山东省泰安市东平县2015-2016学年九年级数学上学期期中试题(含解析...

一、选择题（本大题共20个小题，每小题3分，共60分．）在四个选项中只有一项是正确的．

1．下列说法正确的是（　　）

A．各有一个角是70°的等腰三角形相似

B．各有一个角是95°的等腰三角形相似

C．所有的矩形相似

D．所有的菱形相似

2．在△ABC中，∠C=90°，sinB=，则tanA的值为（　　）

A．    B．1    C．    D．

3．如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一座凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在（　　）

A．△ABC三条中线的交点

B．△ABC三边的垂直平分线的交点

C．△ABC三条角平分线的交点

D．△ABC三条高所在直线的交点

4．如图，在△ABC中，已知∠AED=∠B，DE=6；AB=10，AE=5，则BC的长为（　　）

A．3    B．12    C．    D．7

5．如图，在△ABC中，D、E分别为AB，AC的中点，连接BE，DC交于F点，则△DEF与△BDF的面积比为（　　）

A．1：2    B．1：4    C．4：9    D．1：3

6．如图，D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，下面的说法中：

①△ABC与△DEF是位似图形；

②△ABC与△DEF的相似比为1：2；

③△ABC与△DEF的周长之比为2：1；

④△ABC与△DEF的面积之比为4：1．

正确的是（　　）

A．①②③    B．①③④    C．①②④    D．②③④

7．如图，点F是▱ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线与点E，则下列结论错误的是（　　）

A．    B．    C．    D．

8．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形．若OA：OC=OB：OD，则下列结论中一定正确的是（　　）

A．①②相似    B．①③相似    C．①④相似    D．②相似

9．在△ABC中，∠C=90°，∠B=50°，AB=10，则BC的长为（　　）

A．10tan50°    B．10cos50°    C．10sin50°    D．

10．如图，一个小球由地面沿着坡度i=1：2的坡面向上前进了10m，此时小球距离地面的高度为（　　）

A．5m    B． m    C． m    D． m

11．正方形网格中，∠AOB如图放置，则sin∠AOB=（　　）

A．    B．    C．    D．2

12．如图，为测量某物体AB的高度，在D点测得A点的仰角为30°，朝物体AB方向前进20米，到达点C，再次测得点A的仰角为60°，则物体AB的高度为（　　）

A．10米    B．10米    C．20米    D．米

13．如图，⊙O的直径为10cm，弦AB为8cm，P是弦AB上一点，若OP的长是整数，则满足条件的点P有（　　）

A．2个    B．3个    C．4个    D．5个

14．如图，已知A，B，C三点在⊙O上，AC⊥BO于O，∠B=55°，则∠BOC的度数为（　　）

A．45°    B．35°    C．70°    D．80°

15．如图，⊙O的圆心O到直线m的距离为3cm，⊙O的半径为1cm，将直线m向右（垂直于m的方向）平移，使m与⊙O相切，则平移的距离为（　　）

A．1cm    B．2cm    C．4cm    D．2cm或4cm

16．如图，两个同心圆的半径分别为3cm和5cm，大圆的一条弦AB与小圆相切，则弦AB的长为（　　）

A．3cm    B．4cm    C．6cm    D．8cm

17．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点是A、B，已知∠P=60°，0A=3，那么∠AOB所对弧的长度为（　　）

A．6π    B．5π    C．3π    D．2π

18．如图，扇形AOB的半径为1，∠AOB=90°，以AB为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．    B．    C．    D．

19．边长为a的正六边形的面积为（　　）

A． a    B．4a2    C． a2    D． a2

20．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是（　　）

A．CM=DM    B． =    C．∠ACD=∠ADC    D．OM=MD

二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分．）

21．如图所示，已知∠DAB=∠CAE，再添加一个条件就能使△ADE∽△ABC，则这个条件可能是　　　　　　．（写出一个即可）

22．在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且（sinA﹣）2+（tanB﹣1）2=0，则∠C=　　　　　　．

