2020年广东省广州市天河区中考数学一模试卷

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）

1．（3分）3的相反数是（　　）

A． B． C．3 D．﹣3

2．（3分）如图所示的几何体是由四个完全相同的正方体组成的，这个几何体的主视图是（　　）

A． B．    

C． D．

3．（3分）下面的运算正确的是（　　）

A．a+a2＝a3 B．a2•a3＝a5 C．6a﹣5a＝1 D．a6÷a2＝a3

4．（3分）下列图形中，不是中心对称有（　　）

A． B． C． D．

5．（3分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝2（x﹣1）2+3的顶点坐标是（　　）

A．（1，3） B．（1，﹣3） C．（﹣1，3） D．（﹣1，﹣3）

6．（3分）若y＝kx﹣4的函数值y随x的增大而增大，则k的值可能是下列的（　　）

A．﹣4 B．﹣ C．0 D．3

7．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝16cm，AB的中垂线MN交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC＝，则BC＝（　　）

A．8cm B．4cm C．6cm D．10cm

8．（3分）祁中初三66班学生毕业时，每个同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了930份留言．如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（　　）

A．＝930 B．＝930    

C．x（x+1）＝930 D．x（x﹣1）＝930

9．（3分）如图，PA和PB是⊙O的切线，点A和B的切点，AC是⊙O的直径，已知∠P＝50°，则∠ACB的大小是（　　）

A．65° B．60° C．55° D．50°

10．（3分）如图，菱形ABCD中，AB＝AC，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE＝BF，连接CE、AF交于点H，则下列结论：①△ABF≌△CAE；②∠AHC＝120°；③△AEH∽△CEA；④AE•AD＝AH•AF；其中结论正确的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）

11．（3分）分解因式：x2+3x＝　   　．

12．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是　   　．

13．（3分）把103000000这个数用科学记数法表示为　   　．

14．（3分）若a、b、c为三角形的三边，且a、b满足+（b﹣2）2＝0，则第三边c的取值范围是　   　．

15．（3分）如图，用一个圆心角为120°的扇形围成一个无底的圆锥，如果这个圆锥底面圆的半径为1cm，则这个扇形的半径是　   　cm．

16．（3分）如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE＝1，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是　   　．

三、解答题（本题有9个小题，共102分）

17．（8分）解方程组：．

18．（10分）已知，如图，E、F分别为矩形ABCD的边AD和BC上的点，AE＝CF，求证：BE＝DF．

19．（10分）先化简，再求值：÷（1+），其中x＝﹣1．

20．（12分）为了解今年初三学生的数学学习情况，某校对上学期的数学成绩作了统计分析，绘制得到如下图表．请结合图表所给出的信息解答下列问题：

（2）求表中a，b，c的值，并补全条形统计图．

（3）初三（一）班数学老师准备从成绩优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中任意抽取两名同学做学习经验介绍，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．

21．（12分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＜BC．

（1）利用尺规作图，在BC边上确定点E，使点E到边AB，AD的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）；

（2）若BC＝8，CD＝5，则CE＝　   　．

22．（12分）白溪镇2012年有绿地面积57.5公顷，该镇近几年不断增加绿地面积，2014年达到82.8公顷．

（1）求该镇2012至2014年绿地面积的年平均增长率；

（2）若年增长率保持不变，2015年该镇绿地面积能否达到100公顷？

23．（12分）如图，直线y＝2x与反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象交于点A（1，a），B是反比例函数图象上一点，直线OB与x轴的夹角为α，tanα＝．

（1）求k的值及点B坐标．

（2）连接AB，求三角形AOB的面积S△AOB．

24．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的切线DF，交AC于点F．

（1）求证：DF⊥AC；

（2）若⊙O的半径为4，∠CDF＝22.5°，求阴影部分的面积．

25．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx﹣4（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣2，0）、C（8，0）两点，与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）如图1，连结BC，在线段BC上是否存在点E，使得△CDE为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，若点P（m，n）是该二次函数图象上的一个动点（其中m＞0，n＜0），连结PB，PD，BD，求△BDP面积的最大值及此时点P的坐标．

