DF，

∴，

在直角三角形DBH中，

∴，

∴，

∴，

即△DBF的面积为．

26、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=10cm，AC交BD于G，且∠AGD=60°，E、F分别为CG、AB的中点．

（1）求证：△AGD为正三角形；

（2）求EF的长度．

（1）证明：连接BE，

∵梯形ABCD中，AB=DC，

∴AC=BD，可证△ABC≌△DCB，

∴∠GCB=∠GBC，

又∵∠BGC=∠AGD=60°

∴△AGD为等边三角形，

（2）解：∵BE为△BCG的中线，

∴BE⊥AC，

在Rt△ABE中，EF为斜边AB上的中线，

∴EF=AB=5cm．

27、已知，如图，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，点E是AB上的点，∠ECD=45°，连接ED，过D作DF⊥BC于F．

（1）若∠BEC=75°，FC=3，求梯形ABCD的周长．

（2）求证：ED=BE+FC．

解：（1）∵∠BEC=75°，∠ABC=90°，

∴∠ECB=15°，

∵∠ECD=45°，

∴∠DCF=60°，

在Rt△DFC中：∠DCF=60°，FC=3，

∴DF=3，DC=6，

由题得，四边形ABFD是矩形，

∴AB=DF=3，

∵AB=BC，

∴BC=3，

∴BF=BC﹣FC=3﹣3，

∴AD=DF=3﹣3，

∴C梯形ABCD=3×2+6+3﹣3=9+3，

答：梯形ABCD的周长是9+3．

（2）过点C作CM垂直AD的延长线于M，再延长DM到N，使MN=BE，

∴CN=CE，

可证∠NCD=∠DCE，∵CD=CD，

∴△DEC≌△DNC，

∴ED=EN，

∴ED=BE+FC．

28、（2005•镇江）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，直线CE交DA的延长线于点F．

（1）求证：△BCE≌△AFE；

（2）若AB⊥BC且BC=4，AB=6，求EF的长．

（1）证明：∵AD∥BC，E是AB的中点，

∴AE=BE，∠B=∠EAF，∠BCE=∠F．

∴△BCE≌△AFE（AAS）．

（2）解：∵AD∥BC，

∴∠DAB=∠ABC=90°．

∵AE=BE，∠AEF=∠BEC，

∴△BCE≌△AFE．

∴AF=BC=4．

∵EF2=AF2+AE2=9+16=25，

∴EF=5．

29、已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E．

求证：

（1）△BFC≌△DFC；

（2）AD=DE；

（3）若△DEF的周长为6，AD=2，BC=5，求梯形ABCD的面积．

（1）∵DC=BC，∠1=∠2，CF=CF，

∴△DCF≌△BCF．

（2）延长DF交BC于G，

∵AD∥BG，AB∥DG，

∴四边形ABGD为平行四边形．

∴AD=BG．

∵△DFC≌△BFC，

∴∠EDF=∠GBF，DF=BF．

又∵∠3=∠4，

∴△DFE≌△BFG．

∴DE=BG，EF=GF．

∴AD=DE．

（3）∵EF=GF，DF=BF，

∴EF+BF=GF+DF，即：BE=DG．

∵DG=AB，

∴BE=AB．

∵C△DFE=DF+FE+DE=6，

∴BF+FE+DE=6，即：EB+DE=6．

∴AB+AD=6．

又∵AD=2，

∴AB=4．

∴DG=AB=4．

∵BG=AD=2，

∴GC=BC﹣BG=5﹣2=3．

又∵DC=BC=5，

在△DGC中∵42+32=52

∴DG2+GC2=DC2

∴∠DGC=90°．

∴S梯形ABCD=（AD+BC）•DG

=（2+5）×4

=14．

30、如图，梯形ABCD中，AD∥BC．∠C=90°，且AB=AD．连接BD，过A点作BD的垂线，交BC于E．

（1）求证：四边形ABED是菱形；

（2）如果EC=3cm，CD=4cm，求梯形ABCD的面积．

解答：解：（1）证明：∵AD∥BC，    DE2=CD2+CE2=42+32=25，        

∴∠OAD=∠OEB，                    ∴DE=5

又∵AB=AD，AO⊥BD，               ∴AD=BE=5，

∴OB=OD，                         ∴S梯形ABCD=．

又∵∠AOD=∠EOB，

∴△ADO≌△EBO（AAS），

∴AD=EB，

又∵AD∥BE，

∴四边形ABCD是平行四边形，

又∵AB=AD

∴四边形ABCD是菱形．

（2）∵四边形ABCD是菱形，

∴AD=DE=BE，