23．如图，△ABC内接于⊙O，若∠B=30°，AC=3，则⊙O的直径为　　　　　　．

24．如图，在⊙O上有定点C和动点P，位于直径AB的两侧，过点C作CP的垂线与PB的延长线交于点Q．已知⊙O的直径为5，tan∠ABC=，则CQ的最大值为　　　　　　．

三、解答题（本大题共5个小题，共48分．）解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．

25．如图，在△ABC中，已知：∠A=30°，∠C=105°，AC=4，求AB和BC的长．

26．如图，等边三角形ABC的边长为5，点E为BC边上一点，且BE=2，点D为AC边上一点，若∠AED=60°，求CD的长？

27．如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，CD是斜边AB上的高．

（1）求证：CD2=AD•BD；

（2）若AC=3，BC=4，求BD的长和求sin∠BCD的值．

28．已知：如图，AB是⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE切⊙O于点D，交BC于点E．

（1）求证：DE⊥BC；

（2）如果CD=4，CE=3，求⊙O的半径．

29．如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF经过点C，AD⊥EF于点D，∠DAC=∠BAC．

（1）求证：EF是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为2，∠ACD=30°，求图中阴影部分的面积．

2015-2016学年山东省泰安市东平县九年级（上）期中数学试卷

参与试题解析

一、选择题（本大题共20个小题，每小题3分，共60分．）在四个选项中只有一项是正确的．

1．下列说法正确的是（　　）

A．各有一个角是70°的等腰三角形相似

B．各有一个角是95°的等腰三角形相似

C．所有的矩形相似

D．所有的菱形相似

【分析】A、根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定定理进行判断；

B、根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定定理进行判断；

C、D根据相似图形的定义进行判断．

【解答】解：A、若一个等腰三角形的顶角为70°，而另一个的顶角为40°，则此两个等腰三角形不相似，故本选项错误；

B、95°的角只能是顶角，则顶角为95°的两个等腰三角形相似，故本选项正确；

C、所有的矩形是形状不唯一确定的图形，不一定是相似形，故本选项错误；

D、所有的菱形是形状不唯一确定的图形，不一定是相似形，故本选项错误；

故选：B．

2．在△ABC中，∠C=90°，sinB=，则tanA的值为（　　）

A．    B．1    C．    D．

【分析】先根据特殊角的三角函数值得出∠B，从而得出∠A，即可计算出结果．

【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，

∵sinB=，

∴∠B=30°，

∴∠A=60°，

∴tanA=．

故选A．

3．如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一座凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在（　　）

A．△ABC三条中线的交点

B．△ABC三边的垂直平分线的交点

C．△ABC三条角平分线的交点

D．△ABC三条高所在直线的交点

【分析】直接根据角平分线的性质进行解答即可．

【解答】解：∵角平分线上的点到角两边的距离相等，

∴凉亭的位置应选在△ABC三条角平分线的交点上．

故选C．

4．如图，在△ABC中，已知∠AED=∠B，DE=6；AB=10，AE=5，则BC的长为（　　）

A．3    B．12    C．    D．7

【分析】由公共角和已知条件证明△ADE∽△ACB，得出对应边成比例，即可求出BC的长．

【解答】解：∵∠A=∠A，∠AED=∠B，

∴△ADE∽△ACB，

∴，

即，

解得：BC=12．

故选：B．

5．如图，在△ABC中，D、E分别为AB，AC的中点，连接BE，DC交于F点，则△DEF与△BDF的面积比为（　　）

A．1：2    B．1：4    C．4：9    D．1：3

【分析】证明DE是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得出DE∥BC，DE=BC，得出△DEF∽△CBF，得出对应边成比例EF：BF=DE：BC=1：2，得出△DEF与△BDF的面积比=EF：BF，即可得出结果．

