沪教版 六年级(上)学期数学 数的整除综合复习 (含解析)

1．会求是互素数或有倍数关系的两个数的最大公因数与最小公倍数；掌握两个数的最小公倍数与最大公约数的关系，并会处理相关问题； 

2．会求三个数的最大公因数与最小公倍数； 

3．复习数的整除章节知识点．

知识点1：整除、因数、倍数

1．下列算式中，被除数能被除数整除的是（   ）

A、25÷4            B、25÷0.5       C、25÷25          D、0.4÷0.4

2．下列各式中整除的算式是（   ）

A、11÷5＝2……1    B、27÷3＝9     C、18÷4＝4.5       D、2.4÷0.6＝4

3．12的因数有                  ；

4．一个数最小的倍数是         ；

知识点2：奇数、偶数、素数

5．既是素数又是偶数的数是                      ；

6．下列关于1的叙述，不正确的是（      ）

A、1是最小的自然数；B、1既不是素数也不是合数；C、1是奇数；D、1的因数只有1个

知识点3：能被2、5整除的特征

7．在18，27，30，46，51，65，102这些数中，能被2整除的数是         ；能被5整除的数是         ；

8．能同时被2、5整除的最小三位数是         ；

9．能被5整除的数，个位数字一定是         ；

10．能同时被2、3、5整除的最小三位数是         ；

11．在75，42，50，88，40中，既是2的倍数又能被5整除的数有         ；

知识点4：分解素因数

12．把18分解素因数                           ；

13．30的素因数有                            ；

14．已知A＝2×2×5，则它的所有因数有         个；

15．24、50和75分别分解素因数，发现它们公共的素因数是（      ）

A、2            B、5          C、2和5              D、2、3和5

知识点5：公因数、公倍数、最大公因数与最小公倍数

16．如果数A＝2×2×5，B＝2×3×3，那么A和B的最小公倍数是         ；最大公因数是         ；

17．两个连续奇数的和是24，那么这两个数的最小公倍数是         ；

参：1、C；2、B；3、1，2，3，4，6，12；4、本身；5、2；6、A；7、18，30，46，102；30，65；8、100；9、0或5；10、120；11、50，40；12、18＝2×3×3；13、2，3，5；