2018年广东省广州市天河区中考数学一模试卷

参与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）

1．（3分）3的相反数是（　　）

A． B． C．3 D．﹣3

【考点】14：相反数．

【分析】根据相反数的定义即可求解．

【解答】解：3的相反数是：﹣3．

故选：D．

【点评】本题主要考查了绝对值的定义，a的相反数是﹣a．

2．（3分）如图所示的几何体是由四个完全相同的正方体组成的，这个几何体的主视图是（　　）

A． B．    

C． D．

【考点】U2：简单组合体的三视图．

【专题】1：常规题型．

【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．

【解答】解：从正面看易得主视图的形状：．

故选：C．

【点评】本题考查了三视图的知识，要求同学们掌握主视图是从物体的正面看得到的视图．

3．（3分）下面的运算正确的是（　　）

A．a+a2＝a3 B．a2•a3＝a5 C．6a﹣5a＝1 D．a6÷a2＝a3

【考点】35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；48：同底数幂的除法．

【专题】1：常规题型．

【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则分别化简得出答案．

【解答】解：A、a+a2无法计算，故此选项错误；

B、a2•a3＝a5，故此选项正确；

C、6a﹣5a＝a，故此选项错误；

D、a6÷a2＝a4，故此选项错误；

故选：B．

【点评】此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键．

4．（3分）下列图形中，不是中心对称有（　　）

A． B． C． D．

【考点】R5：中心对称图形．

【专题】1：常规题型．

【分析】根据中心对称图形的概念求解．

【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项错误；

B、是中心对称图形，故本选项错误；

C、是中心对称图形，故本选项错误；

D、不是中心对称图形，故本选项正确．

故选：D．

【点评】本题考查了中心对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．

5．（3分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝2（x﹣1）2+3的顶点坐标是（　　）

A．（1，3） B．（1，﹣3） C．（﹣1，3） D．（﹣1，﹣3）

【考点】H3：二次函数的性质．

【专题】53：函数及其图象．

【分析】根据题目中的函数解析式，可以直接写出该函数的顶点坐标，从而可以解答本题．

【解答】解：∵二次函数y＝2（x﹣1）2+3，

∴该函数的顶点坐标是（1，3），

故选：A．

【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．

6．（3分）若y＝kx﹣4的函数值y随x的增大而增大，则k的值可能是下列的（　　）

A．﹣4 B．﹣ C．0 D．3

【考点】F5：一次函数的性质．

【专题】11：计算题．

【分析】根据一次函数的性质，若y随x的增大而增大，则比例系数大于0．

【解答】解：∵y＝kx﹣4的函数值y随x的增大而增大，

∴k＞0，

而四个选项中，只有D符合题意，

故选：D．

【点评】本题考查了一次函数的性质，要知道，在直线y＝kx+b中，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．

7．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝16cm，AB的中垂线MN交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC＝，则BC＝（　　）

A．8cm B．4cm C．6cm D．10cm

【考点】T7：解直角三角形．

【专题】11：计算题；16：压轴题．

【分析】根据垂直平分线性质可知BD＝AD，所以BD+CD＝AC；根据cos∠BDC＝可求出BD和CD，从而根据勾股定理求出BC．

【解答】解：∵MN为AB的中垂线，

∴BD＝AD．

设AD＝acm，

∴BD＝acm，CD＝（16﹣a）cm，

∴cos∠BDC＝＝，

∴a＝10．

∴在Rt△BCD中，CD＝6cm，BD＝10cm，

∴BC＝8cm．

故选：A．

【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质和勾股定理．

8．（3分）祁中初三66班学生毕业时，每个同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了930份留言．如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（　　）

A．＝930 B．＝930    

C．x（x+1）＝930 D．x（x﹣1）＝930

【考点】AC：由实际问题抽象出一元二次方程．

【分析】可设全班有x名同学，则每人写（x﹣1）份留言，共写x（x﹣1）份留言，进而可列出方程即可．

【解答】解：设全班有x名同学，则每人写（x﹣1）份留言，

根据题意得：x（x﹣1）＝930，

故选：D．

【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，其中x（x﹣1）不能和握手问题那样除以2，另外这类问题转化为一元二次方程求解时应注意考虑解的合理性，即考虑解的取舍．