【解答】解：∵D、E分别为AB，AC的中点，

∴DE是△ABC的中位线，

∴DE∥BC，DE=BC，

∴△DEF∽△CBF，

∴EF：BF=DE：BC=1：2，

∴△DEF与△BDF的面积比=EF：BF=1：2；

故选：A．

6．如图，D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，下面的说法中：

①△ABC与△DEF是位似图形；

②△ABC与△DEF的相似比为1：2；

③△ABC与△DEF的周长之比为2：1；

④△ABC与△DEF的面积之比为4：1．

正确的是（　　）

A．①②③    B．①③④    C．①②④    D．②③④

【分析】根据位似图形的性质，得出①△ABC与△DEF是位似图形，进而根据位似图形一定是相似图形得出 ②△ABC与△DEF是相似图形，再根据周长比等于位似比，以及根据面积比等于相似比的平方，即可得出答案．

【解答】解：根据位似性质得出①△ABC与△DEF是位似图形，

②△ABC与△DEF是相似图形，且相似比是： =2，

③△ABC与△DEF的周长比等于相似比，即2：1，

④根据面积比等于相似比的平方，则△ABC与△DEF的面积比为4：1．

综上所述，正确的结论是：①③④．

故选：B．

7．如图，点F是▱ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线与点E，则下列结论错误的是（　　）

A．    B．    C．    D．

【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得CD∥AB，AD∥BC，CD=AB，AD=BC，然后平行线分线段成比例定理，对各项进行分析即可求得答案．

【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CD∥AB，AD∥BC，CD=AB，AD=BC，

∴，故A正确；

∴，

∴，故B正确；

∴，故C错误；

∴，

∴，故D正确．

故选C．

8．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形．若OA：OC=OB：OD，则下列结论中一定正确的是（　　）

A．①②相似    B．①③相似    C．①④相似    D．②相似

【分析】由两边成比例和夹角相等（对顶角相等），即可得出△AOB∽△COD，即可得出结果．

【解答】解：∵OA：OC=OB：OD，∠AOB=∠COD，

∴△AOB∽△COD，C正确；

故选：C．

9．在△ABC中，∠C=90°，∠B=50°，AB=10，则BC的长为（　　）

A．10tan50°    B．10cos50°    C．10sin50°    D．

【分析】根据三角函数的定义即可求解．

【解答】解：∵cosB=，

∴BC=ABcosB=10cos50°．

故选：B．

10．如图，一个小球由地面沿着坡度i=1：2的坡面向上前进了10m，此时小球距离地面的高度为（　　）

A．5m    B． m    C． m    D． m

【分析】可利用勾股定理及所给的比值得到所求的线段长．

【解答】解：∵AB=10米，tanA==．

∴设BC=x，AC=2x，

由勾股定理得，AB2=AC2+BC2，即100=x2+4x2，解得x=2，

∴AC=4，BC=2米．

故选B．

11．正方形网格中，∠AOB如图放置，则sin∠AOB=（　　）

A．    B．    C．    D．2

【分析】找出以∠AOB为内角的直角三角形，根据正弦函数的定义，即直角三角形中∠AOB的对边与斜边的比，就可以求出．

【解答】解：如图，作EF⊥OB，则EF=2，OF=1，由勾股定理得，OE=，

∴sin∠AOB===．

故选B．

12．如图，为测量某物体AB的高度，在D点测得A点的仰角为30°，朝物体AB方向前进20米，到达点C，再次测得点A的仰角为60°，则物体AB的高度为（　　）

A．10米    B．10米    C．20米    D．米

【分析】首先根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，应利用其公共边AB及CD=DC﹣BC=20构造方程关系式，进而可解，即可求出答案．

【解答】解：∵在直角三角形ADB中，∠D=30°，

∴=tan30°

∴BD==AB

∵在直角三角形ABC中，∠ACB=60°，

∴BC==AB

∵CD=20

∴CD=BD﹣BC=AB﹣AB=20

解得：AB=10．

故选A．

13．如图，⊙O的直径为10cm，弦AB为8cm，P是弦AB上一点，若OP的长是整数，则满足条件的点P有（　　）

A．2个    B．3个    C．4个    D．5个

【分析】首先过点O作OC⊥AB于点C，连接OB，由垂径定理可求得OP的取值范围为3≤OP≤5，而OP=3的点只有一个，OP=4的点有2个，OP=5的点有2个，故符合条件的点P有5个．

