2017-2018学年山东省青岛市市北区七年级(下)期中数学试卷(解析版)

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）

1.下列计算正确的是（　　）

A.  B.  C.  D. 

2.在用电水壶加热水的过程中，电水壶里的水温随通电时间的长短而变化，这个问题中的自变量是（　　）

A. 通电的强弱 B. 通电的时间 C. 水的温度 D. 电水壶

3.如图，利用直尺和三角尺过直线外一点画已知直线的平行线，这种画法依据的是（　　）

A. 两直线平行，同位角相等

B. 两直线平行，内错角相等

C. 同位角相等，两直线平行

D. 内错角相等，两直线平行

A.  B. 

C.  D. 

5.如图，点E在CD延长线上，下列条件中不能判定AB∥CD的是（　　）

A.  B. 

C.  D. 

6.B题：图①～④分别表示甲、乙两辆汽车在同一条路上匀速行驶中速度与时间的关系，小明对4个图中汽车运动的情况进行了描述，其中正确的是（　　）

A. 图：乙的速度是甲的2倍，甲乙的路程相等

B. 图：乙的速度是甲的2倍，甲的路程是乙的一半

C. 图：乙的速度是甲的2倍，乙的路程是甲的一半

D. 图：甲的速度是乙的2倍，甲乙的路程相等

7.下列说法中正确的有（　　）

（1）两条直线被第三条直线所截，同位角相等；

（2）若∠1+∠2+∠3=90°，则∠1，∠2，∠3互余；

（3）相等的两个角是对顶角；

（4）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离．

A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个

8.如图，已知AB∥CD，则∠A、∠E、∠D之间的数量关系为（　　）

A. 

B. 

C. 

D. 

9.最薄的金箔的厚度为0.000 000091米，将0.000 000091用科学记数法表示为______．

10.如果一个角的补角是150°，那么这个角的余角的度数是______度．

11.若5x+1=3，则5x=______．

12.利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2．你根据图乙能得到的数学公式是______．

13.如图，折叠一张长方形纸片，已知∠1=66°，则∠2的度数是______．

14.当x2+2（k-3）x+25是一个完全平方式，则k的值是______．

15.若a=255，b=344，c=522，则a，b，c的大小顺序为______．

16.下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有4个小圆圈，第②个图形中一共有10个小圆圈，第③个图形中一共有19个小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为______，第n个图形中小圆圈的个数为______．

