葡萄酒评价的数学模型

葡萄酒评价的数学模型

马烁

（荆卅理工职业学院，湖北荆州434000）

〔摘要随着生活水平的不断提高，健康饮酒已经成为时尚.文章主要研究了葡萄酒的评价问题.运用r检验、主成分分析等方法，结佥MATLAB,SPSS等软件有效地解决了酿酒葡萄的分级，较好地分析了酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系并论证了能否用葡萄和葡萄酒的理化指标来评价葡萄酒的质量等问题.对现实生活中葡萄酒的评价具有一定的指导意义.

〔关键词J£检验；主成分分析法；MATLAB软件；SPSS软件

〔文章编号：）1672-2027（2019）01-0015-06〔中图分类号〕0211.9〔文献标识码J A

1问题的提出

随着人民生活水平的不断提高，葡萄酒已经逐步成为人们生活中的一部分，葡萄酒多样多变的口感，令人深陷其中.不同的人对同一种葡萄酒质量的评价不同，确定葡萄酒质量时一般是通过聘请一批有资质的评酒员进行品评•每个评酒员在对葡萄酒进行品尝后对其分类指标打分，然后求和得到其总分，从而确定葡萄酒的质量.

酿酒葡萄的好坏与所酿葡萄酒的质量有直接的关系，葡萄酒和酿酒葡萄检测的理化指标会在一定程度上反映葡萄酒和葡萄的质量.（具体题目参见2012全国大学生数学建模竞赛A题）.

需要建立数学模型讨论下列问题：

1）分析两组评酒员的评价结果有无显著性差异，哪一组结果更可信？

2）根据酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒的质量对这些酿酒葡萄进行分级.

3）分析酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系.

4）分析酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的影响，并论证能否用葡萄和葡萄酒的理化指标来评价葡萄酒的质量？

2模型假设

1）假设葡萄酒的质量只与酿酒葡萄的理化指标有关，而与外界其他因素无关.

2）假设题目中的数据能够真实反映各项的指标.

3）假设题目中所给的几项理论指标能够很好地评价葡萄酒的好坏.

3模型建立及求解

3.1问题一的模型建立与求解

附件1（具体参见2012全国大学生数学建模竞赛A题）中总共有4组数据，其中两组是第一组评酒员品尝评分，另外两组是第二组评酒员品尝评分，对两个组的红、白葡萄酒分別进行显著性检验.首先要对两个组

10

的红、白葡萄酒样品的各项指标评分分别求总评分：/,=工Z”，其中表示第i个品酒员对第J个酒样品

*=1

的评分,表示第i个品酒员对第J个酒样品第怡个指标的评分.每个品酒员对每个酒样都有一个总评分，用收積日期:2019-01-24

作者简介：马烁（1981-）,女，陕西蓝田人，硕士，荆州理工职业学院基础课部讲师，主要从事城优化理论与算法研究.16太原师范学院学报(自然科学版)第18卷

第一组红(白)葡萄酒所有总平分与第二组红(白)葡萄酒所有总评分进行显著性检验⑴Q检验)来判断两组品酒员的评价结果有无显著性差异.

设第一组红葡萄酒的各个评酒员对每个样品的总评分为一个总体X,第二组红葡萄酒的10个评酒员对每个样品的总评分为一个总体Y,则X〜N(少，卅)，〜N(“2,空).当两总体方差(卅工於)不相等时，可以采用配对实验的t检验

设有来自正态总体X和y的样本X】，Xz,…，x”和匕，丫2,…，丫”，它们的容量相等•定义

Z,=Xi—Y,(i=1,2,―,n)

并记E(Z,)=E(X,-匕)=少一曲=d,D(Z,)=D(X；—卅一於=/

则(Z】，Z2,…，Z”)为来自正态总体的样本Z〜N(d,/)•此时，少与刃是否相等的检验等价于检验H°：d=0.由于启，於都未知，从而/也未知，因此需用t检验.记Z=丄£乙，&=占£(Z.-Z)2,

71i=l71_1

则当H o成立时，统计量t=乙二纟〜i(n-l).

