九年级上册数学《旋转》单元综合检测含答案

《旋转》单元测试

考试时间：100分钟；总分：120分

一、单选题(每小题3分,共30分)

1．(2019·南通市启秀中学初三月考)国旗上的五角星需要旋转多少度后才能与自身重合？( )

A.   

2．(2019·北京初三)如图,沿图中的右边缘所在的直线为轴将该图形向右翻折180°后,再将翻折后的正方形绕它的右下顶点按顺时针方向旋转90°,所得到的图形是(　　)

A.   

3．(2019·河北初三)下列图形与所描述的一致的是(　　)

A.等边三角形是中心对称图形

B.所有直角三角形都是轴对称图形

C.所有平行四边形都是中心对称图形

D.正五边形是中心对称图形

4．(2019·抚顺市第十五中学初三)如图,直线经过点A,作AB⊥x轴于点B,将△ABO绕点B顺时针旋转60°得到△CBD,若点B的坐标为(1,0),则点C的坐标为(　　)

A.(3,) (,) (3,) (,)

5．(2019·厦门市松柏中学初二期中)已知点与点关于原点对称,则点坐标是(　　　　)

A.   

6．(2019·黑龙江初三)如图,将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′,若B′落到BC边上,∠B＝50°,则∠CB′C′的度数为(　　)

A.50°  

7．(2019·辽宁初三)如图,在矩形中,,将矩形绕点逆时针旋转得到矩形,点的对应点落在上,且,则的长为

A.  

8．(2019·山西初三)自然界中存在很多自相似现象,如树木的生长,雪花的形成,土地干旱形成的地面裂纹．分形几何就是专门研究像雪花形状这样的自相似图形(即图形的局部与它的整体具有一定程度的相似关系)的一个数学分支．下列自相似图形中是轴对称图形但不是中心对称图形的是(　　)

A.   

9．(2019·山东初三)如图,在平面直角坐标系中,的顶点都在方格线的格点上,将绕点顺时针方向旋转,得到,则点的坐标为

A.   

10．(2019·长沙麓山国际实验学校初三月考)如图,△AOB绕点O逆时针旋转65°得到△COD,若∠AOB＝30°,∠BOC的度数是(　　)

A.30°  

二、填空题(每小题4分,共24分)

11．(2019·广东初三)如图,已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(﹣2,3)、B(﹣1,0)、C(0,1),将△ABC绕点B顺时针旋转90°,得到△A1B1C1,点A、B、C的对应点分别为A1、B1、C1,则点A1的坐标为_____．

12．(2017·上海初三)如图,在Rt△ABC 中,AB＝AC,D、E是斜边BC上两点,且∠DAE＝45°,将△ADC绕点A顺时针旋转90°后,得到△AFB．设BE＝a,DC＝b,那么AB＝_____．(用含a、b的式子表示AB)

13．(2019·浙江初三月考)如图,将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度至△AB'C'处,使得点C恰好在线B'C'上,若∠ACB=75°,则∠BCB'的度数为_______．

14．(2019·浙江初三月考)如图,在平面直角坐标系中,A(2,0),B(0,1),AC由AB绕点A顺时针旋转90°而得,则AC所在直线的解析式是____.

15．(2019·福建省建瓯市芝华中学初三月考)如图,方格中的四叶风车,其中一个叶轮至少旋转________度才能与相邻的叶轮重合？

16．(2019·湖北初三期中)如图①,在△AOB 中,∠AOB＝90º,OA＝3,OB＝4．将△AOB 沿 x 轴依次以点 A、B、O为旋转中心顺时针旋转,分别得到图②图③、…,则旋转得到的图⑧的直角顶点的坐标为____.

三、解答题一(每小题6分,共18分)

17．(2019·厦门市第五中学初三期中)已知,如图与关于点对称,画出点和

18．(2019·江西省宜春实验中学初三期中)如图,在△ABC中,已知∠ABC＝30°,将△ABC绕点B逆时针旋转50后得到△A′BC′．已知A′C′∥BC,求∠A的度数．

19．如图,已知正方形中,为上一点,把绕点顺时针旋转,与重合,与延长线上的点重合,延长交于点,求证.

