高一(上)第一次月考数学试题

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合，则（ ）

2.已知集合到的映射，那么集合中元素在中对应的元素是（ ）

3.设集合，，若，则的范围是（ ）

4.函数的定义域是（ ）

5.全集，集合，，则集合

6.已知集合，，则

7.下列函数是奇函数的是（ ）

8.化简： 

9.集合，，给出下列四个图形，其中能表示以为定义域，为值域的函数关系的是（ ）

A.

10.已知，且为奇函数，若，则

11. ，则等于（ ）

12.已知函数是 上的增函数，，是其图象上的两点，那么的解集是（ ）

13.已知，则________．

14.已知，则________．

15.定义在上的奇函数，当时，；则奇函数的值域是________．

16.关于下列命题：

①若函数的定义域是，则它的值域是；

②若函数的定义域是，则它的值域是；

③若函数的值域是，则它的定义域一定是；

④若函数的定义域是，则它的值域是．

其中不正确的命题的序号是________．（注：把你认为不正确的命题的序号都填上）

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.已知集合，，， 

求；

求

18.设，，．

若，求实数的值；

若，，求实数的值．

19.已知函数

判断函数的奇偶性，并加以证明；

用定义证明在上是减函数；

函数在上是单调增函数还是单调减函数？（直接写出答案，不要求写证明过程）．

20.已知函数是定义在上的偶函数，且当时，．

现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示，请补出完整函数的图象，并根据图象写出函数的增区间；

写出函数的解析式和值域．

21.设函数，若，且对任意实数不等式恒成立．

求实数、的值；

当时，是增函数，求实数的取值范围．

22.已知是定义在上的函数，若对于任意的，，都有，且，有．

求证：；

判断函数的奇偶性；

判断函数在上的单调性，并证明你的结论．

答案

1. 【答案】B

【解析】根据题意，易得集合的元素为全体大于的有理数，据此分析选项，综合可得答案．

【解答】解：∵集合，

∴集合中的元素是大于的有理数，

对于，“”只用于元素与集合间的关系，故错；

对于，不是有理数，故正确，错，错；

故选：．

2. 【答案】B

【解析】由已知集合到的映射中的与的对应关系，可得到答案．

【解答】解：∵集合到的映射，∴．

∴集合中元素在中对应的元素是．

故选：．

3. 【答案】A

【解析】根据两个集合间的包含关系，考查端点值的大小可得．

【解答】解：∵集合，，，∴，

故选：．

4. 【答案】B

【解析】原函数只含一个根式，只需根式内部的代数式大于等于即可．

【解答】解：要使函数有意义，则需，即，所以原函数的定义域为．

故选：．

5. 【答案】A

【解析】利用补集的定义求出，再利用并集的定义求出．

【解答】解：∵，，

∴

∵，

∴

故选：

6. 【答案】B

【解析】分别把两集合的解集表示在数轴上，根据数轴求出两集合的并集即可．

【解答】解：把集合，，

表示在数轴上：

则．

故选

7. 【答案】A

【解析】由条件利用函数的奇偶性的定义，得出结论．

【解答】解：∵函数的定义域为，且满足，故函数是奇函数；

∵函数的定义域为，且满足，故函数是偶函数；

∵函数的定义域为，不关于原点对称，故函数为非奇非偶函数；

∵函数，的定义域不关于原点对称，故函数为非奇非偶函数，

故选：．

8. 【答案】A

【解析】由，得，由此能求出原式的值．

【解答】解：．

故选：．

9. 【答案】B

【解析】本题考查的是函数的概念和图象问题．在解答时首先要对函数的概念从两个方面进行理解：一是对于定义域内的任意一个自变量在值域当中都有唯一确定的元素与之对应，二是满足一对一、多对一的标准，绝不能出现一对多的现象．

