【卷号7918】2012届辽宁省葫芦岛市五校协作体高三8月模拟考试文科数学

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【卷号7918】2012届辽宁省葫芦岛市五校协作体高三8月模拟考试文科数学

第I 卷（选择题）

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一、选择题（题型注释）

1．已知集合{}4,5,6P =，{}1,2,3Q =，定义{}|,,P Q x x p q p P q

Q ⊕==-∈∈，

则集合 P Q

⊕的所有真子集的个数为（ ）

A ．32

B ．31

C ．30

D ．以上都不对

2i 在复平面内对应的点位于（ ）

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

3．在ABC ∆中，c b a ,,分别为三个内角A 、B 、C 所对的边,设向量m (),,b

c c a =--n

(),b

c a =+，

若向量m ⊥n ，则角A 的大小为（ ）

A B 4．．已知命题p ：关于x 的函数2

34y x ax =-+在[1,)+∞上是增函数.，命题q ：(21)x

y a =- 为减函数，若p q 且为真命题，则a 的取值范围是（ ）

A ．23a ≤

B ． 102a <<

C ．1223a <≤

D ．1

12

a <<

5． 若等差数列{}n a 满足234a S +=，3512a S +=，则47a S +的值是（ ）

A ．20

B ．36

C ．24

D ．72

6．

，则cos sin α

α+等于（ ）

A

7．执行如图所示的程序框图，若输出的n ＝6，则输入整数p 的最大值是（ ） A 、32 B

、31 C 、15 D 、16

8．如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个

几何体的侧面积为（ ）

A ．

4π B ． 4 C ． 2 D ． 1

2

π

9．若关于x 的不等式0ax b ->的解集是(1,)+∞，则关于x 的不等式 ） A ．(,1)(2,)-∞-+∞ B ．(1,2)-

C ．(1,2)-

D ．(,1)(2,)-∞+∞

10．已知)1(log )(>=a x x f a 的导函数是)(x f ',记),()1(),(a f a f B a f A -+='=)1(+'=a f C 则

（ ）

A ．A>B>C

B ．A>C>B

C ．B>A>C

D ．C>B>A

第9题图

S=S+2 n-1

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11．设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪

⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ， 若目标函数by ax z +=（a>0，b>0）的最大值为

12

( )

12．的直线l 与椭圆且这两个交点在x 轴上的

射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（ ）

A ．

．

．

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第II 卷（非选择题）

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二、填空题（题型注释）

13．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且a c 2=，则cosB= 14．已知函数()x f 满足

，则不等式()0>x f 的解集是 15正方体的表面积为______________

16中，12,F F 分别是其左右焦点，若率的取值范围是_____________

三、解答题（题型注释）

17．(本小题满分12分) 设)(x f ＝BC AC ⋅ (1).求)(x f 的最小正周期和单调递减区间

(2)设关于x 的方程)(x f =a 在有两个不相等的实数根，求a 的取值范围

18．（本小题满分12分）

某网站就观众对2010年春晚小品类节目的喜爱程度进行网上调查，其中持各种态度的人数如下表：

（1）现用分层抽样的方法从所有参与网上调查的观众中抽取了一个容量为n 的样本，已知从不喜欢小品的观众中抽取的人数为5人，则n 的值为多少？

（2）在（1）的条件下，若抽取到的5名不喜欢小品的观众中有2名为女性，现将抽取到的5名不喜欢小品的观众看成一个总体 ，从中任选两名观众，求至少有一名为女性观众的概率.

19． (本小题满分12分) 如图，三棱锥A —BPC 中，AP ⊥PC ，AC ⊥BC ，M 为AB 中点，D 为PB 中点，

且△PMB 为正三角形.

（Ⅰ）求证：DM //平面APC ；

（Ⅱ）求 证：平面ABC ⊥平面APC ；

（Ⅲ）若BC =4，AB =20，求三棱锥D —BCM 的体积.

20．（本小题满分12分） 设3

2

()f x ax bx cx =++的极小值为8-，其导函数()y f x '=的图像开口向下且经过点(2,0)-，

（Ⅰ）求)(x f 的解析式；（Ⅱ）方程0)(=+p x f 有唯一实数解，求p 的取值范围 (

Ⅲ)若对[-3,3]x ∈都有2

()14f x m m ≥-恒成立，求实数m 的取值范围

21．（本小题满分12

的直线被椭圆截得的弦长为1，过点(3,0)M 的直线与椭圆C 相交于两点,A B （1）求椭圆的方程

（2）设P 为椭圆上一点，且满足OA OB tOP += （O 为坐标原点）实数t 的取值范围

22．四、选做题（本小题满分10分。请考生22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分）

22．选修4－1：几何证明选讲

如图，已知点C 在圆O 直径BE 的延长线上，CA 切 圆O 于A 点，DC 是∠ACB 的平分线并交AE 于点F 、交 AB 于D 点，则∠ADF=？

x轴的非负半轴重合，且单位长度相同）。

（1）求圆心C到直线l的距离；

（2）若直线l被圆C

.