四、解答题二(每小题7分,共21分)

20．(2019·辽宁初三)如图,△ABC的三个顶点和点O都在正方形网格的格点上,每个小正方形的边长都为1．

(1)将△ABC先向右平移4个单位,再向上平移2个单位得到△A1B1C1,请画出△A1B1C1；

(2)请画出△A2B2C2,使△A2B2C2和△ABC关于点O成中心对称．

21．(2019·浙江初三月考)如图,在边长为1的正方形网格中,△ABC的顶点均在格点上．

(1)画出△ABC绕点O顺时针旋转90°后的△A′B′C′．

(2)求点B绕点O旋转到点B′的路径长(结果保留π)．

22．在平面直角坐标系中,的位置如图所示,(每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形).

(1)画出关于轴对称的；

(2)将绕着点顺时针旋转,画出旋转后得到的,并直接写出点,的坐标.

五、解答题三(每小题9分,共27分)

23．(2019·张家界市民族中学初二期中)在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E．

(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；

(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,求证：DE=AD﹣BE；

(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时,试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系,并加以证明．

24．(2019·山东初三期中)如图,四边形ABCD是正方形,E,F分别是DC和CB的延长线上的点,且BF＝DE,连接AE,AF,EF.

(1)判断△ABF与△ADE有怎样的关系,并说明理由；

(2)求∠EAF的度数,写出△ABF可以由△ADE经过怎样的图形变换得到；

(3)若BC＝6,DE＝2,求△AEF的面积．

25．(2019·南通市崇川学校初二月考)如图点 P 是等边△ABC 内一点,将△APC 绕点 C 顺时针旋转 60°得到△BDC,连接 PD.

 (1)求证：△DPC 是等边三角形；

 (2)当∠APC=150°时,试判断△DPB 的形状,并说明理由；

 (3)当∠APB=100°且△DPB 是等腰三角形,求∠APC 的度数.

参

一、单选题(每小题3分,共30分)

1．(2019·南通市启秀中学初三月考)国旗上的五角星需要旋转多少度后才能与自身重合？(    )

A.    B.    C.    D.

【答案】D

【解析】该图形被平分成五部分,因而每部分被分成的圆心角是72°,因而旋转72度的整数倍,就可以与自身重合．

【详解】根据旋转对称图形的概念可知：该图形被平分成五部分,旋转72度的整数倍,就可以与自身重合,因而国旗上的每一个正五角星绕着它的中心至少旋转72度能与自身重合．

故选D．

【点睛】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后,与初始图形重合,这种图形叫做旋转对称图形,这个定点叫做旋转对称中心,旋转的角度叫做旋转角．

2．(2019·北京初三)如图,沿图中的右边缘所在的直线为轴将该图形向右翻折180°后,再将翻折后的正方形绕它的右下顶点按顺时针方向旋转90°,所得到的图形是(　　)

A.    B.    C.    D.

【答案】C

【解析】首先根据轴对称的性质得出翻折后图形,再利用旋转对称图形的概念得出即可．

【详解】解：以图的右边缘所在的直线为轴将该图形向右翻转180°后,圆在右上角,

再按顺时针方向旋转90°,圆在右下角．

故选：C．

【点睛】考查了旋转变换与轴对称变换,利用旋转对称旋转180度后重合得出是解题关键．

3．(2019·河北初三)下列图形与所描述的一致的是(　　)

A.等边三角形是中心对称图形

B.所有直角三角形都是轴对称图形

C.所有平行四边形都是中心对称图形

D.正五边形是中心对称图形

【答案】C

【解析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【详解】解：A、等边三角形是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项错误；

B、所有直角三角形不一定是轴对称图形,故此选项错误；

C、所有平行四边形都是中心对称图形,故此选项正确；

D、正五边形是轴对称图形,故此选项错误,

故选：C．

【点睛】本题考查了轴对称与中心对称图形,轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后两部分重合．

