三角函数图像及其变换

辅 导 讲 义

第一课时： 三角函数的图象与性质

一、知识讲解

1.函数的周期性：对于函数f(x),如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一值时，都有f（x+T）=f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期（详见课本周期定义）.正弦函数、余弦函数都是周期函数，（且）都是它们的周期，正切函数、余切函数也是周期函数，（且）都是它们的周期。

 一般地，及函数的最小正周期T=,的最小正周期。

注意：若T是函数f (x)的最小正周期，则也是f（x）的周期。

2.基本三角函数的图象和性质：

(1)正弦函数、余弦函数、正切函数的图像:

(2) 常见三角函数的单调区间：

的递增区间是，

递减区间是；

的递增区间是，

递减区间是，

的递增区间是，

（3）函数

最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心。

【解题方法】【函数的周期性】

1-1、求函数的周期，若题目出现三角函数的形式，则有的周期T=，的周期。（若题目没有直接给出的形式，需要利用三角函数诱导公式化简）

1-2、若题目出现的是抽象函数即f（kx+b）的关系表达式形式，则用替代消元法，设将f（kx+b）化成，找出f（x+T）=f（x）的关系，求解周期T。

二、知识应用【考察一般形式的三角函数的周期性】

例1、函数的最小正周期周期是 （  C   ）

点拨：依题意由1-1可知，出现的形式，故是三角函数，所以

例2、若存在常数，使得函数满足，则的一个正周期为   （   B   ）

              B、1                C、                 D、2

点拨：依题意由1-2可知，出现f（kx+b）形式，令代入得：的周期T=1

例3、函数的周期是  （       ）

A、          B、             C、             D、

例4、函数的周期为T，，则正整数k=          

例5、函数的最小正周期为           

【解题方法】【三角函数的单调性，定义域、值域】

2-1、已知常见三角函数的单调区间（详见知识点2），若出现，只需令，则变化求的增减区间。

2-2、已知三角函数中； 

 若三角函数为分母，则要求分母不为0，若为被开方数，则要求三角函数值。

2-3、已知

【知识应用】【考察三角函数的单调性，定义域、值域】

例1、函数的单调递减区间  （  C   ）

A、                         B、

C、        D、

点拨：依题意由2-1可知， 

即：， 

解得： 

例2、函数的单调递增区间  （     ）

A、     B、

C、     D、

例3、函数的定义域为       （   D   ）

A、                             B、

C、           D、

点拨：依题意由2-2可知，，再由正弦函数图象可知，， 

例4、函数的定义域为   （      ）

A、       B、

C、          D、

例5、对于函数，下列说法正确的是  （    A    ）

A、有最小值无最大值                       B、有最大值无最小值

C、有最大值且有最小值                     D、既无最大值也无最小值

点拨：依题意由2-3可知， 

例6、定义运算，例如，则函数的值域为 （         ）

A、                       B、

C、                          D、

例7、若函数的最大值为，最小值为，

求函数的值域。

例8、已知函数

（1）求其定义域和值域；

（2）判断其奇偶性；

（3）判断周期性，若是周期函数，求出最小正周期；

（4）写出单调区间.

第二课时：三角函数模型的图象与性质及其应用

一、知识讲解

1、对于一般地，三角函数五点法作图:

根据三角函数的图像在一个周期内的最高点、最低点与x轴的三个交点来作图，即先确定五个点来作这个函数的图象，其一般步骤是：

（1）令分别等于，求出对应的x的值和y值，即求出对应的五点；

（2）在坐标系中描述出这五个关键点，用平滑的曲线依次顺序连结，得函数在一个周期内的函数图象；

（3）将所得的图象向两个方向扩展，得在R上的图象。

例如，正弦函数的五点作图法如下：

2、图象变换法作图：

三角函数的图象变换包括两种：平移和伸缩变换，由的图象变换得到要经过：

（1）相位变换：的图象是向左（）平移或者向右（）平移个单位得到；

（2）周期变换：将得到的图象的横坐标伸长（）或者缩短（）到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象；

（3）振幅变换：图象的纵坐标伸长（）或者缩短（）到原来的A倍（横坐标不变），得到的图象。

3、函数在实际物理中的意义：

形如的函数，在物理、工程等学科的研究中有着广泛的应用，其中的参数具有实际意义，在物理学上，当函数表示一个振动量时，则A叫做振幅，叫做周期，叫做频率，叫做相位，叫做初相。

4、函数的单调性、对称性：

     函数（）的单调区间的确定，基本思想是把看成一个整体：

因为的单调递增区间是，所以，的单调递增区间是： 

同理的单调递减区间是，所以，

的单调递减区间是： 

同理：因为的对称轴为，所以为，即：；然后,求出相应的x的范围即可.