24．选修4－5：不等式选讲

已知函数.|3

2|

|1

2|

)

(-

+

+

=x

x

x

f

（1）求不等式6

)

(≤

x

f的解集；

（2）若关于x的不等式a

x

f>

)

(恒成立，求实数a的取值范围.

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答案第1页，总8页

参

1．B

【解析】本题考查集合元素的性质、集合子集个数问题。

由题意可知}5,4,3,2,1{=⊕Q P ,故其真子集个数为31125=-，选B 。 2．B

【解析】本题考查共轭复数，复数的运算,复数的几何意义.

111111(1)(1)222

i i z i i i i --=

===-++-，所以(1)11;zi i i i i =+=-=-+，对应点坐标为（-1,1），是第二象限点.故选B 3．B

【解析】本题考查向量的坐标运算，向量的数量积，余弦定理.

因为(),,m b c c a =-- (),n b c a =+ ，,m n ⊥ 所以()()()0m n b b c c a c a ⋅=-+-+=

，即

2

2

2

;b c a b c +-=在ABC ∆中，由余弦定理得：2221cos ,0,22

b c a A A bc π+-==<<所以

.3

A π

=

故选B

4．C

【解析】本题考查复合命题的真假与简单命题真假关系、二次函数、指数函数的单调性等知识。由p q 且为真命题，可知q p 、真，p 真由题意

123≤a ，故3

2

≤a ；q 真，易知1120<-2

21≤5．C

【解析】本题考查等差数列的通项公式、前n 项和公式和基本运算. 设公差为,d 则根据条件得：2311132

34442

a S a d a d a d ⨯+=+++

=+=，即 11(1);a d +=⋅⋅⋅5311154

25612122

a S a d a d a d ⨯+=+++

=+=，即122(2);a d +=⋅⋅⋅ 由（1），（2）得：10,1;a d ==则471176

3782424.2

a S a d a d a d ⨯+=+++=+=故选

C

6．D

【解析】本题考查诱导公式，二倍角公式，两角和与差的三角函数，

22cos(2)

cos 2cos )(sin cos )

(sin cos )sin()sin()44παα

ααααππαααα--

-+=

==--- 1

cos )sin cos .22

αααα=+=-

∴+=-故选D 7．A

【解析】;221,1,10=+===s s n 824,3;422,22

1=+===+==s n s n 。。。

p s n s n ,6;32216,54==+==否输出n ＝6，p 32的否定，得整数p 的最大值是32.

8．D

【解析】本题考查学生对三视图的识别、圆锥的侧面积计算公式等知识。 由三视图可知，该空间几何体为一圆锥，故侧面积2

1121ππ=⨯⨯⨯=S 9．A

【解析】本题考查不等式的解法，不等式的同解变形.

因为关于x 的不等式0ax b ->的解集是(1,)+∞，所以0,1;b a a >=且

价于

10,0,(1)(2)022

b

x x a x x x x +

+>>+->--即，解得1 2.x x <->或故选A 10．A

【解析】本题考查公对数函数的图像和性质，对数的运算，几何意义，直线的斜率.

设函数)1(log )(>=a x x f a 图像上点(,()),(1(1));M a f a N a f a ++

(1)()

(1)()(1)f a f a B f a f a a a

+-=+-=

+- 表示直线MN 点 斜率，()A f a '=表示函数

)1(log )(>=a x x f a 图像在点M 处的切线的斜率；)1(+'=a f C 表示

)1(log )(>=a x x f a 的图像在点N 处的切线的斜率；函数)1(log )(>=a x x f a 是增函数，

结合图像可知：.A B C >>故选A 11．A

【解析】本题考查线性规划：（1）作可行域，（2）作目标函数对应直线，平移直线与可行域有公共点，（3）确定最优解，（2）把最优解代入目标函数求最值.

作不等式组⎪⎩

⎪

⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x 表示的可行域，如图阴影部分（四边形OABC 内部及边界）；作

直线0ax by +=（因为0,0a b >>所以直线0ax by +=过二、四象限）；由图形知：平移直线0ax by +=到点B 位置，此时，目标函数by ax z +=（a>0，b>0）取最大值12；由方