三、计算题（本大题共3小题，共32.0分）

17.（1）（-2a2b2）•3ab3+（-6a3b）；

（2）利用乘法公式计算：103×97；

（3）（x+2）2-（x+1）（x-1）；

（4）（a-2b+c）（a+2b-c）．．

18.先化简，再求值：[（3a-b）（a-2b）-b（a+2b）-a]÷2a，其中a=，b=-1．

19.如图为一位旅行者在早晨8时从城市出发到郊外所走的路程与时间的变化图．根据图回答问题：

（1）9时，10时30分，12时所走的路程分别是多少？

（2）他休息了多长时间？

（3）他从休息后直至到达目的地这段时间的平均速度是多少？

四、解答题（本大题共6小题，共40.0分）

20.在如图网格中，A、B、M为格点，画线段MP⊥线段AB．

21.用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．

已知：如图，D是△ABC的边AB上一点．

求作：射线DE，使DE∥BC，交AC于点E．

22.完成推理填空

如图，在折线ABCDEFG中，已知∠1=∠2=∠3=∠4=∠5，延长AB、GF交于点M，那么∠AMG=∠3吗？说明你的理由．

解：

延长CD，与MG相交于点N．

∵∠1=∠2（已知）

∴______∥______（______）

∴∠AMG=______．（______）

∵∠4=∠5（已知）

∴______∥______．

∴∠______=∠3．

∴∠AMG=∠3．

23.如图，EF∥AB，∠DCB=80°，∠CBF=20°，∠EFB=120°，判断直线CD与AB有怎样的位置关系，并说明理由．

24.如图，自行车每节链条的长度为2.5cm，交叉重叠部分的圆的直径为0.8cm．

（1）观察图形填写下表：

（3）如果一辆某种型号自行车的链条（安装前）由80节这样的链条组成，那么这根链条完成链接（安装到自行车上）后，总长度是多少cm？

25.已知直角边长分别为a和b的两对等腰直角三角形（a＞b），现用它们围成了一个如图（1）所示的边长为a+b正方形．

（1）请用含a、b的代数式，列式计算图1中阴影部分的面积S1；

（2）如图2，在图1边长为a+b的正方形中，取各边中点，然后顺次连接各边中点，请用含a、b的代数式，列式计算图2中阴影部分的面积S2；

（3）比较图1和图2中阴影部分的面积S1和S2的大小，并说明理由．

答案和解析

1.【答案】D

【解析】

解：A、a3•a2=a5，本选项错误； 

B、a5+a5=2a5，本选项错误； 

C、（-3a3）2=9a2，本选项错误； 

D、（a3）2•a=a6•a=a7，本选项正确． 

故选：D．

A、利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可作出判断； 

B、合并同类项得到结果，即可作出判断； 

C、利用积的乘方与幂的乘方运算法则计算得到结果，即可作出判断； 

D、利用幂的乘方及同底数幂的乘法运算得到结果，即可作出判断．

此题考查了幂的乘方与积的乘方，合并同类项，去括号与添括号，以及同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

2.【答案】B

【解析】

解：∵电水壶里的水温随通电时间的长短而变化， 

∴这个问题中的自变量是通电时间， 

故选：B．

根据函数的意义可知：变量是改变的量，常量是不变的量，据此即可确定变量与常量．

主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．

3.【答案】C

【解析】

解：∵∠BAC=∠EDC，

∴AB∥DE．

故选：C．

根据∠BAC=∠EDC，由同位角相等，两直线平行，即可判定AB∥DE．

本题考查的是平行线的判定定理，即同位角相等，两直线平行．

4.【答案】C

【解析】

解：（A）原式=-（x-y）2=-（x2-2xy+y2），故A不能用平方差公式 

（B）原式=x2-+2xy+y2，故B不能用平方差公式； 

（C）原式=（-x）2-y2=x2-y2，故C能用平方差公式； 

（D）原式=x2+2xy+y2，故D能用平方差公式； 

故选：C．

根据平方差公式的结构即可求出答案．

本题考查平方差公式，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．

5.【答案】A

【解析】

解：选项B中，∵∠3=∠4，∴AB∥CD （内错角相等，两直线平行），所以正确； 

选项C中，∵∠5=∠B，∴AB∥CD （内错角相等，两直线平行），所以正确； 

选项D中，∵∠B+∠BDC=180°，∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），所以正确； 

而选项A中，∠1与∠2是直线AC、BD被AD所截形成的内错角，因为∠1=∠2，所以应是AC∥BD，故A错误． 

故选：A．

根据平行线的判定方法直接判定．

正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．

6.【答案】D

【解析】

解：A、图①：乙的速度是甲的2倍，甲乙的路程不相等，错误；

B、图②：乙的速度是甲的2倍，甲的路程是乙的，错误；

C、图③：乙的速度是甲的2倍，乙的路程和甲的相等，错误；

D、图④：甲的速度是乙的2倍，甲乙的路程相等，正确；

故选：D．

根据图象的信息进行判断即可．

此题考查图象问题，关键是根据图象的信息进行判断．

7.【答案】A

【解析】

解：（1）两条直线被第三条直线所截，同位角不一定相等，故错误； 

（2）两个角的和为90°，这两个角互为余角，故错误； 

（3）相等的两个角不一定是对顶角，对顶角一定相等，故错误； 

（4）从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离，故错误； 

故选：A．

（1）当两条互相平行的直线被第三条直线所截，截得的同位角相等； 

（2）根据余角的定义作出判断； 

（3）根据对顶角的定义作出判断； 

（4）根据点到直线的距离的定义作出判断．

本题考查了对顶角、余角的定义点到直线的距离，注意点到直线的距离是直线外的点到直线的垂线段的长度，两个角的和为90°，这两个角互为余角．

8.【答案】C

【解析】

解：如右图所示，作EF∥AB，

∵AB∥EF，

∴∠A+∠AEF=180°，

又∵AB∥CD，

∴EF∥CD，

∴∠D=∠FED，

∴∠A+∠AEF+∠FED-∠D=180°，

即∠A+∠E-∠D=180°．

故选：C．

先作EF∥AB，根据两直线平行同旁内角互补可知∠A+∠AEF=180°，而AB∥CD，利用平行于同一直线的两条直线平行可得EF∥CD，再根据两直线平行内错角相等可知∠D=∠FED，于是有∠A+∠AEF+∠FED-∠D=180°，即可求∠A+∠E-∠D=180°．

