逻辑学第三章 命题的判定与自然推理 答案

    一、用符号表示下列各复合命题的真值形式：

    1．pp。

    2．pq。    

3．p→q(如以“不……焉……”为联结词，也可表示为“p←q”)

    4．p→q。

    5．(p←q) (p→q)。

    二、p 为假， pq 为假， pq 为真，p→q 为假，p↔q为假。

    三、q的取值应为真。

    四、4、5两公式取值为T。

    五、各组公式的真值表分别为：

5．

六、列出下列公式的真值表，并指出它们分别为重言式、矛盾式或协调式。

各公式的真值表是：

2．  

    3．

七、用归谬赋值法判明下列公式是否为重言式。

1. 〔（p→q）（r→q ）（pr）〕→q

     F T F  T  FT F   T   T    F F

                        T或T

命题变元p或r有赋值矛盾，故该式为重言式。

2．（p→q）（p→r ）↔（p→qr ）

(1) （p→q）（p→r ）→（p→qr ）

     T T T  T  TTT    F  T F FFF

q和r有赋值矛盾，所以，（1）式是重言式。

（2）（p→qr ）→（p→q）（p→r ）

      T TTTF   F  T T T  F  TF F

所有命题变元均无赋值矛盾，故（2）不是重言式。

3．（p→q）（q→r ）→（p→r ）

    T TT  T  FT F   F  T F F

命题变元q有赋值矛盾，故该式为重言式。

八、用命题的自然推理，证明下列公式是否为有效式（为系统中的定理）。

1．pp→p

    证明：①pp                  假设

          ②p                    ①据规则5

          ③pp→p               ①、②据规则(3)，消去假设①

2．(p→q) q→p

    证明：①p                    假设

          ②(p→q) q            假设

          ③p→q                 ②据规则(5)

          ④q                    ①、③据规则(2)

          ⑤q                   ②据规则(5)

          ⑥qq                 ④、⑤据规则(4)

          ⑦p                   ①、⑥据规则(8)，消去假设①

          ⑧(p→q) q→p        ②、⑦据规则(3)，消去假设②

3．(p→q) → (q→p)

证明：①p                    假设

          ②p→q                 假设

          ③q                   假设    

          ④q                     ①、②据规则(2)

          ⑤qq                 ③、④据规则(4)

          ⑥p                   ①、⑤据规则(8)，消去假设①

      ⑦q→p               ③、⑥据规则(3)，消去假设③

      ⑧(p→q) → (q→p)    ②、⑦据规则(3)，消去假设②

4．(q→r )→(pq→pr)

证明：①pq                  假设

          ②p                    假设    

          ③q                    假设

          ④q→r                 假设

          ⑤pr                  ②据规则(6)

          ⑥r                    ③、④据规则(2)

⑦pr                  ⑥据规则(6)

          ⑧pr                  ①、②、⑤、③、⑦据规则(7)，消去假设①

          ⑨pq→pr             ①、⑧据规则(3)，消去假设①

          ⑩(q→r)→(pq→pr)     ④、⑨据规则(3)，消去假设④

5．(p→qr)↔(p→q)(p→r)

证明：①p→qr               假设

          ②p                    假设

          ③qr                  ①、②据规则(2)

          ④q                    ③据规则(5)

          ⑤p→q                 ②、④据规则(3)，消去假设②

          ⑥p                    假设

          ⑦qr                  ①、⑥据规则(2)

          ⑧ r                    ⑦据规则(5)

          ⑨ p→r                 ⑥、⑧据规则(3)、消去假设⑥

          ⑩(p→q)(p→r)         ⑤、⑨据规则(4)

           (p→qr)→(p→q)(p→r)    ①、⑩据规则(3)，消去假设①

           (p→q)(p→r)         假设

          p→q                 据规则(5)

           p→r                据规则(5)

           p                   假设

           q                   、据规则(2)

           r                   、据规则(2)

           qr                 、据规则(4)

           p→qr              、据规则(3)

           (p→q)(p→r)→(p→qr)    、据规则(3)，消去假设

           (p→qr)↔(p→q)(p→r)    、据规则(10)