程组360

20

x y x y --=⎧⎨

-+=⎩，解得(4,6),B 则4612,236(0,0)a b a b a b +=+=>>即；

于是

231231125

(23)()[136()](136.6666

b a a b a b a b a b +=++=++≥+⨯=故选A 12．A

【解析】分析：先根据题意表示出两个焦点的交点坐标，代入椭圆方程，两边乘2a 2b 2

，求得关于

c

a

的方程求得e ． 解答：解：两个交点横坐标是-c ，c 所以两个交点分别为（-c ，

）（c

） 代入椭圆22c a +2

2c 2b

=1

两边乘2a 2b 2

则c 2（2b 2+a 2）=2a 2b 2

∵b 2=a 2-c 2 c 2（3a 2-2c 2）=2a^4-2a 2c 2

2a^4-5a 2c 2

+2c^4=0

（2a 2

-c 2

）（a 2

-2c 2

）=022c a =2

∵0＜e ＜1 所以e=c

a

故选A

13【解析】略

14．()21，

【解析】略

15．56 【解析】略

16【解析】略

17．解：(1)由f(x)＝AC ·BC

得

f(x)＝＋(－

＝cosx －sinx ， ------------4分

所以f(x)的最小正周期T ＝2π. ----------5分

又由2k π≤x π＋2k π，k ∈Z 2k π2k π，k ∈Z.

故f(x)的单调递减区间是[2k π2k π](k ∈Z). -------------7分

(2)由f(x)＝a 得＝a ，故cos(x 分

又x ∈⎣⎢⎡⎦

⎥⎤－π2，π2，于是有x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，34π，数形结合得 1 -------11分

∴a ≤1＜

所以a 的取值范围是[1 -----12分

【解析】略 18．解：（1）采有分层抽样的方法，样本容量与总体容量的比为:1000n 2分

25.n ∴= 5分

（2）由题意得，女性观众抽取2人，男性观众抽取3人， 设女性观众为12,a a ，男性观众为123,,b b b

则从5位不喜爱小品的观众中抽取两名观众有10种可能：

1211121321(,),(,),(,),(,),(,),a a a b a b a b a b 2223121323(,),(,),(,),(,),(,),a b a b b b b b b b 8分

其中抽取两名观众中至少有一名为女性观众有7种可能：

1211121321(,),(,),(,),(,),(,),a

a a

b a b a b a b 2223(,),(,),a b a b 10分

所以从5 ……12分

【解析】略 19．解：（Ⅰ）∵M 为AB 中点，D 为PB 中点， ∴MD//AP ， 又∴MD ⊄平面ABC[来源:学+科+网] ∴DM//平面APC ……………3分

（Ⅱ）∵△PMB 为正三角形，且D 为PB 中点。 ∴MD ⊥PB

又由（Ⅰ）∴知MD//AP ， ∴AP ⊥PB 又已知AP ⊥PC ∴AP ⊥平面PBC ， ∴AP ⊥BC ， 又∵AC ⊥BC

∴BC ⊥平面APC ，

∴平面ABC ⊥平面PAC ……………8分 （Ⅲ）∵AB=20

∴MB=10 ∴PB=10

又BC=4

12分

【解析】略

20．解：（1）2

'()32f x ax bx c =++ ，且'()y f x =

的图象过点

…………2分

∴32

()24f x ax ax ax =+-，由图象可知函数()y f x =在(,2)-∞-上单调递减，在

(不说明单调区间应扣分)

∴()(2)f x f =-极小值，即3

2

(2)2(2)4(2)8a a a -+---=-，解得1a =- ∴3

2

()24f x x x x =--+ …………4分[

（3）要使对[3,3]x ∈-都有2

()14f x m m ≥-成立，只需2min ()14f x m m ≥- 由（1）可知函数()y f x =在)2,3(--上单调递减，在 上单调递减，且(2)8f -=-，32

(3)32343338f =--⨯+⨯=-<-

33)3()(m in -==

∴f x f …………10分

∴11314332≤≤⇔-≥-m m m

故所求的实数m 的取值范围为}.113|{≤≤m m …………

12分

【解析】略

21．解：（1）

，所以2222

4,3a b c b ==

分

所以1b = 3分

分 （2）设1122(,),(,),(,)A x y B x y P x y

设:(3)AB y k x =-与椭圆联立得

整理得2222

(14)2430k x k x k +-+-=

24222416(91)(14)0k k k ∆=--+>

分

1212(,)(,)OA OB x x y y t x y +=++=

由点P 在椭圆上得 22236(14)k t k =+ 8分

所以2212(1)()3k x x +-<

22

1212(1)()43k x x x x ⎡⎤++-<⎣⎦

22(81)(1613)0k k -+>

分

由22236(14)k t k =+得

所以234t <<，所以分

【解析】略 22．45° 【解析】略

23．解：（1）把⎩⎨

⎧--=+=t

y t

a x 214化为普通方程为,022=-++a y x 2分

化为直角坐标系中的方程为,02222=+-+y x y x 4分 ∴圆心到直线的距离为

分 （2

分[

022=-∴a a ，20==a a 或 10分

【解析】略 24． 解：（1）原不等式等价于

分 即不等式的解集为}21|{≤≤-x x 6分 （2）4|)32()12(||32||12|=--+≥-++x x x x 8分4<∴a 10分 -----------------------10分

【解析】略