本题考查了平行线的判定和性质．平行于同一直线的两条直线平行．

9.【答案】9.1×10-8

【解析】

解：0.000 000091用科学记数法表示为：9.1×10-8． 

故答案是：9.1×10-8．

绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

10.【答案】60

【解析】

解：180°-150°=30°，90°-30°=60°． 

故答案为：60°．

首先求得这个角的度数，然后再求这个角的余角．

本题主要考查的是补角和余角的定义，掌握补角和余角的定义是解题的关键．

11.【答案】

【解析】

解：5x+1=5x•5=3，

解得5x=，

故答案为：．

根据同底数幂的乘法，可得答案．

本题考查了同底数幂的乘法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．

12.【答案】（a-b）2=a2-2ab+b2

【解析】

解：用两种方法表示出边长为（a-b）的正方形的面积为：（a-b）2=a2-2ab+b2．

观察图形可得从整体来看（a-b）2等于大正方形（边长为a）的面积减两个边长分别为a和b的图形面积，其中最小部分被减了两次，因此应重新加上一次，即：（a-b）2=a2-2ab+b2．

本题考查对完全平方公式几何意义的理解，应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析．

13.【答案】57°

【解析】

解：∵纸片的两边互相平行，

∴∠3=∠1=66°，

∴∠2==57°．

故答案为：57°．

先根据题意得出∠1=∠3，再由图形翻折变换的性质即可得出结论．

本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．

14.【答案】-2或8

【解析】

解：由于（x±5）2=x2±10x+25=x2±2（k-3）x+25， 

∴2（k-3）=±2×5=±10， 

k=-2或k=8． 

故答案为：-2或8．

这里首末两项是x和5这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和5的积的2倍，故2（k-3）=±2×5=±10．

此题考查的是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．

15.【答案】b＞a＞c

【解析】

解：a=255=（25）11=3211； 

b=344=（34）11=8111； 

c=522（52）11=2511； 

∵81＞32＞25； 

∴b＞a＞c； 

故答案为：b＞a＞c．

将各式化为指数相同，底数不同的值即可解答．

本题考查了幂的乘方与积的乘方，逆用积的乘方是解题的关键．

16.【答案】85； +n2

【解析】

解：通过观察，得到小圆圈的个数分别是：

第一个图形为：+12=4，

第二个图形为+22=10，

第三个图形为：+32=19，

第四个图形为：+42=31，

…，

所以第n个图形为：+n2，

当n=7时，+72=85，

故答案为：85，+n2．

观察图形特点，从中找出规律，小圆圈的个数分别是3+12，6+22，10+32，15+42，…，总结出其规律为+n2，根据规律求解．

此题主要考查了学生分析问题、观察总结规律的能力．关键是通过观察分析得出规律．

17.【答案】解：（1）原式=-6a3b5-6a3b；

（2）原式=（100+3）×（100-3）=10000-9=9991；

（3）原式=x2+4x+4-x2+1=4x+5；

（4）原式=a2-（2b-c）2=a2-4b2+4bc-c2．

【解析】

（1）原式利用单项式乘以单项式法则计算，即可得到结果； 

（2）原式变形后，利用平方差公式计算即可得到结果； 

（3）原式利用为完全平方公式，以及平方差公式计算即可得到结果； 

（4）原式利用平方差公式及完全平方公式计算即可得到结果．

此题考查了整式的混合运算，平方差公式，以及完全平方公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．

18.【答案】解：原式=（3a2-7ab+2b2-ab-2b2-a）÷2a

=（3a2-8ab-a）÷2a

=a-4b-，

当a=，b=-1时，原式=×+4-=．

【解析】

原式中括号中利用多项式乘以多项式，单项式乘以多项式法则计算，去括号合并后利用多项式乘以单项式法则计算得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．