【解答】解：由题意可知：，，

对

在集合中内的元素没有像，所以不对；

对

不符合一对一或多对一的原则，故不对；

对

在值域当中有的元素没有原像，所以不对；

而

符合函数的定义．

故选：．

10. 【答案】C

【解析】由已知可知，可求，然后把代入可求

【解答】解：∵，，

∴

∴

∵为奇函数

则

故选：

11. 【答案】C

【解析】应从内到外逐层求解，计算时要充分考虑自变量的范围．根据不同的范围代不同的解析式．

【解答】解：由题可知：∵，∴，

∴，

∴

故选

12. 【答案】B

【解析】等价于，根据，是其图象上的两点，可得，利用函数是上的增函数，可得结论．

【解答】解：等价于，

∵，是其图象上的两点，

∴

∵函数是上的增函数，

∴

∴的解集是

故选：．

13. 【答案】

【解析】先求的值，判断出将代入解析式；再求，判断出将代入解析式即可．

【解答】解：∵ 

∴

故答案为：

14. 【答案】

【解析】可用换元法求解该类函数的解析式，令，则代入可得到即

【解答】解：由，令，则

代入可得到

∴

故答案为：．

15. 【答案】

【解析】根据函数是在上的奇函数，求出；再根据时的解析式，求出的解析式，从而求出函数在上的解析式，即可求出奇函数的值域．

【解答】解：∵定义在上的奇函数，

∴， 

设，则时， 

∴

∴奇函数的值域是： 

故答案为：

16. 【答案】②③

【解析】逐项分析．①根据一次函数的单调性易得；②根据反比例函数的图象和性质易知其值域应为；③可举反例说明；④利用均值不等式可得．

【解答】解：①当时，，故①正确；

②由反比例函数的图象和性质知，当时，，故②错误；

③当函数定义域为时，函数值域也为，故③错误；

④当时，．因为，所以，故④正确．

综上可知：②③错误．

故答案为：②③．

17. 【答案】解：依题意有：，，，

∴，故有．; 由，；

故有．

【解析】先用列举法表示、、三个集合，利用交集和并集的定义求出，进而求出．; 先利用补集的定义求出和，再利用并集的定义求出．

【解答】解：依题意有：，，，

∴，故有．; 由，；

故有．

18. 【答案】解：由题意知：∵∴和是方程的两根．

由

得．; 由题意知：∵，∴∴是方程的根．∴∴或

当时，，；当时，符合题意

故．

【解析】先根据，化简集合，根据集合相等的定义，结合二次方程根的定义建立等量关系，解之即可；; 先求出集合和集合，然后根据，，则只有，代入方程求出的值，最后分别验证的值是否符合题意，从而求出的值．

【解答】解：由题意知：∵∴和是方程的两根．

由

得．; 由题意知：∵，∴∴是方程的根．∴∴或

当时，，；当时，符合题意

故．

19. 【答案】证明：函数为奇函数; 设，且

∵，∴，，

∵∴．

∴， 

因此函数在上是减函数; 在上是减函数．

【解析】用函数奇偶性定义证明，要注意定义域．; 先任取两个变量，且界定大小，再作差变形看符号，; 由函数图象判断即可．

【解答】证明：函数为奇函数; 设，且

∵，∴，，

∵∴．

∴， 

因此函数在上是减函数; 在上是减函数．

20. 【答案】

解：因为函数为偶函数，故图象关于轴对称，补出完整函数图象如有图：

所以的递增区间是，．; 设，则，所以，因为是定义在上的偶函数，所以，所以时，，

故的解析式为

值域为

【解析】因为函数为偶函数，故图象关于轴对称，由此补出完整函数的图象即可，再由图象直接可写出的增区间．; 可由图象利用待定系数法求出时的解析式，也可利用偶函数求解析式，值域可从图形直接观察得到．

【解答】

解：因为函数为偶函数，故图象关于轴对称，补出完整函数图象如有图：

所以的递增区间是，．; 设，则，所以，因为是定义在上的偶函数，所以，所以时，，

故的解析式为

值域为

21. 【答案】解：∵，

∴．…

∵任意实数均有成立，∴．

解得，．…; 由知，

∴的对称轴为．…

∵当时，是增函数，

∴，…

∴实数的取值范围是．…

【解析】利用，且对任意实数不等式恒成立，列出方程组，求解即可．; 求出函数的对称轴，利用函数的单调性列出不等式，求解即可．

【解答】解：∵，

∴．…

∵任意实数均有成立，∴．

解得，．…; 由知，

∴的对称轴为．…

∵当时，是增函数，

∴，…

∴实数的取值范围是．…

22. 【答案】解：由，令，

∴，∴．; 由，令，

∴，

即，且，

∴是奇函数．; 在上是增函数．

证明：在上任取，，并且，

∴．

∵，即，

∴，

∴在上是增函数．

【解析】直接令，代入即可；; 令，所以有，即证明为奇函数；; 直接利用函数的单调性定义证明即可；

【解答】解：由，令，

∴，∴．; 由，令，

∴，

即，且，

∴是奇函数．; 在上是增函数．

证明：在上任取，，并且，

∴．

∵，即，

∴，

∴在上是增函数．