一、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）在一位的自然数中，既是奇数又是合数的有 _________ ；既不是合数又不是质数的有 _________ ；既是偶数又是质数的有 _________ ．
2．（3分）最小的质数与最接近100的质数的乘积是 _________ ．
3．（3分）两个自然数的和与差的积是41，那么这两个自然数的积是 _________ ．
4．（3分）在空中分别填入三个质数，使等式成立． _________ + _________ + _________ =50．
5．（3分）三个连续自然数的积是1716，这三个自然数是 _________ 、 _________ 、 _________ ．
6．（3分）找出1992所有的不同质因数，它们的和是 _________ ．
7．（3分）如果自然数有四个不同的质因数，那么这样的自然数中最小的是 _________ ．
8．（3分）9216可写成两个自然数的积，这两个自然数的和最小可以达到 _________ ．
9．（3分）从一块正方形的木板上锯下宽为3分米的一个木条以后，剩下的面积是108平方分米．木条的面积是 _________ 平方分米．
10．（3分）今有10个质数：17，23，31，41，53，67，79，83，101，103．如果将它们分成两组，每组五个数，并且每组的五个数之和相等，那么把含有101的这组数从小到大排列，第二个数应是 _________ ．
二、解答题（共4小题，满分0分）
11．2，3，5，7，11，…都是质数，也就是说每个数只以1和它本身为约数．已知一个长方形的长和宽都是质数个单位，并且周长是36个单位．问这个长方形的面积至多是多少个平方单位？
12．把7、14、20、21、28、30分成两组，每三个数相乘，使两组数的乘积相等．
13．学生1430人参加团体操，分成人数相等的若干队，每队人数在100至200之间，问哪几种分法？
14．（2013•广州模拟）四只同样的瓶子内分别装有一定数量的油，每瓶和其他各瓶分别合称一次，记录千克数如下：8、9、10、11、12、13．已知四只空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数，求最重的两瓶内有多少油？
2010年五年级奥数题：质数与合数（A）
参与试题解析
一、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）在一位的自然数中，既是奇数又是合数的有 9 ；既不是合数又不是质数的有 1 ；既是偶数又是质数的有 2 ．
| 考点： | 合数与质数．菁优网版权所有 |
| 分析： | 1只有一个约数它既不是约数也不是合数，质数只有1和它本身两个约数，合数至少有3个约数，由此解答． |
| 解答： | 解：在一位自然数中，奇数有：1，3，5，7，9，其中仅有9为合数； 在一位自然数中，质数有2、3、5、7，合数有4、6、8、9，所以既不是合数又不是质数的为1； 又在一位自然数中，偶数有2、4、6、8，所以既是偶数又是质数的数为2； 故答案为：9，1，2． |
| 点评： | 此题考查的目的是理解和掌握质数与合数的意义，据此判断一个自然数是质数还是合数． |
2．（3分）最小的质数与最接近100的质数的乘积是 202 ．
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| 分析： | 只有1和它本身两个因数的数为质数；找出最小的质数和最接近100的质数算出乘积即可． |
| 解答： | 解：最小的质数是2，最接近100的质数是101，它们的乘积是2×101=202． 故答案为：202． |
| 点评： | 本题考查了质数的定义． |
3．（3分）两个自然数的和与差的积是41，那么这两个自然数的积是 420 ．
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| 分析： | 从两个自然数的和与差的积是41入手，41是质数，也就是1×41=41，可见它们的差是1，和是41，这是两个连续的自然数分别为20、21．然后计算其乘积即可． |
| 解答： | 解：首先注意到41是质数，两个自然数的和与差的积是41，可见它们的差是1，这是两个连续的自然数， 大数是21，小数是20，所以这两个自然数的积是20×21=420． 故答案为：420． |
| 点评： | 此题考查质数与合数． |
4．（3分）在空中分别填入三个质数，使等式成立． 2 + 5 + 43 =50．
| 考点： | 合数与质数．菁优网版权所有 |
| 分析： | 50以内有15个质数，最接近50的质数是47，如果选47，那么最小的质数是2，1既不是质数也不是合数，这样就排除47，那么比47小的质数是43，另外两个质数分别是2和5，这样等式成立，由此解答． |
