命题及其关系、充分条件与必要条件

【知识通关】

1．命题

用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．

2．四种命题及其相互关系

(1)四种命题间的相互关系

(2)四种命题的真假关系

①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．

3．充分条件与必要条件

(1)若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；

(2)若p⇒q，且qp，则p是q的充分不必要条件；

(3)若pq且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；

(4)若p⇔q，则p是q的充要条件；

(5)若pq且qp，则p是q的既不充分也不必要条件．

[常用结论]

1．在四种形式的命题中，真命题的个数只能为0,2,4.

2．p是q的充分不必要条件，等价于綈q是綈p的充分不必要条件．其他情况依次类推．

3．集合与充要条件：设p，q成立的对象构成的集合分别为A，B，p是q的充分不必要条件⇔A B；p是q的必要不充分条件⇔A B；p是q的充要条件⇔A＝B.

【基础自测】

1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)“x2＋2x－3<0”是命题．(　　)

(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．(　　)

(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(　　)

(4)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”．(　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√

2．(教材改编)命题“若α＝，则sin α＝”的逆否命题是(　　)

A．若α≠，则sin α≠

B．若α＝，则sin α≠

C．若sin α≠，则α≠

D．若sin α≠，则α＝

C

3．“x＝1”是“(x－1)(x＋2)＝0”的(　　)

A．充分不必要条件　　    B．必要不充分条件

C．充要条件      D．既不充分也不必要条件

A

4．下列命题是真命题的是(　　)

A．矩形的对角线相等

B．若a＞b，c＞d，则ac＞bd

C．若整数a是素数，则a是奇数

D．命题“若x2＞0, 则x＞1”的逆否命题

A　

5．已知命题“若x＞1，则2x＜3x”，则在它的逆命题、否命题、逆否命题中，正确命题的个数是(　　)

A．0      B．1

C．2      D．3

B　

【题型突破】

四种命题的关系及其真假的判断

1．某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”，这句话的等价命题是(　　)

A．不拥有的人们会幸福　　    B．幸福的人们不都拥有

C．拥有的人们不幸福      D．不拥有的人们不幸福

D　

2．若命题A的逆命题为B，命题A的否命题为C，则B是C的(　　)

A．逆命题      B．否命题

C．逆否命题      D．都不对

C　

3．下列命题中的真命题是(　　)

①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；

②“正多边形都相似”的逆命题；

③“若m＞0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题；

④“若x＝3，则x是无理数”的逆否命题．

A．①②③④      B．①③④

C．②③④      D．①④

B　

[方法总结]　(1)写一个命题的其他三种命题时，需注意：

①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；

②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提.

(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例即可.

(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假.

充分条件、必要条件的判定

【例1】　(1)(2018·天津高考)设x∈R，则“＜”是“x3＜1”的(　　)

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

(2)(2019·西安八校联考)在△ABC中，“·＞0”是“△ABC是钝角三角形”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

(1)A　(2)A　

[方法总结]　充分条件、必要条件的三种判断方法

(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．

(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，适用于命题中涉及字母的范围的推断问题．

(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题．

 (1)(2019·湘东五校联考)“不等式x2－x＋m＞0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是(　　)

A．m＞      B．0＜m＜1

C．m＞0      D．m＞1

(2)给定两个命题p，q.若綈p是q的必要不充分条件，则p是綈q的(　　)

A．充分不必要条件      B．必要不充分条件

C．充要条件      D．既不充分也不必要条件

(1)C　(2)A　

充分条件、必要条件的应用

【例2】　已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为________．

[0,3]　

[母题探究]　把本例中的“必要条件”改为“充分条件”，求m的取值范围．

[9，＋∞)

[方法总结]　根据充要条件求解参数范围的方法

解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解.

易错警示：求解参数范围时，要注意区间端点值的检验.

 (1)已知条件p：x2－2ax＋a2－1＞0，条件q：x＞2，且q是p的充分而不必要条件，则a的取值范围是(　　)

A．[1，＋∞)      B．(－∞，1]

C．[－3，＋∞)      D．(－∞，－3]

(2)已知命题p：x2＋2x－3＞0；命题q：x＞a，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是(　　)

A．[1，＋∞)      B．(－∞，1]

C．[－1，＋∞)      D．(－∞，－3]

(1)B　(2)A

【真题链接】

1．(2017·全国卷Ⅰ)设有下面四个命题

p1：若复数z满足∈R，则z∈R；

p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；

p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝2；

p4：若复数z∈R，则∈R.

其中的真命题为(　　)

A．p1，p3　　    B．p1，p4

C．p2，p3      D．p2，p4

B

2．(2014·全国卷Ⅱ)函数f(x)在x＝x0处导数存在．若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则(　　)

A．p是q的充分必要条件

B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件

C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件

D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

C