4．(2019·抚顺市第十五中学初三)如图,直线经过点A,作AB⊥x轴于点B,将△ABO绕点B顺时针旋转60°得到△CBD,若点B的坐标为(1,0),则点C的坐标为(　　)

A.(3,)    B.(,)    C.(3,)    D.(,)

【答案】D

【解析】过C作CE⊥x轴于E,得出∠ABO＝90°,再利用旋转的性质得出△BDO是等边三角形,然后利用等边三角形的性质,即可解答．

【详解】解：如图,过C作CE⊥x轴于E,则∠BEC＝90°,

∵点B的坐标为(1,0),直线经过点A,AB⊥x轴,

∴OB＝1,AB＝ ,∠ABO＝90°,

由旋转可得,BC＝AB＝,OB＝DB,∠DBO＝60°,∠DBC＝90°,

∴△BDO是等边三角形,

∴∠CBE＝90°﹣60°＝30°,

∴CE＝BC＝,BE＝CE＝,

∴OE＝1+＝ ,

∴点C的坐标为(,),

故选：D．

【点睛】此题考查坐标与图形变化-旋转,一次函数图象上点的坐标特征,解题关键在于作辅助线.

5．(2019·厦门市松柏中学初二期中)已知点与点关于原点对称,则点坐标是(　　　　)

A.    B.    C.    D.

【答案】D

【解析】根据两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反可得答案．

【详解】∵点A与点B关于原点对称,且两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反,

∴点B(-4,-5)关于原点O的对称点A点坐标是(4,5),

故选D．

【点睛】此题主要考查了关于原点对称,关键是掌握点的坐标的变化规律．

6．(2019·黑龙江初三)如图,将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′,若B′落到BC边上,∠B＝50°,则∠CB′C′的度数为(　　)

A.50°    B.60°    C.70°    D.80°

【答案】D

【解析】依据旋转的性质可求得AB=AB′,∠AB′C′的度数,依据等边对等角的性质可得到∠B=∠BB′A,于是可得到∠CB′C′的度数．

【详解】解：由旋转的性质可知：AB＝AB′,∠B＝∠AB′C′＝50°．

∵AB＝AB′,

∴∠B＝∠BB′A＝50°．

∴∠BB′C′＝50°+50°＝100°．

∴∠CB′C′＝180°﹣100°＝80°．

故选：D．

【点睛】本题主要考查的是旋转的性质、等腰三角形的性质,求得∠AB′C′和∠BB′A的度数是解题的关键．

7．(2019·辽宁初三)如图,在矩形中,,将矩形绕点逆时针旋转得到矩形,点的对应点落在上,且,则的长为(   )

A.    B.    C.8    D.10

【答案】A

【解析】两矩形是旋转得到,所以大小一样,则EF=AD=5,在通过DE=EF算出AE即可得出

【详解】∵两矩形是旋转得到；

∴EF=AD=5；

∵DE=EF,

∴DE=5,

∴AE=,

∴AB=AE=,故选A.

【点睛】熟练掌握旋转图形性质和勾股定理计算是解决本题的关键,难度一般

8．(2019·山西初三)自然界中存在很多自相似现象,如树木的生长,雪花的形成,土地干旱形成的地面裂纹．分形几何就是专门研究像雪花形状这样的自相似图形(即图形的局部与它的整体具有一定程度的相似关系)的一个数学分支．下列自相似图形中是轴对称图形但不是中心对称图形的是(　　)

A.    B.    C.    D.

【答案】D

【解析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【详解】解：A、既是中心对称图形,也是轴对称图形,不合题意；

B、既是中心对称图形,也是轴对称图形,不合题意；

C、既是中心对称图形,也是轴对称图形,不合题意；

D、是轴对称图形,但不是中心对称图形,符合题意．

故选：D．

【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念,轴对称图形的关键是寻找对称轴,两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后与原图形重合．

9．(2019·山东初三)如图,在平面直角坐标系中,的顶点都在方格线的格点上,将绕点顺时针方向旋转,得到,则点的坐标为(   )