| 解答： | 解：接近50的质数有43，再将7分拆成质数2与质数5的和．即 2+5+43=50； 另外，还有 2+19+29=50 2+11+37=50； [注]填法不是唯一的．如也可以写成 41+2+7=50； 2+17+31=50； 故答案为：①43，2、5；②2、19、29；③2、11、37；④2、7、41；⑤2、17、31． |
| 点评： | 此题的答案不是唯一的，解答时要认真分析，考虑周全，体会一多解． |
5．（3分）三个连续自然数的积是1716，这三个自然数是 11 、 12 、 13 ．
| 考点： | 合数分解质因数．菁优网版权所有 |
| 分析： | 本题可以用分解质因数的方法求得1716的质因数，根据质因数2、2、3、11、13，可知三个连续自然数各是多少． |
| 解答： | 解：将1716解质因数得， 1716=2×2×3×11×13 =11×（2×2×3）×13 =11×12×13； 由此可以看出这三个数是11、12、13． 故答案为：11、12、13． |
| 点评： | 此题主要考查分解质因数的方法． |
6．（3分）找出1992所有的不同质因数，它们的和是 88 ．
| 考点： | 合数分解质因数．菁优网版权所有 |
| 分析： | 此题就是将1992进行分解质因数，由此解决问题． |
| 解答： | 解：1992=2×2×2×3×83 所以1992所有不同的质因数有：2，3，83，它们的和是2+3+83=88． 故答案为：88． |
| 点评： | 此题考查了合数分解质因数的方法． |
7．（3分）如果自然数有四个不同的质因数，那么这样的自然数中最小的是 210 ．
| 考点： | 合数分解质因数．菁优网版权所有 |
| 分析： | 根据质数的定义，最小的四个质数是2，3，5，7，．由此即可解决问题． |
| 解答： | 解：根据质因数的定义可以得出最小的四个质数是2，3，5，7． 2×3×5×7=210． 所以有四个不同质因数的最小自然数是210． 答：那么这样的自然数中最小的是 210． 故答案为：210． |
| 点评： | 最小的四个质因数的积就是这个自然数，这是解决本题的关键． |
8．（3分）9216可写成两个自然数的积，这两个自然数的和最小可以达到 192 ．
| 考点： | 合数分解质因数．菁优网版权所有 |
| 分析： | 先把9216分解质因数，再写成两数相乘的形式，即可知答案． |
| 解答： | 解：9216=2×2×…×2×3×3 =96×96； 欲使这两个自然数的和最小，可使两数相等，所以这两个质因数的和最小为96+96=192． 故答案为：192． |
| 点评： | 此题主要考查分解质因数的有关知识． |
9．（3分）从一块正方形的木板上锯下宽为3分米的一个木条以后，剩下的面积是108平方分米．木条的面积是 36 平方分米．
| 考点： | 合数分解质因数．菁优网版权所有 |
| 分析： | 如图所示，要求木条的面积，必须知道正方形木板的边长，只要把108 分解成边长×（边长﹣3）即可． |
| 解答： | 解：把108分解质因数．108=2×2×3×3×3=12×9 由此可见，9加3正好等于12，所以正方形木板边长是12分米． 所以，木条面积是12×3=36（平方分米）； 故答案为：36． |
| 点评： | 此题主要考查分解质因数的有关知识和正方形面积的计算． |
10．（3分）今有10个质数：17，23，31，41，53，67，79，83，101，103．如果将它们分成两组，每组五个数，并且每组的五个数之和相等，那么把含有101的这组数从小到大排列，第二个数应是 31 ．
| 考点： | 质数与合数问题．菁优网版权所有 |
| 分析： | 可以先求出这10个质数的和是多少，根据已知条件，把这10个质数分成两组，即可求出每组5个质数的和，然后在分析每组数各有哪几种情况，由此解答即可． |
| 解答： | 解：这10个质数之和是598，分成两组后，每组五个数之和是598÷2=299． 在有79这组数中，其他四个质数之和是299﹣79=220，个位数是0，因此这四个质数的个位数可能有三种情形： （1）三个1和一个7； （2）二个3和二个7； （3）三个3和一个1． 31+41+101=173，220﹣173=47，可这十个数中没有47，情形（1）被否定． 17+67=84，220﹣84=136，个位数为3有23，53，83，只有53+83=136，因此从情形（2）得到一种分组：17，53，67，79，83和23，31，41，101，103． 所以，含有101这组数中，从小到大排列第二个数是31． [注]从题目本身的要求来说，只要找出一种分组就可以了，但从情形（3）还可以得出另一种分组.23+53+83+103=262，262﹣220=42，我们能否从53，83，103中找出一个数，用比它少42的数来代替呢？ 53﹣42=11，83﹣42=41，103﹣42=61．这十个数中没有11和61，只有41．又得到另一种分组： 23，41，53，79，103和17，31，67，83，101． 由此可见，不论哪一种分组，含101这组数中，从小到大排列，第二个数都是31． |
