2006年高考数学试题(江西理)含答案

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，则　等于（　　）

Ａ．            Ｂ．        Ｃ．        Ｄ． 

2．已知复数满足，则等于（　　）

Ａ．        Ｂ．        Ｃ．        Ｄ． 

3．若，则不等式等价于（　　）

Ａ．或        Ｂ． 

Ｃ．或                Ｄ．或

4．设为坐标原点，为抛物经的焦点，为抛物线上一点，若，则点的坐标为（　　）

Ａ．        Ｂ．        Ｃ．        Ｄ． 

5．对于上可导的任意函数，若满足，则必有（　　）

Ａ．            Ｂ． 

Ｃ．            Ｄ． 

6．若不等式对一切成立，则的最小值为（　　）

Ａ．0            Ｂ．            Ｃ．            Ｄ． 

7．已知等差数列的前项和为，若，且三点共线（该直线不过点），则等于（　　）

Ａ．100            Ｂ．101            Ｃ．200            Ｄ．201

8．在的二项展开式中，含的奇次幂的项之和为，当时，等于（　　）

Ａ．        Ｂ．        Ｃ．        Ｄ． 

9．为双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值为（　　）

Ａ．6            Ｂ．7            Ｃ．8            Ｄ．9

10．将7个人（含甲、乙）分成三个组，一组3人，另两组各2人，不同的分组数为，甲、乙分在同一组概率为，则的值分别为（　　）

Ａ．            Ｂ．    

Ｃ．            Ｄ． 

11．如图，在四面体中，截面经过四面

体的内切球（与四个面都相切的球）球心，且与

分别截于．如果截面将四面体分

为体积相等的两部分，设四棱锥与三棱锥

的表面积分别为，则必有（　　）

Ａ．        Ｂ．        Ｃ．        Ｄ．，的大小关系不能确定

12．某地一年内的气温（单位：℃）与时间（月份）

之间的关系如图（1）所示，已知该年的平均气温为10℃，

令表示时间段的平均气温，与之间的函

数关系用下列图象表示，则正确的应该是（　　）

0

122

6

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，请把答案填在答题卡上．

13．数列的前项和为，则               ．

14．设的反函数为，若，则           ．

15．如图，在直三棱柱中，底面为直角三角形，

．是上一动点，

则的最小值为             ．

16．已知圆，填线，下面四个命题

A．对任意实数和，直线和圆相切；

B．对任意实数和，直线和圆有公共点；

C．对任意实数，必存在实数，使得直线和圆相切；

D．对任意实数，必存在实数，使得直线和圆相切．

其中真命题的代号是              （写出所有真命题的代号）．

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）已知函数在与时都取得极值．

（1）求的值及函数的单调区间；

（2）若对，不等式恒成立，求的取值范围．

18．（本小题满分12分）某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得奖金10元；摸出两个红球可获得奖金50元，现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次，令表示甲、乙两人摸球后获得的奖金总额．求

（1）的分布列；        （2）的数学期望．

19．（本小题满分12分）如图，已知是边长为1的正三角形，分别是边上的点，线段经过的中心，设．

（1）试将的面积（分别记为与）表示为的函数；

（2）求的最大值与最小值．

20．（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，侧面是全等的直角三角形，是公共的斜边，且，另一侧面是正三角形．

（1）求证：；

（2）求二面角的大小；

（3）在线段上是否存在一点，使与面成角？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由．

21．（本小题满分12分）如图，椭圆的右焦点为，过点的一动直线绕点转动，并且交椭圆于两点，为线段的中点．

（1）求点的轨迹的方程；‘

（2）若在的方程中，令．确定的值，使原点距椭圆的右准线最远．此时，设与轴交点为，当直线绕点转动到什么位置时，三角形的面积最大？

22．（本小题满分14分）

    已知数列满足：，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）证明：对一切正整数，不等式恒成立．

2006高等学校全国统一考试数学理试题理（江西）参

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知集合M＝｛x|｝，N＝｛y|y＝3x2＋1，xR｝，则MN＝（ C  ）

A．   B. {x|x1}   C.｛x|x1｝  D. {x| x1或x0}

解：M＝｛x|x1或x0｝，N＝｛y|y1｝故选C

2、已知复数z满足（＋3i）z＝3i，则z＝（ D  ）

A．  B.  C.  D. 

