中考复习教案讲义：整式和因式分解

                               讲义：整式和因式分解

一、内容讲解：

知识点梳理：

1．单项式：由数字或字母相乘组成的代数式叫做单项式，所有字母指数的和叫做单项式的次数，数字因数叫做单项式的系数．

2．多项式：由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数，其中不含字母的项叫做常数项．

3．整式：单项式与多项式统称为整式．

4．同类项：多项式中所含字母相同并且相同字母的指数_也相同的项，叫做同类项．

5．幂运算法则：

(1)同底数幂相乘：_______   (2)幂的乘方：_______________________________

(3)积的乘方：_______________(4)同底数幂相除：__________________________

6．整式乘法：单项式与单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式．

单项式乘多项式：m(a＋b)＝ma+mb．

多项式多项式：(a＋b)(c＋d)＝ac+ad+bc+bd．

7．乘法公式：

(1)平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2

(2)完全平方公式： 

8．整式除法：

单项式与单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因子，对于只在被除式里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式．多项式除以单项式，将这个多项式的每一项除以这个单项式，然后把所得的商相加．

9．因式分解

把一个多项式化成几个因式积的形式，叫做因式分解．因式分解与整式乘法是互逆运算．

10、基本方法：

(1)提取公因式法：ma＋mb＋mc＝m(a+b+c)．

(2)公式法：    

运用平方差公式：a2－b2＝(a+b)(a-b)；

运用完全平方公式：a2±2ab＋b2＝．

考点分析：

考点1　整式的加减运算

例（1）（2012·广州）下列计算正确的是（ C   ） 

A.6a-5a=1       B.a+2a  =3ª   C.-(a-b)=-a+b        D.2(a+b)=2a+b

（2）已知x－2y＝－2，则3－x＋2y的值是（   D ）

A.   0          B.   1        C.   3              D.   5

考点2  同类项的概念及合并同类项

　例2、若－4xay＋x2yb＝－3x2y，则a＋b＝__3______．

对应训练、（2013·丽水）化简－2a＋3a的结果是（    ） 

A.－a          B.a            C.5a                D.－5a

考点3　幂的运算

【例 3】　(2012·东营) 若3x＝4，9y＝7，则3x－2y的值为(　　)

A.      B.      C．－3      D. 

解析　∵3x＝4，9y＝7，

∴3x－2y＝3x÷32y＝3x÷(32)y＝3x÷9y＝4÷7＝.

对应训练　（1）(2012·临沂) 下列计算正确的是   (　)

A．2a2＋4a2＝6a4    B．(a＋1)2＝a2＋1     C．(a2)3＝a5          D．x7÷x5＝x2

考点4  整式的混合运算及求值

【例 4】　(2012·山西) 先化简，再求值：(2x＋3)(2x－3)－4x(x－1)＋(x－2)2，其中x＝－.

解　原式＝4x2－9－4x2＋4x＋x2－4x＋4＝x2－5.

当x＝－时，原式＝(－)2－5＝3－5＝－2

对应训练　(2012·杭州) 化简：2[(m－1)m＋m(m＋1)][(m－1)m－m(m＋1)]．若m是任意整数，请观察化简后的结果，你发现原式表示一个什么数？

解　2[(m－1)m＋m(m＋1)][(m－1)m－m(m＋1)]

＝2(m2－m＋m2＋m)(m2－m－m2－m)＝－8m3.

原式＝(－2m)3，表示3个－2m相乘；或者说是一个立方数，8的倍数等

考点5　乘法公式

【例 5】（2013·义乌）如图①，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸片拼成如图②的等腰梯形.

（1）设图①中阴影部分面积为s1 ，图②中阴影部分面积为s2 ，请直接用含a，b的代数式表示s1和s2  

答：（1）

   （2）

对应训练（2013·丽水）先化简，再求值：                        其中

考点6　因式分解的意义

【例 6】（2013·河北）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（D ）

考点7    提取公因式法分解因式

【例 7】  阅读下列文字与例题：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．

例如：(1)am＋an＋bm＋bn＝(am＋bm)＋(an＋bn)＝m(a＋b)＋n(a＋b)＝(a＋b)(m＋n)；

(2)x2－y2－2y－1＝x2－(y2＋2y＋1)＝x2－(y＋1)2＝(x＋y＋1)(x－y－1)．

试用上述方法分解因式a2＋2ab＋ac＋bc＋b2＝_________．

解析　原式＝(a2＋2ab＋b2)＋(ac＋bc)＝(a＋b)2＋c(a＋b)＝(a＋b)(a＋b＋c)．

对应训练:把多项式(m＋1)(m－1)＋(m－1)提公因式(m－1)后，余下的部分是(　　)

A．m＋1                           B．2m

C．2                             D．m＋2

解析　提取公因式后，前项余下m＋1，后项余下1，

(m＋1)＋1＝m＋2.

考点8　运用公式法分解因式

【例8】（1）（2012·呼和浩特）下列各因式分解正确的是（ C   ） 

A                             B                   C                       D[

对应训练：分解因式

考点9  综合运用多种方法分解因式

【例9】　给出三个多项式： x2＋x－1， x2＋3x＋1， x2－x，请你选择其中两个进行加法运算，并把结果分解因式．

解  (x2＋x－1)＋(x2＋3x＋1)＝x2＋4x＝x(x＋4)；

(x2＋x－1)＋(x2－x)＝x2－1＝(x＋1)(x－1)；

(x2＋3x＋1)＋(x2－x)＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2.

对应训练（4）在实数范围内分解因式： 

三、课堂小结：

四、课后作业：

1.（2012·连云港）下列各式计算正确的是（    ） 

 A.   B.    C.        D. 3－2＝1 

2.（2013·广安）如果与－是同类项，则（    ）  

 A. x＝－2 y＝3  B. x＝2 y＝－3  C. x＝－2 y＝－3   D. x＝2 y＝3 

3.（2012·南昌）已知＝8，＝2，则+＝（    ） 

 A. 10    B. 6   C. 5   D. 3 

4.（2012·）下列四个选项中，哪一个为多项式8－10x＋2的因式（    ） 

 A. 2x－2   B. 2x＋2  C. 4x＋1   D. 4x＋2 

5.若实数x，y，z满足－4（x－y）（y－z）＝0，则下列式子一定成立的是（    ） 

 A. x＋y＋z＝0               B. x＋y－2z＝0 

 C. y＋z－2x＝0             D. z＋x－2y＝0 

二.计算： 

（1）（2012·乐山）3（2－）－2（3－2）； 

（2）（2013·福州）＋a（4－a）. 

（3）（2012·广东）先化简，再求值：（x＋3）（x－3）－x（x－2），其中x＝4；

（4）（2012·泉州）先化简，再求值：＋（2＋x）（2－x）， 其中x＝－2.