S/辰

通过上面的方法对第一组10个品酒员对所有红葡萄酒样的总评分(总评分是指某个品酒员对某个酒样品的分类指标评分打分求和)和第二组的所有总评分进行显著性检验，由«=0.05及好=269,査t分布表中df^=45,i o.o5(45)=1.6794,由于这个t值有相同的a时，随着自由度的增加而减小.而111=4.0850 >1.6794>i0.05(269)，所以拒绝原假设，这就说明两组评酒员的评价结果有显著性差异.用同样的方法对白葡萄酒样进行分析得到的I i|=3.22>1.6794>«0.05(279),也说明两组品酒员的评价结果有显著性差异.

取附件1中红葡萄酒品尝总评分中的酒样品j,定义S,=J右£(%-¾)2(i=1,2,…，n)

其中S,表示各酒样品的标准差，％表示第i个品酒员对第j个酒样品的总评分.云表示第j种酒样品的平均总评分.将附件14个组中每一个酒样品的品尝总评分的标准差求出，根据求出的数据比较同种酒样品的标准差大小，并选取最小值Pj=min{S],Sj}(j=1,2,…，27).

其中S；,Sf表示第j个样品的第一组、第二组的标准差.

分别求出标准差最小值属于第一组的个数a”、第二组的个数b…

(a”=a»-i+1P,€S'

<”(”=1,2,…m=1,2---).

[b m=i+1p,e s2

其中s1表示第一组的标准差集合，S2表示第二组的标准差的集合.

若a”对应的求和值大于6”对应的求和值，则第一组的评价结果更可信；反之第二组的评价结果更可信.以下是第一组和第二组红葡萄酒品尝总评分的标准差数据列表.

表1红葡萄酒样品的标准差

酒样品1234567

第一组9.144 5.984 6.4229.8617.4717.3329.657 6.294 5.445

第二组8.584 3.821 5.257 6.096 3.506 4.367.5157.655 4.812

酒样品101112131415161718

第一组 5.2317.9818.467 6.359 5.692&776 4.036&9 6.388

第二组 5.706 5.851 4.755 3.709 4.565 6.1 4.253 2.872 6.726

酒样品192021222324252627

第一组 6.53 3.73610.222 6.75 5.9198.217.416 5.307 6.693

第二组7.046 5.93 5.653 4.673 4.721 3.106 6.273 6.116 4.295由于表1有27个酒样品中就有20个酒样品的标准差是第二组小于第一组，所以通过两组标准差的比较从总体上可以说第二组的评分稳定性要比第一组好很多，即第二组的评价结果更可信.

用同样的方法对白葡萄酒品尝评分标准差进行比较，同样可以得出第二组对白葡萄酒的评分比第一组的更可信.综上两种葡萄酒品酒员评分的结果表明第二组的结果更可信.

第1期马烁：葡萄酒评价的数学模型17

3.2问题二模型的建立与求解

3.2.1利用主成分分析⑵减少酿酒葡萄的理化指标

3. 2. 1.1对原始数据进行处理

假设进行主成分分析的指标变量有祝个：Q ，…，工”，共有n 个评价对象，第i 个评价对象的第j 个

指标的取值为将列标准化心=刊—巧，0=1,2,.= 1,2，…，观）

S J

其中刃=+ £% ,Sj

=」

］ £ （叼一刃）2 , （j = 1,2,--- ,/n ）,即刃，巧为第丿个指标的样本均值和

样本标准差•对应地，称Q =玉二旦，& = 1,2,・・・，加）为标准化指标变量.

Si

3. 2. 1.2计算相关系数矩阵尺

n

〉:5 * C kj

相关系数矩阵R =（G ）祝畑，其中= ---；—,

= 1,2,・・・，加）

n — 1式中r v =l,r y =r,,r y 是第2•个评价与第丿个指标的相关系数.

3. 2. 1.3计算特征值和特征向量⑶

计算相关系数矩阵R 的特征值右鼻入2 $…$爲孑0,由特征向量组成m 个新的指标变量.

bl = Mil Cl + U 21C 2 H ------F u nl c n

>2 = "12 6 + U 22 C 2 ~\\------F U n2 C n <

・・・ ・・・ •・・ ・・・ ・••

,ym 1 + %2加°2 I * * * +

n

式中力是第1主成分，夕2是第2主成分，••・，％是第加主成分.

3. 2. 1.4选择p*m ）个主成分,计算综合评价

1）计算特征值人0 = 1,2,-,/n ）的信息贡献率和累积贡献率.