解：故选D

3、若a0，b0，则不等式－ba等价于（ D   ）

A． x0或0x   B.－x   C.x-或x   D.x或x

解：

故选D

4、设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若＝－4

则点A的坐标是（B   ）

A．（2，2）  B. (1，2)  C.（1，2）D.(2，2)

解：F（1，0）设A（，y0）则＝（，y0），＝（1－，－y0），由

＝－4y0＝2，故选B

5、对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x－1）0，则必有（ C  ）

A．f（0）＋f（2）2f（1）  B. f（0）＋f（2）2f（1）

C.  f（0）＋f（2）2f（1）  D. f（0）＋f（2）2f（1）

解：依题意，当x1时，f（x）0，函数f（x）在（1，＋）上是增函数；当x1时，f（x）0，f（x）在（－，1）上是减函数，故f（x）当x＝1时取得最小值，即有

f（0）f（1），f（2）f（1），故选C

6、若不等式x2＋ax＋10对于一切x（0，）成立，则a的取值范围是（ C   ）

A．0  B. –2   C.-  D.-3

解：设f（x）＝x2＋ax＋1，则对称轴为x＝

若，即a－1时，则f（x）在〔0，〕上是减函数，应有f（）0

－x－1

若0，即a0时，则f（x）在〔0，〕上是增函数，应有f（0）＝10恒成立，故a0

若0，即－1a0，则应有f（）＝恒成立，故－1a0

综上，有－a故选C

7、已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn，若，且A、B、C三点共线（该直线不过原点O），则S200＝（ A  ）

A．100   B. 101  C.200  D.201

解：依题意，a1＋a200＝1，故选A

8、在（x－）2006 的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x＝时，S等于（B  ）

A.23008   B.-23008   C.23009   D.-23009

解：设（x－）2006＝a0x2006＋a1x2005＋…＋a2005x＋a2006

则当x＝时，有a0（）2006＋a1（）2005＋…＋a2005（）＋a2006＝0 （1）

当x＝－时，有a0（）2006－a1（）2005＋…－a2005（）＋a2006＝23009 （2）

（1）－（2）有a1（）2005＋…＋a2005（）＝－230092＝－23008

故选B

9、P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆（x＋5）2＋y2＝4和（x－5）2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（ D  ）

A. 6  B.7   C.8   D.9

解：设双曲线的两个焦点分别是F1（－5，0）与F2（5，0），则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P与M、F1三点共线以及P与N、F2三点共线时所求的值最大，此时

|PM|－|PN|＝（|PF1|－2）－（|PF2|－1）＝10－1＝9故选B

10、将7个人（含甲、乙）分成三个组，一组3人，另两组2 人，不同的分组数为a，甲、乙分到同一组的概率为p，则a、p的值分别为（  A ）

A．a=105  p=  B.a=105  p=  C.a=210  p=  D.a=210  p=

解：a＝＝105

甲、乙分在同一组的方法种数有

（1）若甲、乙分在3人组，有＝15种

（2）若甲、乙分在2人组，有＝10种，故共有25种，所以P＝

故选A

11、如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC，DC分别截于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A－BEFD与三棱锥A－EFC的表面积分别是S1，S2，则必有（   ）

A.S1S2

B.S1S2

C.S1=S2

D.S1，S2的大小关系不能确定

解：连OA、OB、OC、OD

则VA－BEFD＝VO－ABD＋VO－ABE＋VO－BEFD

VA－EFC＝VO－ADC＋VO－AEC＋VO－EFC又VA－BEFD＝VA－EFC而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，故SABD＋SABE＋SBEFD＝SADC＋SAEC＋SEFC又面AEF公共，故选C