A.    B.    C.    D.

【答案】C

【解析】选两组对应点,连接后作其中垂线,两中垂线的交点即为点P．

【详解】由图知,旋转中心P的坐标为(1,2),

故选：C．

【点睛】本题主要考查坐标与图形的变化-旋转,解题的关键是掌握旋转变换的性质．

10．(2019·长沙麓山国际实验学校初三月考)如图,△AOB绕点O逆时针旋转65°得到△COD,若∠AOB＝30°,∠BOC的度数是(　　)

A.30°    B.35°    C.45°    D.60°

【答案】B

【解析】由旋转的性质可得∠AOC=65°,由∠AOB=30°,即可求∠BOC的度数．

【详解】∵△AOB绕点O逆时针旋转65°得到△COD,

∴∠AOC＝65°,

∵∠AOB＝30°

∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝35°

故选：B．

【点睛】此题考查旋转的性质,三角形内角和定理,熟练运用旋转的性质是本题的关键．

二、填空题(每小题4分,共24分)

11．(2019·广东初三)如图,已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(﹣2,3)、B(﹣1,0)、C(0,1),将△ABC绕点B顺时针旋转90°,得到△A1B1C1,点A、B、C的对应点分别为A1、B1、C1,则点A1的坐标为_____．

【答案】(2,1)

【解析】正确画出图形解决问题即可．

【详解】解：观察图象可知：点A1的坐标为(2,1)．

故答案为(2,1)．

【点睛】本题考查坐标与图形变化的性质,解题的关键是理解题意,学会正确画出图形解决问题．

12．(2017·上海初三)如图,在Rt△ABC 中,AB＝AC,D、E是斜边BC上两点,且∠DAE＝45°,将△ADC绕点A顺时针旋转90°后,得到△AFB．设BE＝a,DC＝b,那么AB＝_____．(用含a、b的式子表示AB)

【答案】

【解析】只要证明△FAE≌△DAE,推出EF＝ED,∠ABF＝∠C＝45°,由∠EBF＝∠ABF+∠ABE＝90°,推出,可得,根据AB＝BC•cos45°即可解决问题．

【详解】证明：如图,

∵△DAC≌△FAB,

∴AD＝AF,∠DAC＝∠FAB,

∴∠FAD＝90°,

∵∠DAE＝45°,

∴∠DAC+∠BAE＝∠FAB+∠BAE＝∠FAE＝45°,

在△FAE和△DAE中,

,

∴△FAE≌△DAE,

∴EF＝ED,∠ABF＝∠C＝45°,

∵∠EBF＝∠ABF+∠ABE＝90°,

∴,

∴BC＝a+b+,

∴．

故答案为．

【点睛】本题考查旋转变换、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型．

13．(2019·浙江初三月考)如图,将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度至△AB'C'处,使得点C恰好在线B'C'上,若∠ACB=75°,则∠BCB'的度数为_______．

【答案】30°

【解析】由旋转的性质可得：AC=AC′,∠ACB=∠AC′B′=75°,可求∠ACB′=105°,即可得∠BCB'的度数．

【详解】∵将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度至△AB'C'处 

∴AC=AC′,∠ACB=∠AC′B′=75°

∴∠ACC′=∠AC′B′=75°

∴∠ACB′=105°

∵∠BCB′=∠ACB′−∠ACB

∴∠BCB′=105°−75°=30°

【点睛】本题考查旋转的性质,解题的关键是掌握旋转的性质.

14．(2019·浙江初三月考)如图,在平面直角坐标系中,A(2,0),B(0,1),AC由AB绕点A顺时针旋转90°而得,则AC所在直线的解析式是____.

【答案】

【解析】过C点作CD⊥x轴于点D,利用△ACD≌△BAO求出C点坐标,再利用待定系数法可求AC所在直线的解析式.

【详解】∵A(2,0),B(0,1),

∴OA=2,OB=1,过点C作CD⊥x轴于点D

则易知△ACD≌△BAO(AAS),

∴AD=OB=1,

CD=OA=2

∴C(3,2),

设直线AC的解析式为,将点A、点C坐标代入得

,

∴,

∴直线AC的解析式为.

故答案为：.

【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式,坐标与图形变化-旋转.能利用三角形全等求出C点坐标是解决此题关键.