9．（3分）如图，PA和PB是⊙O的切线，点A和B的切点，AC是⊙O的直径，已知∠P＝50°，则∠ACB的大小是（　　）

A．65° B．60° C．55° D．50°

【考点】M5：圆周角定理；MC：切线的性质．

【专题】55：几何图形．

【分析】连接OB，如图，利用切线的性质得到∠OAP＝∠OBP＝90°，再利用四边形内角和计算出∠AOB的度数，然后根据等腰三角形的性质和三角形外角性质求∠ACB的度数．

【解答】解：连接OB，如图，

∵PA、PB是⊙O的切线，

∴OA⊥PA，OB⊥PB，

∴∠OAP＝∠OBP＝90°，

∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，

∵OB＝OC，

∴∠OCB＝∠OBC，

而∠AOB＝∠OCB+∠OBC，

∴∠OCB＝×130°＝65°，

即∠ACB＝65°．

故选：A．

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．解决本题的关键是求出∠AOB的度数．

10．（3分）如图，菱形ABCD中，AB＝AC，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE＝BF，连接CE、AF交于点H，则下列结论：①△ABF≌△CAE；②∠AHC＝120°；③△AEH∽△CEA；④AE•AD＝AH•AF；其中结论正确的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【考点】KD：全等三角形的判定与性质；L8：菱形的性质；S9：相似三角形的判定与性质．

【分析】由菱形ABCD中，AB＝AC，易证得△ABC是等边三角形，则可得∠B＝∠EAC＝60°，由SAS即可证得△ABF≌△CAE；则可得∠BAF＝∠ACE，利用三角形外角的性质，即可求得∠AHC＝120°，由∠BAF＝∠ACE，∠AEC＝∠AEC，推出△AEH∽△CEA，在菱形ABCD中，AD＝AB，由于△AEH∽△CEA，△ABF≌△CAE，于是△AEH∽△ABF，得到AE•AD＝AH•AF．

【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝BC，

∵AB＝AC，

∴AB＝BC＝AC，

即△ABC是等边三角形，

同理：△ADC是等边三角形

∴∠B＝∠EAC＝60°，

在△ABF和△CAE中，

，

∴△ABF≌△CAE（SAS）；

故①正确；

∴∠BAF＝∠ACE，

∵∠AEH＝∠B+∠BCE，

∴∠AHC＝∠BAF+∠AEH＝∠BAF+∠B+∠BCE＝∠B+∠ACE+∠BCE＝∠B+∠ACB＝60°+60°＝120°

故②正确；

∵∠BAF＝∠ACE，∠AEC＝∠AEC，

∴△AEH∽△CEA，

故③正确；

在菱形ABCD中，AD＝AB，

∵△AEH∽△CEA，∴△ABF≌△CAE，

∴△AEH∽△AFB，

∴＝，

∴＝，

∴AE•AD＝AH•AF，

故④正确，

故选：D．

【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．

二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）

11．（3分）分解因式：x2+3x＝　x（x+3）　．

【考点】53：因式分解﹣提公因式法．

【分析】观察原式，发现公因式为x；提出后，即可得出答案．

【解答】解：x2+3x＝x（x+3）．

【点评】主要考查提公因式法分解因式，此题属于基础题．

12．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是　x≥　．

【考点】72：二次根式有意义的条件；E4：函数自变量的取值范围．

【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0可知：2x﹣1≥0，解得x的范围．

【解答】解：根据题意得：2x﹣1≥0，

解得，x≥．

【点评】本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：

（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；

（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；

（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．

13．（3分）把103000000这个数用科学记数法表示为　1.03×108　．

【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：将103000000用科学记数法表示为：1.03×108．

故答案为：1.03×108．

【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

14．（3分）若a、b、c为三角形的三边，且a、b满足+（b﹣2）2＝0，则第三边c的取值范围是　1＜c＜5　．

【考点】1F：非负数的性质：偶次方；23：非负数的性质：算术平方根；K6：三角形三边关系．

【分析】根据非负数的性质列式求出a、b，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求解即可．

【解答】解：由题意得，a2﹣9＝0，b﹣2＝0，

解得a＝3，b＝2，

∵3﹣2＝1，3+2＝5，

∴1＜c＜5．

故答案为：1＜c＜5．

【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0；三角形的三边关系．

15．（3分）如图，用一个圆心角为120°的扇形围成一个无底的圆锥，如果这个圆锥底面圆的半径为1cm，则这个扇形的半径是　3　cm．

【考点】MP：圆锥的计算．

【分析】利用底面周长＝展开图的弧长可得．

【解答】解：

解得R＝3cm．

故答案为：3．

【点评】此题考查圆锥的问题，解答本题的关键是有确定底面周长＝展开图的弧长这个等量关系，然后由扇形的弧长公式和圆的周长公式求值．

16．（3分）如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE＝1，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是　　．