【解题方法】【五点作图法画出三角函数图象】

1-1、一般对于，我们先令分别等于，然后解出对应的，最后用列表表示，并画出函数图象。

1、考查五点作图法及其图像变换

例1、已知函数y=2sin,

(1)求它的振幅、周期、初相；

(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；

(3)说明y=2sin的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变换而得到.

2、求解三角函数解析式

一般对于的求解，要确定；其中A表示振幅，表示图象在y轴摆动的幅度；周期，表示相位，任意取图象某一点代入到，求出，并根据图象下一点增减趋势取舍。

例2、如图为y=Asin(x+)的图象的一段，求其解析式. 

  点拨：依题意 由2-1可知，， 

将点M代入，， 

当k=0时， =，当x>时，y>0,成立。

当k=1时，，当x>时，y<0,不成立（舍）                                                   

例3、函数y=Asin(x+)(＞0,||＜ ,x∈R)的部分图象如图，则函数表达式为(    )

A. y=-4sin

C. y=4sin

练习

已知函数的最大值是4，最小值是0，最小正周期是，直线是函数的一条对称轴，求的解析式。

3、图像变换的考查

例题4、（1）为了得到的图象，只需将的图象（      ）

A．向左平移个单位     B．向右平移个单位

C．向左平移个单位     D．向右平移个单位

（2）设>0,函数y=sin(x+)的图像向右平移个单位后与原图像重合，则的最小值是（     ）

（A）     (B)   (C)    (D)3 

（3）将函数的图像向左平移个单位，得到的图像，则等于（    ）

A、        B、          C、              D、

一、选择题

1．函数f(x)＝tan(x＋)的单调递增区间为(　　)

A．(kπ－，kπ＋)，k∈Z

B．(kπ，(k＋1)π)，k∈Z

C．(kπ－，kπ＋)，k∈Z

D．(kπ－，kπ＋)，k∈Z

2．函数y＝xsin x的部分图象是(　　)

3．在(0,2π)内使sin x>|cos x|的x的取值范围是(　　)

A．              B．∪

C．               D．

4．下列是函数f(x)＝|sin x|的单调递增区间的是(　　)

A．               B．

C．                D．

5．已知函数y＝2sin x的图象与直线y＝2围成一个封闭的平面图形，那么此封闭图形的面积是(　　)

A．4       B．8        C．4π        D．2π

二、填空题

6．函数f(x)＝sin(x＋φ) (0≤φ≤π)是R上的偶函数，则φ的值是________．

7．函数y＝3cos2x－4cos x＋1，x∈的值域为________．

8．求函数f(x)＝lg sin x＋的定义域．

9．函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，求k的取值范围．

1．要得到y＝sin的图象，只要将函数y＝sin的图象(　　)

A．向左平移个单位               B．向右平移个单位

C．向左平移个单位              D．向右平移个单位

2．把函数y＝sin的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数是(　　)

A．非奇非偶函数

B．既是奇函数又是偶函数

C．奇函数

D．偶函数

3．已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，则(　　)

A．ω＝1，φ＝                  B．ω＝1，φ＝－

C．ω＝2，φ＝                  D．ω＝2，φ＝－

4．函数f(x)＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝所得线段长为，则f的值是(　　)

A．0        B．1         C．－1       D．

5．要得到y＝cos的图象，只要将y＝sin 2x的图象(　　)

A．向左平移个单位       B．向右平移个单位

C．向左平移个单位       D．向右平移个单位

6．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)在同一周期内，当x＝时，y最大＝2，当x＝时，y最小＝－2，那么函数的解析式为________________．

  7．已知曲线y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)上的一个最高点的坐标为，此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点，若φ∈．

(1)试求这条曲线的函数表达式；

(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0，π]上的图象．

8．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ) (ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M对称，且在区间上是单调函数，求φ和ω的值．