15．(2019·福建省建瓯市芝华中学初三月考)如图,方格中的四叶风车,其中一个叶轮至少旋转________度才能与相邻的叶轮重合？

【答案】90

【解析】这个图形可以分成4个完全相同的部分,因而旋转的最小角度是360°除以4即可求解．

【详解】°

一个叶轮至少旋转90°才能与相邻的叶轮重合.

故答案为90°.

【点睛】本题考查旋转对称图形,解决本题的关键是熟记旋转图像的性质.

16．(2019·湖北初三期中)如图①,在△AOB 中,∠AOB＝90º,OA＝3,OB＝4．将△AOB 沿 x 轴依次以点 A、B、O为旋转中心顺时针旋转,分别得到图②图③、…,则旋转得到的图⑧的直角顶点的坐标为____.

【答案】(,)

【解析】根据勾股定理列式求出AB的长度,再利用面积法计算图②的直角顶点的纵坐标,然后根据图形不难发现,每3个图形为一个循环组依次循环,所以图⑧与图②的直角顶点的纵坐标相同,横坐标为两个三角形周长加OH的长．

【详解】∵∠AOB=90°,OA=3,OB=4,

∴AB==5,

过C作CH⊥x轴于H,如图,

∵CH×5=×3×4,

∴CH=,

∴AH=,

根据图形,每3个图形为一个循环组,3+5+4=12,

而8=3×2+2,

∴图⑧与图②的直角顶点的纵坐标相同,都为,图⑧的直角顶点的横坐标为2×12+3+=,

即图⑧的直角顶点的坐标为(,)．

故答案为(,)．

【点睛】本题考查了坐标与图形变换：旋转图形的坐标：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°,45°,60°,90°,180°．也考查了勾股定理．

三、解答题一(每小题6分,共18分)

17．(2019·厦门市第五中学初三期中)已知,如图与关于点对称,画出点和

【答案】见解析

【解析】连接对应点A和,其中点即为点O,再分别找出点B,点C的对应点并连接起来即可得出

【详解】解：如图所示, 点和即为所求.

【点睛】本题考查了作图-作中心对称图形,掌握中心对称图形的性质是解题关键.

18．(2019·江西省宜春实验中学初三期中)如图,在△ABC中,已知∠ABC＝30°,将△ABC绕点B逆时针旋转50后得到△A′BC′．已知A′C′∥BC,求∠A的度数．

【答案】100°

【解析】根据△ABC绕点B旋转后得到△A′BC′,可得△ABC≌△A′BC′,；因为旋转了50°,所以,可得到,再根据A′C′∥BC,可得,即可得出.

【详解】解：∵将△ABC绕点B逆时针旋转50后得到△A′BC′,

∴, △ABC≌△A′BC′,

∵△ABC≌△A′BC′,

∴,

∴；

∵A′C′∥BC,

∴,

∴,

∴;

故答案为100°.

【点睛】本题考查旋转后三角形全等性质的应用,找出旋转角再结合平行线是本题解题关键；遇到旋转的题目先确定旋转中心,并且旋转必有全等,这些都是当做已知条件来用的,做题的时候比较容易忽略.

19．如图,已知正方形中,为上一点,把绕点顺时针旋转,与重合,与延长线上的点重合,延长交于点,求证.

【答案】见解析

【解析】根据旋转的性质可知,,,则有,推出,等角替换得,在∆AGE中根据三角形内角和得,则可证明.

【详解】证明：由旋转可知,,

∴.∵,

∴,

∴,∴.

【点睛】此题主要考查了旋转的性质、三角形内角和定理以及等角的替换等知识,熟练掌握各个知识点,并学会综合利用是解题的关键.