此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

19.【答案】解：（1）看图可知y值：4km，9km，15km；

（2）根据图象可得，路程没有变化，但时间在增长，故表示该旅行者在休息：10.5-10=0.5小时=30分钟；

（3）根据求平均速度的公式可求得（ 15-9）÷（12-10.5）=4km/时．

【解析】

（1）看相对应的y的值即可． 

（2）休息时，时间在增多，路程没有变化，表现在函数图象上是与x轴平行． 

（3）这段时间的平均速度=这段时间的总路程÷这段时间．

本题考查了实际问题的函数图象，本题需注意休息时表现在函数图象上是与x轴平行．求平均速度应找到相应的时间和路程．

20.【答案】解：如图，连接MN与AB的解得为P，点P即为所求．

理由：易证△EMN≌△FAB，

∴∠AMN=∠BAF，

∵∠EMN+∠ENM=90°，

∴∠BAF+∠ANM=90°，

∴∠APN=90°，即MP⊥AB．

【解析】

如图，连接MN与AB的解得为P，点P即为所求．

本题考查作图-应用与设计、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

21.【答案】解：如图，DE即为所求．

【解析】

根据DE∥BC可作∠ADE=∠B即可．

本题考查的是作图-复杂作图，熟知作一个角等于已知角的作法是解答此题的关键．

22.【答案】AM；CN；内错角相等，两直线平行；∠CNG；两直线平行，同位角相等；MG；DE；CNG

【解析】

解：∠AMG=∠3．

理由：延长CD，与MG相交于点N．

∵∠1=∠2（已知），

∴AM∥CN（内错角相等，两直线平行），

∴∠AMG=∠CNG，（两直线平行，同位角相等）．

∵∠4=∠5（已知）

∴MG∥DE．，

∴∠CNG=∠3，

∴∠AMG=∠3．

故答案为：AM，CN，内错角相等，两直线平行∠CNG，两直线平行，同位角相等；MG，DE；CNG．

延长CD，与MG相交于点N，由∠1=∠2可得出AM∥CN，故可得出∠AMG=∠CNG，再由∠4=∠5得出MG∥DE，据此得出∠CNG=∠3，进而可得出结论．

本题考查的是平行线的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键．

23.【答案】解：∵EF∥AB，∠EFB=120°，

∴∠ABF=180°-120°=60°．

∵∠CBF=20°，

∴∠ABC=60°+20°=80°．

∵∠DCB=80°，

∴∠DCB=∠ABC，

∴CD∥AB．

【解析】

先根据EF∥AB求出∠ABF的度数，故可得出∠ABC的度数，由平行线的判定定理即可得出结论．

本题考查的是平行线的判定与性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补．

24.【答案】4.2；5.9；7.6

【解析】

解：（1）根据图形可得出： 

2节链条的长度为：2.5×2-0.8=4.2， 

3节链条的长度为：2.5×3-0.8×2=5.9， 

4节链条的长度为：2.5×4-0.8×3=7.6． 

故答案为：4.2，5.9，7.6； 

（2）由（1）可得x节链条长为：y=2.5x-0.8（x-1）=1.7x+0.8； 

∴y与x之间的关系式为：y=1.7x+0.8； 

（3）因为自行车上的链条为环形，在展直的基础上还要缩短0.8，故这辆自行车链条的总长为1.7×80=136厘米， 

所以50节这样的链条总长度是136厘米．

（1）根据图形找出规律计算4节链条的长度即可； 

（2）由（1）写出表示链条节数的一般式； 

（3）根据（2）计算时，特别注意自行车上的链条为环形，在展直的基础上还要缩短0.8．

此题主要考查了函数关系式，根据题意得出n节链条的长度与每节长度之间的关系是解决问题的关键．

25.【答案】解：（1）S1=（a+b）2-a2-b2=2ab．

（2）S2=（a+b）2，

（3）S2-S1=（a+b）2-2ab=（a-b）2，

∵a＞b，

∴S2-S1＞0，

∴S2＞S1．

【解析】

（1）利用分割法求面积即可； 

（2）根据正方形的性质即可解决问题； 

（3）利用求差法即可解决问题；

本题考查完全平方公式的几何背景，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．