称仿=m 7 （j = 1,2,--- ,zn ）为主成分卩的信息贡献率；a p =弓一为主成分力，夕2，…，％的累积贡

S a ,

k=l k=l

献率，当a P 接近于1 （“ = 0. 85,0. 90,0.95）时，则选择前p 个指标变量力，刃，…，％作为P 个主成分，代

替原来m 个指标变量，从而可对p 个主成分进行综合评价.

表2主成分的贡献率表

由表2可看出主成分的贡献率是逐渐减小的，累积贡献率的增长幅度也是逐渐减小的.根据前8个主成特征值贡献率/%累积贡献率/%

第一主成分 6. 96623.22123.221第二主成分 4. 94116. 46939. 690第三主成分 3.73612.45352. 143第四主成分 2. 8409.46761. 610第五主成分 2.000 6. 6656& 275第六主成分 1.742 5.80774.081第七主成分 1.418 4. 7277& 809第八主成分 1.270 4. 23383.042第九主成分

0. 961 3.20486. 246

分的特征值大于1,我们取前8个主成分作为综合理化指标来评价酿酒葡萄的好坏.

2）计算综合得分

p

z = £ b >y,

J = 1

其中b.为第j个主成分的信息贡献率，根据综合得分值就可进行评价.

上面的过程用MATLAB计算得到的结果共有27个样品，这里只给出3个样品，见表3.

表3综合评价表

红葡萄第一第二第三第四第五第六第七第八综合样品主成分主成分主成分主成分主成分主成分主成分主成分得分

1 4.7334010.8672910.0525083-3.2045340.4505097 2.4650762-2.151410.6110821 1.0425

2 4.441768-0.9406180.258749 1.068660.87088830.0110511-1.9073950.42685110.9965

3 4.382839 3.1957502—0.468665 3.0343127-1.3436-2.5144440.96133 1.375599 1.11

表3给出了3个酿酒葡萄样品质量的综合评价，也可看出主成分分析法将酿酒葡萄的理化指标综合成8个评价指标，且给出了这8个指标对葡萄的好坏的评价的一个综合得分，综合得分越高说明葡萄的质量越好.

3.2.2酿酒葡萄的分级

用主成分分析法求得的葡萄样品综合得分的数据进行标准化处理：

其中是综合评分中的最大值,2品是综合评分中的最小值.

接着我们对27种酒样品的总评分均值也，观，…，巧同样进行数据的归一化处理得到

c/=(j=1,2,)

Hmax Hmin

由于酿酒葡萄的理化指标与葡萄酒的质量对酿酒葡萄的好坏评价的重要性并不确定，所以我们假设两者对评定酿酒葡萄等级的作用相等，即可以用两者的和作为评价葡萄好坏的总评价得分：h=Cj+c/,其中勺'表示葡萄综合得分的处理后的值,c,表示评价葡萄酒质量的总分经标准化处理的值.由c/e c,e [0,1],得到h e Eo,2].于是酿酒葡萄的好坏可划分为4个等级，即4个评分范围：四级[0,0.5),三级[0.5, ,二级口，1.5),—级[1.5,2].分级的结果如表4.

1)

表4葡萄样品等级归类

红葡萄样品白葡萄样品第一级3,9,23第一级5,27

第二级1,2,14,17,20,21,22第二级3,9,10,15,18,20,22,23,24,25,28第三级4,5,6,8,11,12,13,16,19,24,26,27第三级1,2,4,6,7,12,13,14,17,19,21,26第四级7,10,15,18,25第四级8,11,16

3.3问题三的模型建立与求解

3.3.1选取酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标

首先在葡萄酒的理化指标中选取9个一级指标，再在酿酒葡萄的理化指标中找出相应的9个指标.与问题2类似用主成分分析法减少理化指标，得到葡萄酒的m个主要成分作为综合指标记为s,如，…，a”；得到酿酒葡萄的3个综合指标记为仞，仇，…，切.附件有27个样品，下面给出前3个样品对应的红葡萄酒的3个综合指标和酿酒葡萄的3个指标的数据，如表5.

表5葡萄酒和酿酒葡萄的主成分

葡萄酒的综合理化指标酿酒葡萄的综合理化指标码仟口口

ai a2a3bi b2b3

1 4.033688-3.61859-0.83724 3.30350.796115-2.08713

2 3.886979-0.057440.444885 3.1259340.2767490.650456

3 2.8858880.6358510.527865 1.8359240.21544-0.16099

白葡萄的综合理化指标和葡萄酒的综合理化指标的数据见表6.