12、某地一年的气温Q（t）（单位：ºc）与时间t（月份）之间的关系如图（1）所示，已知该年的平均气温为10ºc，令G（t）表示时间段〔0,t〕的平均气温，G（t）与t之间的函数关系用下列图象表示，则正确的应该是（  A  ）

10ºc

G(t)

10ºc

G(t)

G(t)

10ºc

t

t

t

12

6

6

O

12

6

12

O

O

图（1）

B

A

D

10ºc

G(t)

O

6

12

t

C

G(t)

10ºc

6

12

t

O

解：结合平均数的定义用排除法求解

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填写在答题卡的相应位置。

13、数列｛｝的前n项和为Sn，则Sn＝

13、解： 

故

14、设f（x）＝log3（x＋6）的反函数为f－1（x），若〔f－1（m）＋6〕〔f－1（n）＋6〕＝27

则f（m＋n）＝___________________

解：f－1（x）＝3x－6故〔f－1（m）＋6〕〔f－1（x）＋6〕＝3m3n＝3m ＋n＝27

m＋n＝3f（m＋n）＝log3（3＋6）＝2

15、如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面为直角三角形，ACB＝90，AC＝6，BC＝CC1＝，P是BC1上一动点，则CP＋PA1的最小值是___________

解：连A1B，沿BC1将△CBC1展开与△A1BC1在同一个平面内，如图所示，

A1

C1

B

C

连A1C，则A1C的长度就是所求的最小值。

通过计算可得A1C1C＝90又BC1C＝45

A1C1C＝135 由余弦定理可求得A1C＝

16、已知圆M：（x＋cos）2＋（y－sin）2＝1，

直线l：y＝kx，下面四个命题：

（A）对任意实数k与，直线l和圆M相切；

（B）对任意实数k与，直线l和圆M有公共点；

（C）对任意实数，必存在实数k，使得直线l与

和圆M相切

（D）对任意实数k，必存在实数，使得直线l与

和圆M相切

其中真命题的代号是______________（写出所有真命题的代号）

解：圆心坐标为（－cos，sin）d＝

故选（B）（D）

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17、（本小题满分12分）

已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1时都取得极值

（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间

（2）若对x〔－1，2〕，不等式f（x）c2恒成立，求c的取值范围。

17、解：（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f（x）＝3x2＋2ax＋b

由f（）＝，f（1）＝3＋2a＋b＝0得

a＝，b＝－2

f（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1），函数f（x）的单调区间如下表：

递减区间是（－，1）

（2）f（x）＝x3－x2－2x＋c，x〔－1，2〕，当x＝－时，f（x）＝＋c

为极大值，而f（2）＝2＋c，则f（2）＝2＋c为最大值。

要使f（x）c2（x〔－1，2〕）恒成立，只需c2f（2）＝2＋c

解得c－1或c2

18、（本小题满分12分）

某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球，1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得奖金10元；摸出2个红球可获得奖金50元，现有甲，乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次，令表示甲，乙摸球后获得的奖金总额。求：