【解答】解：过点O作OC⊥AB于点C，连接OB，

∵⊙O的直径为10cm，弦AB为8cm，

∴BC=AB=4（cm），OB=5cm，

∴OC==3（cm），

∴3cm≤OP≤5cm，

∵OP的长是整数，

∴OP=3的点只有一个，OP=4的点有2个，OP=5的点有2个，

∴满足条件的点P有5个．

故选D．

14．如图，已知A，B，C三点在⊙O上，AC⊥BO于O，∠B=55°，则∠BOC的度数为（　　）

A．45°    B．35°    C．70°    D．80°

【分析】根据三角形的内角和得到∠A=35°，根据圆周角定理即可得到结论．

【解答】解：∵AC⊥BO于O，∠B=55°，

∴∠A=35°，

∴∠BOC=2∠A=70°，

故选C．

15．如图，⊙O的圆心O到直线m的距离为3cm，⊙O的半径为1cm，将直线m向右（垂直于m的方向）平移，使m与⊙O相切，则平移的距离为（　　）

A．1cm    B．2cm    C．4cm    D．2cm或4cm

【分析】直线m向右平移时，会与圆在左边相切，或者右边相切，有两种情况，分别讨论解答即可．

【解答】解：∵圆心O到直线m的距离为3cm，半径为1cm，

∴当直线与圆在左边相切时，平移距离为：3﹣1=2cm，

当直线与圆在右边相切时，平移距离为：3+1=4cm，

故选D．

16．如图，两个同心圆的半径分别为3cm和5cm，大圆的一条弦AB与小圆相切，则弦AB的长为（　　）

A．3cm    B．4cm    C．6cm    D．8cm

【分析】连接OC和OB，根据切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，知OC⊥AB，应用勾股定理可将BC的长求出，从而求出AB的长．

【解答】解：连接OC和OB，

∵弦AB与小圆相切，

∴OC⊥AB，

在Rt△OBC中，

BC===4cm，

∴AB=2BC=8cm．

故选D．

17．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点是A、B，已知∠P=60°，0A=3，那么∠AOB所对弧的长度为（　　）

A．6π    B．5π    C．3π    D．2π

【分析】由于PA、PB是⊙O的切线，由此得到∠OAP=∠OBP=90°，而∠P=60°，然后利用四边形的内角和即可求出∠AOB然后利用已知条件和弧长公式即可求出∠AOB所对弧的长度．

【解答】解：∵PA、PB是⊙O的切线，

∴∠OAP=∠OBP=90°，

而∠P=60°，

∴∠AOB=120°，

∠AOB所对弧的长度==2π．

故选D．

18．如图，扇形AOB的半径为1，∠AOB=90°，以AB为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．    B．    C．    D．

【分析】首先利用扇形公式计算出半圆的面积和扇形AOB的面积，然后求出△AOB的面积，用S半圆+S△AOB﹣S扇形AOB可求出阴影部分的面积．

【解答】解：在Rt△AOB中，AB==，

S半圆=π×（）2=π，

S△AOB=OB×OA=，

S扇形OBA==，

故S阴影=S半圆+S△AOB﹣S扇形AOB=．

故选C．

19．边长为a的正六边形的面积为（　　）

A． a    B．4a2    C． a2    D． a2

【分析】边长为a的正六边形的面积是边长是a的等边三角形的面积的6倍，据此即可求解．

【解答】解：边长为a的等边三角形的面积=a2=a2，

则边长为a的正六边形的面积等于6×a2=a2．

故选C．

20．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是（　　）

A．CM=DM    B． =    C．∠ACD=∠ADC    D．OM=MD

【分析】由直径AB垂直于弦CD，利用垂径定理得到M为CD的中点，B为劣弧的中点，可得出A和B选项成立，再由AM为公共边，一对直角相等，CM=DM，利用SAS可得出三角形ACM与三角形ADM全等，根据全等三角形的对应角相等可得出选项C成立，而OM不一定等于MD，得出选项D不成立．