【考点】LE：正方形的性质；PA：轴对称﹣最短路线问题．

【专题】11：计算题；16：压轴题．

【分析】根据最短路径的求法，先确定点E关于BC的对称点E′，再确定点A关于DC的对称点A′，连接A′E′即可得出P，Q的位置；再根据相似得出相应的线段长从而可求得四边形AEPQ的面积．

【解答】解：如图1所示：

作E关于BC的对称点E′，点A关于DC的对称点A′，连接A′E′，四边形AEPQ的周长最小，

∵AD＝A′D＝3，BE＝BE′＝1，

∴AA′＝6，AE′＝4．

∵DQ∥AE′，D是AA′的中点，

∴DQ是△AA′E′的中位线，

∴DQ＝AE′＝2；CQ＝DC﹣CQ＝3﹣2＝1，

∵BP∥AA′，

∴△BE′P∽△AE′A′，

∴＝，即＝，BP＝，CP＝BC﹣BP＝3﹣＝，

S四边形AEPQ＝S正方形ABCD﹣S△ADQ﹣S△PCQ﹣SBEP

＝9﹣AD•DQ﹣CQ•CP﹣BE•BP

＝9﹣×3×2﹣×1×﹣×1×

＝．

故答案为：．

【点评】本题考查了轴对称，利用轴对称确定A′、E′，连接A′E′得出P、Q的位置是解题关键，又利用了相似三角形的判定与性质，图形分割法是求面积的重要方法．

三、解答题（本题有9个小题，共102分）

17．（8分）解方程组：．

【考点】98：解二元一次方程组．

【分析】观察原方程组，两个方程的y系数互为相反数，可用加减消元法求解．

【解答】解：，

①+②，得4x＝12，

解得：x＝3．

将x＝3代入②，得9﹣2y＝11，

解得y＝﹣1．

所以方程组的解是．

【点评】对二元一次方程组的考查主要突出基础性，题目一般不难，系数比较简单，主要考查方法的掌握．

18．（10分）已知，如图，E、F分别为矩形ABCD的边AD和BC上的点，AE＝CF，求证：BE＝DF．

【考点】KD：全等三角形的判定与性质；LB：矩形的性质．

【专题】14：证明题．

【分析】先求出BF＝DE，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形BFDE为平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证．

【解答】证明：∵四边形ABCD为矩形，

∴AD∥BC，AD＝BC，

又∵AE＝CF，

∴AD﹣AE＝BC﹣CF，

即ED＝BF，

而ED∥BF，

∴四边形BFDE为平行四边形，

∴BE＝DF（平行四边形对边相等）．

【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，主要利用了矩形的对边相等的性质，四个角都是直角的性质．

19．（10分）先化简，再求值：÷（1+），其中x＝﹣1．

【考点】6D：分式的化简求值．

【专题】11：计算题．

【分析】利用平方差公式、通分将原式化简成，代入x＝﹣1即可求出结论．

【解答】解：原式＝÷，

＝×，

＝．

∵x＝﹣1，

∴原式＝＝．

【点评】本题考查了分式的化简求值，在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简是解题的关键．

20．（12分）为了解今年初三学生的数学学习情况，某校对上学期的数学成绩作了统计分析，绘制得到如下图表．请结合图表所给出的信息解答下列问题：

（2）求表中a，b，c的值，并补全条形统计图．

（3）初三（一）班数学老师准备从成绩优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中任意抽取两名同学做学习经验介绍，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．