四、解答题二(每小题7分,共21分)

20．(2019·辽宁初三)如图,△ABC的三个顶点和点O都在正方形网格的格点上,每个小正方形的边长都为1．

(1)将△ABC先向右平移4个单位,再向上平移2个单位得到△A1B1C1,请画出△A1B1C1；

(2)请画出△A2B2C2,使△A2B2C2和△ABC关于点O成中心对称．

【答案】解：(1)所画△A1B1C1如图所示．

(2)所画△A2B2C2如图所示．

【解析】(1)图形的整体平移就是点的平移,找到图形中几个关键的点,也就是A,B,C点,依次的依照题目的要求平移得到对应的点,然后连接得到的点从而得到对应的图形；

(2)在已知对称中心的前提下找到对应的对称图形,关键还是找点的对称点,找法是连接点与对称中心O点并延长相等的距离即为对称点的位置,最后将对称点依次连接得到关于O点成中心对称的图形.

【详解】解：(1)所画△A1B1C1如图所示．

(2)所画△A2B2C2如图所示．

【点睛】图形的平移就是点的平移,依次将点进行平移再连接得到的图形即为平移后得到图形；一定要区分中心对称和轴对称,中心对称的对称中心是一个点,将原图沿着对称中心旋转180°可与原图重合；轴对称是关于一条直线对称,可沿着直线折叠与原图重合.

21．(2019·浙江初三月考)如图,在边长为1的正方形网格中,△ABC的顶点均在格点上．

(1)画出△ABC绕点O顺时针旋转90°后的△A′B′C′．

(2)求点B绕点O旋转到点B′的路径长(结果保留π)．

【答案】(1)画图见解析；(2)点B绕点O旋转到点B′的路径长为．

【解析】(1)利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点A′、B′、C′,从而得到△A′B′C′；

(2)先计算出OB的长,然后根据弧长公式计算点B绕点O旋转到点B′的路径长．

【详解】(1)如图,△A′B′C′为所作；

(2)OB＝＝3,点B绕点O旋转到点B′的路径长＝＝π．

【点睛】本题考查作图﹣旋转变换和旋转的性质,解题的关键是掌握旋转的性质．

22．在平面直角坐标系中,的位置如图所示,(每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形).

(1)画出关于轴对称的；

(2)将绕着点顺时针旋转,画出旋转后得到的,并直接写出点,的坐标.

【答案】(1)见解析；(2)见解析

【解析】(1)分别作出点A、B、C关于y轴的对称点,再顺次连接可得；

(2)利用网格特点和旋转的性质画出点B、C的对应点B2、C2,从而得到△AB2C2,再写出点B2、C2的坐标．

【详解】解：(1)如图,△A1B1C1即为所求；

(2)如图,△AB2C2即为所求,点B2(4,-2),C2(1,-3)．

【点睛】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知,对应角都相等都等于旋转角,对应线段也相等,由此可以通过作相等的角,在角的边上截取相等的线段的方法,找到对应点,顺次连接得出旋转后的图形．也考查了轴对称变换．

五、解答题三(每小题9分,共27分)

23．(2019·张家界市民族中学初二期中)在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E．

(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；

(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,求证：DE=AD﹣BE；

(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时,试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系,并加以证明．

【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析；(2)证明见解析；(3)DE=BE﹣AD．

【解析】(1)根据同角的余角相等得到∠ACD=∠CBE,即可证明△ADC≌△CEB；

(2)根据全等三角形的性质得到AD=CE,DC=EB,即可证明DE=AD﹣BE；

(3)与(1)的证明方法类似,证的△ADC≌△CEB,得出AD=CE,DC=EB,即可得出DE、AD、BE的等量关键.

【详解】(1)∵∠ACB=90°

∴∠ACD+∠BCE=90°

又∵AD⊥MN,BE⊥MN

∴∠ADC=∠CEB=90°

∴∠BCE+∠CBE=90°

∴∠ACD=∠CBE

在△ADC和△CEB中,

∴△ADC≌△CEB

∴AD=CE,DC=BE

∴DE=DC+CE=BE+AD；

(2)在△ADC和△CEB中,

∴△ADC≌△CEB

∴AD=CE,DC=EB

∴DE=CE﹣DC=AD﹣EB；

(3)DE=BE﹣AD．

在△ADC和△CEB中,

∴△ADC≌△CEB

∴AD=CE,DC=BE

∴DE=DC﹣CE=BE﹣AD．

【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质、直角三角形,关键是仔细观察图形得出线段的等量关系.