第1期马烁：葡萄酒评价的数学模型19

3.3.2酿酒葡萄与葡萄酒之间的联系

表6白葡萄酒和酿酒葡萄的主成分

酒样品

白葡萄酒的综合理化指标白葡萄的综合理化指标

a 】a 2a 3

a 4bi

b 2b 3b 41-1.007 76 1. 523 949—0.305 84-0. 574 77-0.801 73-0. 538 32-1. 255 720. 127 0662-1. 316 930.408 561-0. 783 06—0. 059 35-1.487 59-0. 83592 1.920 0740. 653 8853

0.978 8370. 746 943-0.071 96 1. 136 113-0.510 42—0.069 140. 203 372

—0.272 09

我们假设葡萄酒的3个综合理化指标作为参考数列(亦称为母因素)，酿酒葡萄的3个综合理化

指标为比较数列(亦称为子因素)，每一个参考数列对/个比较数列有/个关联度.设厲表示比较数 列b,(j = 1,2,-,/)对参考数列=

的关联度，关联系数的计算方法为：爲心)=

min min | a ： (¢) — a s (i) | + p max max | a ： (t) — a s (<) |'|a ：Q) —乞仏)l + pmaxmaxls") [ G =】'？，…沏)j = 1-2,-,/)

s t

其中p€ [0,1]为分辨系数，由于上式的关联系数是描述比较数列与参考数列在某时刻的一种指标，各

个时刻的关联数显得过于分散，不便于比较，因此给出=+立爲(厂为数列乞对参考数列a,的关联 度⑷.可构造关联(度)矩阵R =(口)”x<,用MATLAB 计算得到关联矩阵为：

'0. 953 1 0. 863 6

R = 0. 879 8 0. 811 2

.0, 858 9 0. 814 6

0. 888 6'0. 886 70.847 &

从关联矩阵R 可以看出：

1) = 0.953 1最大，表明酿酒葡萄3个综合理化指标中的第一主成分仞与葡萄酒3个综合理化指标

中的第一主成分©的联系最大.

2) 第2行中r 23 = 0. 886 7最大，表明酿酒葡萄综合理化指标中的第三主成分b 3与葡萄酒综合理化指标

中第二主成分的联系最大.

3.3.3白葡萄与白葡萄酒之间的联系

计算白酿酒葡萄综合指标对葡萄酒综合指标的关联度(p = 0. 5)从而得到关联矩阵为

-0. 847 1 0. 826 5 0. 885 6 0. 665 6一0.856 7 0. 796 5 0. 926 5 0. 674 6

■R =

0. 843

0. 827 5

0. 846 8 0. 749 5.0. 836 8

0. 804 2

0. 882 2 0. 700 7_

从关联矩阵R 可以看出：

1) 烁= 0.926 5最大，表明酿酒葡萄综合理化指标的第三主成分仇对葡萄酒的综合理化指标的第二主

成分的影响最大，及联系最密切.

2) 第4行的元素几乎最小，表明酿酒葡萄综合理化指标与葡萄酒的综合理化指标的第四主成分的关系 最小，即联系相对较小.

3.4问题四的模型建立与求解

3.4.1分析酿酒葡萄和葡萄的理化指标对葡萄酒质量的影响

酿酒葡萄的理化指标对葡萄酒质量的影响可以用问题2中求出的9个酿酒葡萄的综合理化指标与葡萄

酒质量进行相关性分析，酿酒葡萄的综合理化指标中与葡萄酒质量相关性显著的越多就说明酿酒葡萄的理 化指标对葡萄酒质量的影响越大.

根据问题1可知将所有评酒员对某样品的总评分平均后的最后得分就能确定葡萄酒的质量.由于酿酒 葡萄的理化指标太多且每一项指标的影响程度不同，应该把一些相关性较大的指标用主成分分析法归为一

类，这样就减少了酿酒葡萄的理化指标，简化酿酒葡萄理化指标对葡萄酒质量影响的过程，故分析酿酒葡萄 对葡萄酒质量的影响的理化指标应该是一些综合的理化指标.

我们设葡萄酒质量是一个变量），酿酒葡萄的综合理化指标为多个变量Q，乜，…，8,用相关性分析得出的相关系数确定变量斗（：=1,2,…，”）与变量y之间的关系密切程度.下面是用SPSS软件⑷计算出的相关系数见表7.

