数与式的运算 初高中知识衔接

绝对值

绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即

绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．  

两个数的差的绝对值的几何意义：表示在数轴上，数和数之间的距离．

例 解不等式：＞4．

练   习

1．填空：

（1）若，则x=_________；若，则x=_________.

（2）如果，且，则b＝________；若，则c＝________.

2．选择题：

下列叙述正确的是                                                  （    ）

（A）若，则        （B）若，则   

（C）若，则        （D）若，则

3．化简：|x－5|－|2x－13|（x＞5）．

乘法公式

初中已经学习过了下列一些乘法公式：

（1）平方差公式          ；

（2）完全平方公式        ．

可以通过证明得到下列一些乘法公式：

（1）立方和公式          ；

（2）立方差公式          ；

（3）三数和平方公式      ；

（4）两数和立方公式      ；

（5）两数差立方公式      ．

例1  计算：．

例2  已知，，求的值．

练   习

1．填空：

 （1）（              ）；

 （2）                  ；

  (3 )　                   ．

2．选择题：

（1）若是一个完全平方式，则等于                  （      ）

（A）         （B）         （C）       （D）

（2）不论，为何实数，的值                   （      ）

        （A）总是正数                       （B）总是负数  

（C）可以是零                       （D）可以是正数也可以是负数

二次根式

     一般地，形如的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如 ，等是无理式，而，，等是有理式．

1．分母（子）有理化

把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，与，与，与，等等．  一般地，与，与，与互为有理化因式．

2．二次根式的意义: 

例1  将下列式子化为最简二次根式：

（1）；    （2）；   （3）．

例2　计算：．

例3  试比较下列各组数的大小：

（1）和；  （2）和.

例4　化简：．

例 5  化简：（1）；         （2）．

练   习

1．填空：

（1）＝__     ___；

（2）若，则的取值范围是_ _      ___；

（3）__              ___；

2．选择题：

（1）等式成立的条件是                                （　　 ）

（A）　       （B）　　  （C）　　   （D）

3．若，求的值．

4．比较大小：2－       －（填“＞”，或“＜”）．

分式

    1．分式的意义:形如的式子，若B中含有字母，且，则称为分式．当M≠0时，分式具有下列性质：

；     ．(这种性质被称为分式的基本性质．)

　2．繁分式:像，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．

例1　若，求常数的值．

例2　（1）试证：（其中n是正整数）；

      （2）计算：；

      （3）证明：对任意大于1的正整数n， 有．

练  习

1．填空题：

对任意的正整数n，    ()；

2．选择题：

若，则＝　　                                       （　 　）

　　（A）１           （B）　        （C）　         （D）

3．正数满足，求的值．

数与式的运算 练习

1.选择题：

（1）若，则　　                           （　 　）

　  （A）         （B）　    （C）　   （D）

（2）计算等于　　　　　　　　　　　　　                      （　 　）

（A）　      （B）　      （C）　      （D）

2.填空：

（1）＝________；

（2）若，则的取值范围是________；

（3）________．

（4），，则____   ____；

3.解不等式：  

(1) ；                       (2)  ；

4.已知，求的值．

5.已知：，求的值．

6.解方程．

7.计算：．

8.试证：对任意的正整数n，有＜．

9.计算

10.已知，求的值 ．

11.若，则______          __．