【考点】V7：频数（率）分布表；VC：条形统计图；X6：列表法与树状图法．

【分析】（1）利用合格的人数除以该组频率进而得出该校初三学生总数；

（2）利用（1）中所求，结合频数÷总数＝频率，进而求出答案；

（3）根据题意画出树状图，然后求得全部情况的总数与符合条件的情况数目，二者的比值就是其发生的概率．

【解答】解：（1）由题意可得：该校初三学生共有：105÷0.35＝300（人），

答：该校初三学生共有300人；

（2）由（1）得：a＝300×0.3＝90（人），

b＝＝0.15，

c＝＝0.2；

如图所示：

（3）画树形图得：

∵一共有12种情况，抽取到甲和乙的有2种，

∴P（抽到甲和乙）＝＝．

【点评】此题主要考查了树状图法求概率以及条形统计图的应用，根据题意利用树状图得出所有情况是解题关键．

21．（12分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＜BC．

（1）利用尺规作图，在BC边上确定点E，使点E到边AB，AD的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）；

（2）若BC＝8，CD＝5，则CE＝　3　．

【考点】L5：平行四边形的性质；N3：作图—复杂作图．

【专题】13：作图题．

【分析】（1）根据角平分线上的点到角的两边距离相等知作出∠A的平分线即可；

（2）根据平行四边形的性质可知AB＝CD＝5，AD∥BC，再根据角平分线的性质和平行线的性质得到∠BAE＝∠BEA，再根据等腰三角形的性质和线段的和差关系即可求解．

【解答】解：（1）如图所示：E点即为所求．

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD＝5，AD∥BC，

∴∠DAE＝∠AEB，

∵AE是∠A的平分线，

∴∠DAE＝∠BAE，

∴∠BAE＝∠BEA，

∴BE＝BA＝5，

∴CE＝BC﹣BE＝3．

故答案为：3．

【点评】考查了作图﹣复杂作图，关键是作一个角的角平分线，同时考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，平行线的性质和等腰三角形的性质的知识点．

22．（12分）白溪镇2012年有绿地面积57.5公顷，该镇近几年不断增加绿地面积，2014年达到82.8公顷．

（1）求该镇2012至2014年绿地面积的年平均增长率；

（2）若年增长率保持不变，2015年该镇绿地面积能否达到100公顷？

【考点】AD：一元二次方程的应用．

【专题】123：增长率问题．

【分析】（1）设每绿地面积的年平均增长率为x，就可以表示出2014年的绿地面积，根据2014年的绿地面积达到82.8公顷建立方程求出x的值即可；

（2）根据（1）求出的年增长率就可以求出结论．

【解答】解：（1）设绿地面积的年平均增长率为x，根据意，得 

57.5（1+x）2＝82.8　　　　

解得：x1＝0.2，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）

答：增长率为20%； 

（2）由题意，得

82.8（1+0.2）＝99.36公顷，

答：2015年该镇绿地面积不能达到100公顷．

【点评】本题考查了增长率问题的数量关系的运用，运用增长率的数量关系建立一元二次方程的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时求出平均增长率是关键．

23．（12分）如图，直线y＝2x与反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象交于点A（1，a），B是反比例函数图象上一点，直线OB与x轴的夹角为α，tanα＝．

（1）求k的值及点B坐标．

（2）连接AB，求三角形AOB的面积S△AOB．

【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．

【专题】534：反比例函数及其应用．

【分析】（1）把点A（1，a）代入y＝2x，求出a＝2，再把A（1，2）代入y＝，即可求出k的值；过B作BC⊥x轴于点C．在Rt△BOC中，由tanα＝，可设B（2h，h）．将B（2h，h）代入y＝，求出h的值，即可得到点B的坐标；

（2）由A（1，2），B（2，1），利用待定系数法求出直线AB的解析式为y＝﹣x+3，那么直线AB与x轴交点D的坐标为（3，0）．根据差可得△OAB的面积．

【解答】解：（1）把点A（1，a）代入y＝2x，

得a＝2，

则A（1，2）．

把A（1，2）代入y＝，得k＝1×2＝2；

过B作BC⊥x轴于点C．

∵在Rt△BOC中，tanα＝，

∴可设B（2h，h）．

∵B（2h，h）在反比例函数y＝的图象上，

∴2h2＝2，解得h＝±1，

∵h＞0，

∴h＝1，

∴B（2，1），

（2）∵A（1，2），B（2，1），

∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3，

设直线AB与x轴交于点D，则D（3，0），

∵S△AOB＝S△ABD﹣S△OBD＝•OD•yA﹣•OD•yB，

＝×3×2﹣×3×1，

＝3﹣，

＝．

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，利用待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，正切函数的定义、三角形的面积，难度适中，利用数形结合是解题的关键．