表7红葡萄酒的理化指标与葡萄酒质畳的相关系数

理化指标相关系数显著程度

花色昔0.153

单宁0.486(*)

总酚0.493(**)

酒总黄酮0.518(**)

白藜芦醇0.511(**) DPPH半抑制体积(IV50)1/IV500.548(**)

L*(D65)-0.454(*)

a*(D65)0.186

b*(D65)0.245

表7说明红葡萄酒的理化指标与葡萄酒质量都是相关的，且相关系数大于或接近0.5的值较多，且相关的显著程度也较高，这说明红葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的影响很大.表中只有L*（D65）这一个理化指标与葡萄酒的质量呈负相关.同理可得出白葡萄和白葡萄酒的理化指标与葡萄酒质量的相关系数，这里不再列出.

3.4.2论证能否用葡萄和葡萄酒的理论指标评价葡萄酒的质量

首先对附件3（具体参见2012全国大学生数学建模竞赛A题）中的葡萄酒的各种成分进行主成分分析得到一些综合成分,然后选取附件1中第二组品酒评分，在三个判别葡萄酒质量的指标中选取香味分析，对这个指标中的单个因素求和得到这个指标的总分，即求一个样品中某个评酒员评酒的一个指标的总分.再求出10个评酒员对这个指标的评分的平均值.我们选取这个指标作为葡萄酒的质量与葡萄酒的各个主成分进行相关性分析，得到的相关系数就是气味分析对葡萄酒质量的影响程度的一个度量.下面是通过SPSS软件⑷求得的气味分析指标与红葡萄和红葡萄酒之间的相关系数见表&

表8气味指标与红葡萄酒中综合成分的相关系数

综合成分相关系数显著程度

第一主成分-0.419(*)

第二主成分0.162

第三主成分0.044

第四主成分0.042

第五主成分0.384(*)

第六主成分0.484(*)

第七主成分-0.173

第八主成分0.001

第九主成分0.23

第十主成分0.009

表8中的相关系数都是不等于0的，且有三个主成分与气味指标是有显著性关系的.这说明气味指标对葡萄酒的质量也是有一定影响的.有上面的表格中气味指标与葡萄酒综合成分的相关系数说明气味分析对葡萄酒质量也是有影响的，从而从反面论证了附件2（具体参见2012全国大学生数学建模竞赛A题）中所给葡萄和葡萄酒的理论指标不能评价葡萄酒的质量，它只能在一定程度上影响葡萄酒的质量.

参考文献：

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（下转第52页）

52太原师范学院学报（自然科学版）第18卷小程序将家中进水的阀门关闭，从而减少不必要的损失.

5结语

家用水流量监控在以前很少有人提这个概念，但我们国家的水资源的日益紧缺，人们环保意识不断增强，这个方面的应用会越来越多.本系统只是初步解决了这个问题，下一步可以考虑和小区的智能抄表系统进行对接,这样就会给人们提供一种更加便利的生活方式.

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The Design of the Household Water Flow Monitoring System Based on LoRa

WU Jie,ZHANG Zhaoxia,LIANG Bo

(Department of Computer Science and Technology,Taiyuan Normal University,Jinzhong030619,China)

〔Abstract〕The concept of IOT has been put forward for10years.With the update of com­puter and communication technology, the Internet of Things has entered the era of LPWAN・LoRa is an important network technology in LPWAN communication technology・Intelligent meter reading system based on LoRa has been put into commercial use,but it seldom has domestic appli­cations・Based on the analysis o£several intelligent meter reading systems,a water flow monito­ring system suitable for household use is proposed in this paper.The system can realize the analy­sis of household water consumption and alarm of household water leakage and the operation of re­mote switching water valves・

〔Key words〕LoRa；intelligent terminal；data acquisition；water flow monitoring；STM32

(上接第20页)

The Evaluation of Wine

MA Shuo

(Department of Basic Course,Jingzhou Vocational College of Technology,Jingzhou434000,China)

CAbstract^With the continuous improvement of living standards,health drinking has be­come a fashion・This paper mainly studies the problem o£Wine evaluation・The t test and the prin­cipal component analysis method are used with MATLAB,SPSS and other software to effectively solve the classification of wine grape,analysis between physicochemical indexes o£wine grape and Wine link・This paper has a certain guiding significance Wine evaluation.

〔Key words〕t test；principal component analysis method；MATLAB；SPSS