14、6；15、A；16、180，2；17、143；

例题1：问题1：

观察：（1）3和5的最大公因数是           ；1

（2）18和36的最大公因数是        ；18

（3）6和7的最大公因数是        ；1

（4）8和15的最大公因数是        ．1

通过求这四组数中的最大公因数，你发现了什么规律？

规律：两个整数中，如果某个数是另一个数的因数，那么这个数就是这两个数的最大公因数；如果两个数互素，那么它们的最大公因数就是1．

问题2： 

观察：（1）3和5的最小公倍数是         ； 15 

（2）18和36的最小公倍数是         ； 36 

（3）8和9的最小公倍数是         ； 72 

（4）8和15的最小公倍数是         ． 120 

通过求这四组数的最小公倍数，你发现了什么规律了吗？ 

规律：两个整数中，如果某一个数是另一个数的倍数，那么这个数就是它们的最小公倍数；如果两个数互素，那么它们的乘积就是它们的最小公倍数．

问题3：用短除法求下列各组数的最大公约数与最小公倍数：

（1）16和20；（2）24和30；（3）18和24。

参：（1）最大公约数：4，最小公倍数：80；（2）最大公约数6：，最小公倍数：120；

（3）最大公约数：6，最小公倍数：72；

求两个数的最大公约数和最小公倍数在求法上有什么相同点？有什么不同点？

相同点：  用短除法分解素因数，直到两个商是互素数为止 

不同点： 

求两个数的最大公约数： 把所有的除数乘起来           

求两个数的最小公倍数：把所有的除数和商都乘起来 

问题4：

（1）两个数的最大公因数是4，最小公倍数是252，其中一个是28，则另一个是     ；36

（2）两个数的最大公因数是8，这两个数的积为384，则这两个数的最小公倍数为     ；48

（3）你能发现两个数的最大公约数与最小公倍数之间有什么关系？

结论：（1）两个数的最小公倍数是两个数的最大公约数与各自独有素因数的乘积；

     （2）两个数的最大公因数与它们的最小公倍数的乘积，等于这两个数的乘积。

试一试：a、b两数的最大公因数是6，最小公倍数是126，若a＝18，则b＝     ；

参：42；

例题2：求20、30和36的最大公因数和最小公倍数；

参：

解法1：列举法

20的因数有：1、2、4、5、10、20

30的因数有：1、2、3、5、6、10、15、30

36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36

所以最大公因数是2

20的倍数有：20、40、60、80……

30的倍数有：30、60、90、……

36的倍数有：36、72、……

所以最小公倍数是180；

解法2：分解素因数法

20＝2×2×5

30＝2×3×5

36＝2×2×3×3

所以最大公因数是2，最小公倍数是180；

归纳总结：

1、三个数的最大公因数要找三个数的公有的素因数，如果其中的两个商还有素因数，也不要往下除；

2、最小公倍数的计算要把三个数的公有素因数和独有素因数都要找全，最后除到两两互素为止。

试一试：求下列各组数的最大公因数与最小公倍数；

（1）10、36和90；（2）24、15和36。

参：（1）最大公因数：2，最小公倍数180；（2）最大公因数：3，最小公倍数360；

  例题3：五年级A 班在分组进行大扫除时，8 人一组或6 人一组都刚好分完．如果这个班人数在50 人以内， 那么，五年级A 班可能是多少人？ 

参：解：8=2×2×2，6=2×3，

8和6的最小公倍数是2×2×2×3=24；50以内8和6的公倍数有24和48；所以可能是24人，也可能是48人；

  试一试：一个班学生人数不足50 人，分别按6、8 和12 人分组，学生都正好分完．这个班共有多少人？ 

参：48

例题4：一个小于30的自然数，既是8的倍数，又是12的倍数，这个数是多少？ 

参：解：求8和12的最小公倍数，

8=2×2×2，12=2×2×3，

8和12的最小公倍数是：2×2×2×3=24；

试一试：四个连续的自然数的最小公倍数是5460，这四个数的和是多少？ 

参：54

例题5：在20～50的自然数中，最多取出多少个数，使取出的这些数中任意两个不同数的和都不是9的倍数？ 

参：16

试一试：不超过100的正整数中，能被25整除的数有哪些？不超过1000的正整数中，能被125整除的数有哪些？ 

参：100以内能被25整除的数有：25、50、75； 

1000以内能被125整除的数有：125；250；375；500；625；750；875． 

1、最小的奇数加上最小的素数的和是        ；

2、18的因数中，奇数有        个，偶数有        个；

3、与任何一个正整数互素的数是        ；

4、用一个数去除30、45、60都能整除，这个数最大是        ；

5、从3、0、8、5中任选取几个数字，组成能被2整除的最大三位数是        ，能被5整除的最小的四位数是        。

6、如果a和18的最大公因数是a，那么最小公倍数是        ；

7、8和12的最小公倍数是        ；

8、两个数最大公因数是1，最小公倍数是26，则这两个数分别为        ；

9、三个连续自然数的乘积是120，则这三个数的和为        ；

10、一个合数的素因数含有10以内所有的奇数，这个合数最小是（      ）。

11. 用5、7、8、0拼成一个四位数，使它是2的倍数，这个数可以是（          ），使它是5的倍数，这个数可以是（       ）。

12、自然数可以分为（          ）。

A．奇数、偶数、合数B．偶数、奇数、0 C．质数、合数、1     D．偶数、质数

13、如果a表示自然数，那么2a一定是（         ）。

A．奇数B．偶数C．质数D．合数

14、求48和36的最大公因数和最小公倍数。

15、某长途汽车站向北线每20分钟发一辆汽车，向南线每15分钟发一辆汽车，如果同时向两线发车，至少经过多少分钟又同时发车？

16、一张长42厘米，宽30厘米的铁皮，要把它切割成若干块面积相等的正方形铁皮且没有剩余，切割成的正方形铁皮至少有几张？

17、求24、30、48的最小公倍数

18、已知甲数＝2×3×3×5×7，乙数＝2×2×5×5×7，求甲乙两数的最大公因数.

19、某数被2除余1，被3除余2，被4除余3，被5除余4，满足以上条件的数有多少个？求最小的一个。

20、三个连续自然数之和是63，这三个数各是多少？它们的最大公约数是多少？

参：1、3；2、3，3；3、1；4、15；5、850，3085；6、18；7、24；8、1，26或2，13；9、15；10、105；11、5780,5780；12、B；13、B；14、最大公因数12，最小公倍数144；15、60；16、35张；17、240  18、70；19、59；20、20、21和22,  1；

（此环节设计时间在5-10分钟内）

让学生回顾本节课所学的重点知识，以学生自我总结为主，学科教师引导为辅，为本次课做一个总结回顾

【巩固练习】

1．两个数的最小公倍数是140，最大公因数是4，且小数不能整除大数，则这两个数分别是                ；

2．有三根绳子，分别长24米，30米，48米，现要把它们截成长度相等的短绳子，则每根短绳最长可以是米，这样的短绳有              根．

3．分解素因数.

（1）120                      （2）105                       （3）238

4．求下列各组数的最大公因数和最小公倍数.

（1）12和18                        （2）24和36               （3）72和90

5. 已知甲数＝2×3×5×A，乙数＝2×3×7×A，甲乙两数的最大公因数是30，求甲乙两数的最小公倍数.

参：1、20，28；2、6，17；3．略；4．略；5. 1050．

【预习思考】

1．一般地，              可以用分数表示，即             =（p、q为正整数）；

2．分数的基本性质：分数的分子和分母都             ，所得的分数与原分数相等。

即：＝             ＝             

3．分子与分母             的分数，叫做最简分数。