24．(2019·山东初三期中)如图,四边形ABCD是正方形,E,F分别是DC和CB的延长线上的点,且BF＝DE,连接AE,AF,EF.

(1)判断△ABF与△ADE有怎样的关系,并说明理由；   

(2)求∠EAF的度数,写出△ABF可以由△ADE经过怎样的图形变换得到；    

(3)若BC＝6,DE＝2,求△AEF的面积．

【答案】(1)△ABF ≌△ADE,理由详见解析；(2)△ABF可以由△ADE绕点A顺时针方向旋转90°得到；(3)20.

【解析】(1)利用正方形的性质结合全等三角形的判定与性质得出答案；

(2)由于△ADE≌△ABF得∠BAF=∠DAE,则∠BAF+∠BAE=90°,即∠FAE=90°,根据旋转的定义可得到△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A点,按顺时针方向旋转90 度得到；

(3)首先利用勾股定理求出AE的长,由题意可得AF=AE,∠EAF=90°,再由三角形面积公式得出答案．

【详解】(1)△ABF ≌△ADE                          

理由如下：∵四边形ABCD是正方形,

∴AB=AD,∠ABC=∠D=90°,

∵点F是CB的延长线上的点,

∴∠ABF=90°,

在△ABF和△ADE中

∴△ABF ≌△ADE(SAS)；   

(2)∵△ABF ≌△ADE

∴∠BAF=∠DAE,

∵∠DAE+∠EAB=90°,

∴∠BAF+∠EAB=90°,即∠FAE=90°,

∴△ABF可以由△ADE绕点A顺时针方向旋转90°得到；    

(3)∵BC=6,

∴AD=6,

在Rt△ADE中,DE=2,AD=6,

∴AE= =

∵△ABF可以由△ADE绕点A顺时针方向旋转90 度得到,         

∴AF=AE=,∠EAF=90°,

∴S△AEF=AF∙AE=20

【点睛】本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,旋转的性质以及勾股定理等知识点,解决本题的关键是明确△ABF可以由△ADE绕旋转中心A点,按顺时针方向旋转90°得到,即△ABF≌△ADE．

25．(2019·南通市崇川学校初二月考)如图点 P 是等边△ABC 内一点,将△APC 绕点 C 顺时针旋转 60°得到△BDC,连接 PD.

 (1)求证：△DPC 是等边三角形；

 (2)当∠APC=150°时,试判断△DPB 的形状,并说明理由；

 (3)当∠APB=100°且△DPB 是等腰三角形,求∠APC 的度数.

【答案】(1)见解析；(2)直角三角形；(3)100°或 130°或 160°.

【解析】(1)由旋转的性质可得：PC=DC,∠PCD=∠ACB=60°,即可得△DPC是等边三角形；

(2)由△APC≌△BDC,可得∠BDC=∠APC=150°,由△DPC是等边三角形,可得∠BDP=90°,可判断△DPB的形状是直角三角形；

(3)分三种情况讨论：①PD=PB,②PD=DB,③PB=DB．

【详解】(1)如图,

由旋转的性质得：△APC≌△BDC,PC=DC,∠PCD=∠ACB,

∵在等边△ABC有∠ACB=60°

∴∠PCD=60°,

∴△DPC是等边三角形；

(2)△DPB是直角三角形．

理由：由旋转有∠BDC=∠APC=150°,

又由(1)△DPC是等边三角形,

∴∠PDC=60°

∴∠BDP=∠BDC-∠PDC=90°,

∴△DPB是直角三角形；

(3)设∠APC=x,则∠BPD=200°-x,∠BDP=x-60°

①若PD=PB,则(200°-x)+2(x-60°)=180°,∴x=100°；

②若PD=DB,则2(200°-x)+(x-60°)=180°,∴x=160°；

③若PB=DB,则200°-x=x-60°,∴x=130°．

【点睛】此题考查了等边三角形的判定与性质及旋转的性质,解题关键在于注意旋转前后得到的图形是全等图形,对应线段相等,对应角相等．