【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，

∴M为CD的中点，即CM=DM，选项A成立；

B为的中点，即=，选项B成立；

在△ACM和△ADM中，

∵，

∴△ACM≌△ADM（SAS），

∴∠ACD=∠ADC，选项C成立；

而OM与MD不一定相等，选项D不成立．

故选：D

二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分．）

21．如图所示，已知∠DAB=∠CAE，再添加一个条件就能使△ADE∽△ABC，则这个条件可能是　∠D=∠B　．（写出一个即可）

【分析】先证出∠DAE=∠BAC，再由∠D=∠B，根据三角形相似的判定方法即可得出△ADE∽△ABC．

【解答】解：这个条件可能是∠D=∠B；理由如下：

∵∠DAB=∠CAE，

∴∠DAB+∠BAE=∠CAE+∠BAE，

即∠DAE=∠BAC，

又∵∠D=∠B，

∴△ADE∽△ABC．

22．在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且（sinA﹣）2+（tanB﹣1）2=0，则∠C=　75°　．

【分析】根据偶次幂具有非负性可得sinA﹣=0，tanB﹣1=0，再根据特殊角的三角函数值可得：∠A=60°，∠B=45°，然后再利用三角形内角和定理可得答案．

【解答】解：由题意得：sinA﹣=0，tanB﹣1=0，

解得：∠A=60°，∠B=45°，

则∠C=180°﹣60°﹣45°=75°，

故答案为：75°．

23．如图，△ABC内接于⊙O，若∠B=30°，AC=3，则⊙O的直径为　6　．

【分析】过C作直径CD，连AD，根据圆周角定理及推论得到∠CAD=90°和∠D=∠B=30°，再根据30度角所对的直角边等于斜边的一半即可得到圆的直径．

【解答】解：过C作直径CD，连AD，

∴∠D=∠B=30°，∠CAD=90°，

∴CD=2AC=6，

∴⊙O的直径为6；

故答案为：6．

24．如图，在⊙O上有定点C和动点P，位于直径AB的两侧，过点C作CP的垂线与PB的延长线交于点Q．已知⊙O的直径为5，tan∠ABC=，则CQ的最大值为　　．

【分析】由AB为直径和PC⊥CQ可得出∠PCQ=90°=∠ACB，又由∠P与∠A为同弦所对的圆周角，可得出∠P=∠A，从而得出△ACB∽△PCQ，即得出CQ=•CP，由tan∠ABC=得出CQ=CP，当CP最大时，CQ也最大，而CP为圆内一弦，故CP最大为直径，由此得出CQ的最大值．

【解答】解：∵线段AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=90°．

∵CQ⊥PC，

∴∠PCQ=90°=∠ACB，

又∵∠P=∠A（同弦圆周角相等），

∴△ACB∽△PCQ，

∴．

在Rt△ACB中，tan∠ABC=，

∴=，

∴CQ=•CP=CP．

∵线段CP是⊙O内一弦，

∴当CP过圆心O时，CP最大，且此时CP=5．

∴CQ=×5=．

故答案为：．

三、解答题（本大题共5个小题，共48分．）解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．

25．如图，在△ABC中，已知：∠A=30°，∠C=105°，AC=4，求AB和BC的长．

【分析】过C作CD⊥AB于D，则∠CDA=∠CDB=90°，在Rt△ACD中，由∠A=30°，AC=4，求得CD=AC•sinA=2，AD=AC，cosA=2，根据三角形的内角和得到∠B=45°，在Rt△BCD中，根据BD=CD=2，BC=2，即可得到AB=2+2．