（1）的分布列   （2）的的数学期望

18、解：（1）的所有可能的取值为0，10，20，50，60

分布列为

19、（本小题满分12分）

如图，已知△ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是

边AB、AC上的点，线段MN经过△ABC的中心G，

设MGA＝（）

（1）试将△AGM、△AGN的面积（分别记为S1与S2）

表示为的函数

（2）求y＝的最大值与最小值

19、解：

（1）因为G是边长为1的正三角形ABC的中心，

所以   AG＝，MAG＝，

由正弦定理得

则S1＝GMGAsin＝   同理可求得S2＝

（2）y＝＝

＝72（3＋cot2）因为，所以当＝或＝时，y取得最大值ymax＝240

当＝时，y取得最小值ymin＝216

20、（本小题满分12分）

如图，在三棱锥A－BCD中，侧面ABD、ACD

是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，

且AD＝，BD＝CD＝1，另一个侧面是正三角形

（1）求证：ADBC

（2）求二面角B－AC－D的大小

（3）在直线AC上是否存在一点E，使ED与面BCD

成30角？若存在，确定E的位置；若不存在，说明理由。

20、解法一：

（1）方法一：作AH面BCD于H，连DH。

ABBDHBBD，又AD＝，BD＝1

AB＝＝BC＝AC  BDDC

又BD＝CD，则BHCD是正方形，则DHBCADBC

方法二：取BC的中点O，连AO、DO

则有AOBC，DOBC，BC面AOD

BCAD

（2）作BMAC于M，作MNAC交AD于N，则BMN就是二面角B－AC－D的平面角，因为AB＝AC＝BC＝M是AC的中点，且MNCD，则BM＝，MN＝CD＝，BN＝AD＝，由余弦定理可求得cosBMN＝

BMN＝arccos

（3）设E是所求的点，作EFCH于F，连FD。则EFAH，EF面BCD，EDF就是ED与面BCD所成的角，则EDF＝30。设EF＝x，易得AH＝HC＝1，则CF＝x，FD＝，tanEDF＝＝＝解得x＝，则CE＝x＝1

故线段AC上存在E点，且CE＝1时，ED与面BCD成30角。

解法二：此题也可用空间向量求解，解答略

21、（本大题满分12分）

如图，椭圆Q：（ab0）的右焦点F（c，0），过点F的一动直线m绕点F转动，并且交椭圆于A、B两点，P是线段AB的中点

（1）求点P的轨迹H的方程

（2）在Q的方程中，令a2＝1＋cos＋sin，b2＝sin（0 ），确定的值，使原点距椭圆的右准线l最远，此时，设l与x轴交点为D，当直线m绕点F转动到什么位置时，三角形ABD的面积最大？

21、解：如图，（1）设椭圆Q：（ab0）

上的点A（x1，y1）、B（x2，y2），又设P点坐标为P（x，y），则

1当AB不垂直x轴时，x1x2，

由（1）－（2）得

b2（x1－x2）2x＋a2（y1－y2）2y＝0

b2x2＋a2y2－b2cx＝0…………（3）

2当AB垂直于x轴时，点P即为点F，满足方程（3）

故所求点P的轨迹方程为：b2x2＋a2y2－b2cx＝0

（2）因为，椭圆    Q右准线l方程是x＝，原点距l

的距离为，由于c2＝a2－b2，a2＝1＋cos＋sin，b2＝sin（0）

则＝＝2sin（＋）

当＝时，上式达到最大值。此时a2＝2，b2＝1，c＝1，D（2，0），|DF|＝1

设椭圆Q：上的点 A（x1，y1）、B（x2，y2），三角形ABD的面积

S＝|y1|＋|y2|＝|y1－y2|

设直线m的方程为x＝ky＋1，代入中，得（2＋k2）y2＋2ky－1＝0

由韦达定理得y1＋y2＝，y1y2＝，

4S2＝（y1－y2）2＝（y1＋y2）2－4 y1y2＝

令t＝k2＋11，得4S2＝，当t＝1，k＝0时取等号。

因此，当直线m绕点F转到垂直x轴位置时，三角形ABD的面积最大。

22、（本大题满分14分）

已知数列｛an｝满足：a1＝，且an＝

（1）求数列｛an｝的通项公式；

（2）证明：对于一切正整数n，不等式a1a2……an2n！

22、解：（1）将条件变为：1－＝，因此｛1－｝为一个等比数列，其首项为

1－＝，公比，从而1－＝，据此得an＝（n1）…………1

（2）证：据1得，a1a2…an＝

为证a1a2……an2n！只要证nN时有…………2

显然，左端每个因式都是正数，先证明，对每个nN，有

1－（）…………3

用数学归纳法证明3式：

（i）n＝1时，3式显然成立，

（ii）设n＝k时，3式成立，

即1－（）

则当n＝k＋1时， 〔1－（）〕（）

＝1－（）－＋（）

1－（＋）即当n＝k＋1时，3式也成立。

故对一切nN，3式都成立。

利用3得， 1－（）＝1－

＝1－故2式成立，从而结论成立。