24．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的切线DF，交AC于点F．

（1）求证：DF⊥AC；

（2）若⊙O的半径为4，∠CDF＝22.5°，求阴影部分的面积．

【考点】MC：切线的性质；MO：扇形面积的计算．

【分析】（1）连接OD，易得∠ABC＝∠ODB，由AB＝AC，易得∠ABC＝∠ACB，等量代换得∠ODB＝∠ACB，利用平行线的判定得OD∥AC，由切线的性质得DF⊥OD，得出结论；

（2）连接OE，利用（1）的结论得∠ABC＝∠ACB＝67.5°，易得∠BAC＝45°，得出∠AOE＝90°，利用扇形的面积公式和三角形的面积公式得出结论．

【解答】（1）证明：连接OD，

∵OB＝OD，

∴∠ABC＝∠ODB，

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，

∴∠ODB＝∠ACB，

∴OD∥AC，

∵DF是⊙O的切线，

∴DF⊥OD，

∴DF⊥AC．

（2）解：连接OE，

∵DF⊥AC，∠CDF＝22.5°，

∴∠ABC＝∠ACB＝67.5°，

∴∠BAC＝45°，

∵OA＝OE，

∴∠AOE＝90°，

∵⊙O的半径为4，

∴S扇形AOE＝4π，S△AOE＝8 ，

∴S阴影＝4π﹣8．

【点评】本题主要考查了切线的性质，扇形的面积与三角形的面积公式，圆周角定理等，作出适当的辅助线，利用切线性质和圆周角定理，数形结合是解答此题的关键．

25．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx﹣4（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣2，0）、C（8，0）两点，与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）如图1，连结BC，在线段BC上是否存在点E，使得△CDE为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，若点P（m，n）是该二次函数图象上的一个动点（其中m＞0，n＜0），连结PB，PD，BD，求△BDP面积的最大值及此时点P的坐标．

【考点】HF：二次函数综合题．

【专题】16：压轴题．

【分析】（1）采用待定系数法求得二次函数的解析式；

（2）先求得直线BC的解析式为y＝x﹣4，则可设E（m，m﹣4），然后分三种情况讨论即可求得；

（3）利用△PBD的面积S＝S梯形﹣S△BOD﹣S△PFD即可求得．

【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣4（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣2，0）、C（8，0）两点，

∴，解得，

∴该二次函数的解析式为y＝x2﹣x﹣4；

（2）由二次函数y＝x2﹣x﹣4可知对称轴x＝3，

∴D（3，0），

∵C（8，0），

∴CD＝5，

由二次函数y＝x2﹣x﹣4可知B（0，﹣4），

设直线BC的解析式为y＝kx+b，

∴，解得，

∴直线BC的解析式为y＝x﹣4，

设E（m，m﹣4），

当DC＝CE时，EC2＝（m﹣8）2+（m﹣4）2＝CD2，

即（m﹣8）2+（m﹣4）2＝52，解得m1＝8﹣2，m2＝8+2（舍去），

∴E（8﹣2，﹣）；

当DC＝DE时，ED2＝（m﹣3）2+（m﹣4）2＝CD2，

即（m﹣3）2+（m﹣4）2＝52，解得m3＝0，m4＝8（舍去），

∴E（0，﹣4）；

当EC＝DE时，（m﹣8）2+（m﹣4）2＝（m﹣3）2+（m﹣4）2解得m5＝5.5，

∴E（，﹣）．

综上，存在点E，使得△CDE为等腰三角形，所有符合条件的点E的坐标为（8﹣2，﹣）、（0，﹣4）、（，﹣）．

（3）过点P作y轴的平行线交x轴于点F，

∵P点的横坐标为m，

∴P点的纵坐标为m2﹣m﹣4，

∵△PBD的面积S＝S梯形﹣S△BOD﹣S△PFD＝m[4﹣（m2﹣m﹣4）]﹣（m﹣3）[﹣（m2﹣m﹣4）]﹣×3×4

＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+

∴当m＝时，△PBD的最大面积为，

∴点P的坐标为（，﹣）．

【点评】此题考查了学生的综合应用能力，要注意数形结合，认真分析，仔细识图．注意待定系数法求函数的解析式，注意函数交点坐标的求法，注意三角形面积的求法．