江苏省南京市第一中学2020-2021学年高三上学期期中数学试题

数学

注意事项

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求

1.本试卷共6页，共I50分。考试时间120分钟。考试结束后，只要将答题纸交回。

2.答题前，请您务必将自己的姓名、学校、考试号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题纸上，并用2B铅笔把答题纸上考试号对应数字框涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再正确涂写。

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、考试证号与你本人的是否相符。

1.已知复数满足，其中为虚数单位，则（    ）

A.1                    B.                C.                    D.

2.已知集合，则（    ）

A.        B.        C.    D.

 3.在1，2，3，…，2020这2020个自然数中，将能被2除余1，且被3除余1的数按从小到大的次序排成一列，构成数列，则（    ）

A.2                B.295                C.301                D.307

4.重阳节，农历九月初九，二九相重，谐音是“久久”，有长久之意，人们常在此日感恩敬老，是我国民间的传统节日，某校在重阳节当日安排6位学生到两所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院至少安排2人，则不同的分配方案数是（    ）

A.35                    B.40                    C.50                    D.70

5.函数的图象大致为（    ）

A.              B. 

C.    D. 

6.某校先后举办定点投篮比赛和定点射门比赛，高三（1）班的45名同学中，只参加了其中一项比赛的同学有20人，两项比赛都没参加的有19人，则两项比赛中参加人数最多的一项比赛人数不可能是（    ）

A.15                    B.17                    C.21                    D.26

7.克罗狄斯·托勒密（Ptolemy）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，完成下题：如图，半圆的直径为2，为直径延长线上的一点，，为半圆上一点，以为一边作等边三角形，则当线段的长取最大值时，

A.30°                B.45°                C.60°                D.90°

8.已知双曲线的焦点为，，其渐近线上横坐标为的点满足，则（    ） 

A.                B.                C.2                    D.4

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。

9.下列四个函数中，以为周期，且在区间上单调递减的是（    ）

A.            B.            C.        D.

10.若的展开式中第6项的二项式系数最大，则的可能值为（    ）

A.9                    B.10                    C.11                    D.12

11.已知，，且，则（    ）

A.                            B.

C.                D.

12.我们知道，任何一个正实数都可以表示成.

定义：如：，，，，则下列说法正确的是（    ）

A.当，，时，

B.当时，

C.若，，则

D.当时， 

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离为，则      .

314.已知某品牌的新能源汽车的使用年限（年）与维护费用（千元）之间有如下数据：

使用年限

（参考公式：线性回归方程中的系数，）

15.如图，水平广场上有一盏路灯挂在长的电线杆上，记电线杆的底部为点.把路灯看作一个点光源，身高的女孩站在离点的点处.若女孩向点前行到达点.然后从点出发，沿着以为对角线的正方形走一圈，则女孩走一圈时头顶（视为一点）的影子所围成封闭图形的面积为      .

16.已知三棱锥中，，，两两垂直，且，以为球心，为半径的球面与该三棱锥表面的交线的长度之和为      .

四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.已知公比大于1的等比数列满足，.

（1）求的通项公式；

（2）设      ，求数列的前项和.

请在①；②；③这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并完成解答.

注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.

18.在中，设，，所对的边长分别为，，，且.

（1）求；

（2）若，且为说角三角形，求的面积的取值范围.

19.如图，四棱锥的底面为直角梯形，，，，，平面.

（1）求证：平面；

（2）已知，点为棱的中点，求直线与平面所成角的正弦值.

20.根据历史资料显示，某种慢性疾病患者的自然痊愈率为5%.为试验种新药，在有关部门批准后，医院将此药给10位病人服用，试验方案为：若这10人中至少有2人痊愈，则认为该药有效，提高了治愈率；否则，则认为该药无效.

（1）如果在该次试验中有5人痊愈，院方欲从参加该次试验的10人中随机选2人了解服药期间的感受，记抽到痊愈的人的个数为，求的概率分布及数学期望；

（2）如果新药有效，将治愈率提高到了50%，求通过试验却认定新药无效的概率，并根据的值解释该试验方案的合理性.

（参考结论：通常认为发生概率小于5%的事件可视为小概率事件）

21.在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，且经过点.

（1）求椭圆的方程；

（2）设为椭圆的右焦点，直线与椭圆相切于点（点在第一象限），过原点作直线的平行线与直线相交于点，问：线段的长是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.

22.已知函数，，其中.

（1）若，在平面直角坐标系中，过坐标原点分别作函数与的图象的切线，，求，的斜率之积；

（2）若在区间上恒成立，求的最小值.