| 点评： | 此题的解答思路要开阔，考虑要周全，分析所包含的各种情况，提高分析解决问题的能力． |
二、解答题（共4小题，满分0分）
11．2，3，5，7，11，…都是质数，也就是说每个数只以1和它本身为约数．已知一个长方形的长和宽都是质数个单位，并且周长是36个单位．问这个长方形的面积至多是多少个平方单位？
| 考点： | 合数与质数．菁优网版权所有 |
| 分析： | 根据周长先求出长与宽的和，再把和写成两个质数的和，两个质数的积最大者即为答案． |
| 解答： | 解：由于长+宽是36÷2=18， 将18表示为两个质数和18=5+13=7+11， 所以长方形的面积是5×13=65或7×11=77， 故长方形的面积至多是77平方单位． |
| 点评： | 此题主要考查长方形的周长以及质数的知识． |
12．把7、14、20、21、28、30分成两组，每三个数相乘，使两组数的乘积相等．
| 考点： | 合数分解质因数．菁优网版权所有 |
| 分析： | 先把14，20，21，28，30分解质因数，看这六个数有哪几个质因数，再分摊在两组中，使两组数乘积相等． |
| 解答： | 解：14=2×7 21=3×7 28=2×2×7 30=2×3×5 从上面五个数分解质因数来看，连7在内共有质因数四个7，六个2，二个3，二个5，因此每组数中一定要含三个2，一个3，一个5，二个7． 六个数可分成如下两组（分法是唯一的）： 第一组：7、28、和30 第二组：14、21和20 且7×28×30=14×21×20=5880满足要求． |
| 点评： | 解答此题的关键是审题，抓住题目中的关键性词语：“使两组数的乘积相等”．实质上是要求两组里所含质因数相同，相同的质因数出现的次数也相同． |
13．学生1430人参加团体操，分成人数相等的若干队，每队人数在100至200之间，问哪几种分法？
| 考点： | 合数分解质因数．菁优网版权所有 |
| 分析： | 先把1430分解质因数，再用质因数相乘使积在100到200之间，即可知答案． |
| 解答： | 解：把1430分解质因数得， 1430=2×5×11×13， 根据题目的要求，应在2、5、11及13中选用若干个数，使它们的乘积在100到200之间，于是得三种答案： （1）2×5×11=110； （2）2×5×13=130； （3）11×13=143． 所以，有三种分法：一种是分为13队，每队110人；二是分为11队，每队130人；三是分为10队，每队143人． |
| 点评： | 此题主要考查分解质因数的方法以及数的组合乘法． |
14．（2013•广州模拟）四只同样的瓶子内分别装有一定数量的油，每瓶和其他各瓶分别合称一次，记录千克数如下：8、9、10、11、12、13．已知四只空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数，求最重的两瓶内有多少油？
| 考点： | 重叠问题；合数与质数．菁优网版权所有 |
| 分析： | 由于每只瓶都称了三次，因此记录数之和是4瓶油（连瓶）重量之和的3倍，即4瓶油（加瓶）共重（8+9+10+11+12+13）÷3=21（千克），而油重之和及瓶重之和均为质数，所以它们必为一奇一偶，而质数中是偶数的质数只有2，故有（1）油重之和为19千克，瓶重之和为2千克，每只瓶重千克，最重的两瓶内的油为13﹣×2=12（千克）．（2）油重之和为2千克，瓶重之和为19千克，每只瓶重千克，最重的两瓶内的油为13﹣×2=（千克），这与油重之和为2千克矛盾，不合要求，删去． |
| 解答： | 解：每个瓶称三次，故四个瓶子总重量为（8+9+10+11+12+13）÷3=21 （千克）． 21是奇数，故空瓶重量之和与油重量之和必为一奇一偶． （1）而2是偶质数，故空瓶重量和为2，油重量和为19．每个空瓶0.5，故最重两瓶（即重13的两瓶）有13﹣0.5×2=12（千克）． （2）油重之和为2千克，瓶重之和为19千克，每只瓶重千克，最重的两瓶内的油为13﹣×2=（千克），这与油重之和为2千克矛盾，不合要求，删去． 答：最重的两瓶内有12千克油． |
| 点评： | 此题在重叠问题中，考查了有关合数、质数以及奇数的知识，同时培养了学生的思维能力． |
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