【解答】解：过C作CD⊥AB于D，则∠CDA=∠CDB=90°，

在Rt△ACD中，

∵∠A=30°，AC=4，

∴CD=AC•sinA=2，AD=AC，cosA=2，

∵∠A=30°，∠ACB=105°，

∴∠B=45°，

在Rt△BCD中，BD=CD=2，BC=2，

∴AB=2+2．

26．如图，等边三角形ABC的边长为5，点E为BC边上一点，且BE=2，点D为AC边上一点，若∠AED=60°，求CD的长？

【分析】由等边三角形的性质得出AB=BC=AC=5，∠B=∠C=60°，证明△ABE∽△ECD，得出对应边成比例=，即可求出CD的长．

【解答】解：∵△ABC是等边三角形，

∴AB=BC=AC=5，∠B=∠C=60°，

∵∠AEC=∠AED+∠DEC，

∠AEC=∠B+∠BAE，

∴∠AED+∠DEC=∠B+∠BAE，

又∵∠AED=∠B=60°，

∴∠DEC=∠BAE，

∴△ABE∽△ECD，

∴=，

∵BE=2，BC=5，

∴EC=3，

∴CD===．

27．如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，CD是斜边AB上的高．

（1）求证：CD2=AD•BD；

（2）若AC=3，BC=4，求BD的长和求sin∠BCD的值．

【分析】（1）由互余两角的关系得出∠B=∠ACD，∠DCB=∠A，证出△ACD∽△CBD，得出对应边成比例，即可得出结论；

（2）由相似三角形的性质得出，由勾股定理求出AB，由三角形的面积求出CD，得出BD，即可得出sin∠BCD的值．

【解答】（1）证明：∵∠ACB=90°，∠ACD+∠DCB=90°，

∵CD是斜边AB上的高，

∴∠B+∠DCB=90°，∠A+∠ACD=90°，

∴∠B=∠ACD，∠DCB=∠A，

∴△ACD∽△CBD，

∴，

即 CD2=AD•BD；

（2）解：由（1）知：△ACD∽△CBD，

∴，

在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，

∴AB==5，

由△ABC的面积得：AB•CD=AC•BC，

∴5CD=3×4，

∴CD=，

∴，

解得：BD=，

sin∠BCD===．

28．已知：如图，AB是⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE切⊙O于点D，交BC于点E．

（1）求证：DE⊥BC；

（2）如果CD=4，CE=3，求⊙O的半径．

【分析】本题由已知DE是⊙O的切线，可联想到常作的一条辅助线，即“见切点，连半径，得垂直”，然后再把要证的垂直与已有的垂直进行联系，即可得出证法．

【解答】（1）证明：连接OD，（1分）

∵DE切⊙O于点D，

∴DE⊥OD，

∴∠ODE=90°，（2分）

又∵AD=DC，AO=OB，

∴OD是中位线，

∴OD∥BC，（3分）

∴∠DEC=∠ODE=90°，

∴DE⊥BC；（4分）

（2）解：连接BD，（5分）

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，（6分）

∴BD⊥AC，

∴∠BDC=90°，

又∵DE⊥BC，

Rt△CDB∽Rt△CED，（7分）

∴，

∴BC=，（9分）

又∵OD=BC，

∴OD=，

即⊙O的半径为．（10分）

29．如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF经过点C，AD⊥EF于点D，∠DAC=∠BAC．

（1）求证：EF是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为2，∠ACD=30°，求图中阴影部分的面积．

【分析】（1）连接OC，由OA=OC，利用等边对等角得到∠OAC=∠OCA，由∠DAC=∠BAC，等量代换得到一对内错角相等，得到AD与OC平行，由AD垂直于EF，得到OC垂直于EF，即可得到EF为圆O的切线；

（2）由∠ACD的度数求出∠OCA为60°，确定出三角形AOC为等边三角形，由半径为2求出AC的长，在直角三角形ACD中，由30度所对的直角边等于斜边的一半求出AD的长，再利用勾股定理求出CD的长，由扇形AOC面积减去三角形AOC面积求出弓形的面积，再由三角形ACD面积减去弓形面积即可求出阴影部分面积．

【解答】解：（1）连接OC，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∵∠DAC=∠BAC，

∴∠DAC=∠OCA，

∴AD∥OC，

∵AD⊥EF，

∴OC⊥EF，

则EF为圆O的切线；

（2）∵∠ACD=30°，∠ADC=90°，

∴∠CAD=∠OCA=60°，

∴△AOC为等边三角形，

∴AC=OC=OA=2，

在Rt△ACD中，∠ACD=30°，

∴AD=AC=1，根据勾股定理得：CD=，

∴S阴影=S△ACD﹣（S扇形AOC﹣S△AOC）=×1×﹣（﹣×22）=﹣．