极坐标与参数方程(总结)

一、平面直角坐标系

刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系

1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定

2、平面直角坐标系

在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y）确定

3、空间直角坐标系

在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y,z）确定

例题

例1 选择适当的平面直角坐标系，表示边长为1的正六边形的顶点。

*变式训练

如何通过它们到点O的距离以及它们相对于点O的方位来刻画,即用”距离和方向”确定点的位置？

例2 已知B村位于A村的正西方1公里处,原计划经过B村沿着北偏东60的方向设一条地下管线m.但在A村的西北方向400米出,发现一古代文物遗址W.根据初步勘探的结果,文物管理部门将遗址W周围100米范围划为禁区.试问:埋设地下管线m的计划需要修改吗?0

*变式训练

1．一炮弹在某处爆炸,在A处听到爆炸的时间比在B处晚2s,已知A、B两地相距800米，并且此时的声速为340m/s,求曲线的方程一、平面直角坐标系中的伸缩

练习、

知识归纳：设点P（x,y）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换

课后练习

二、极坐标系

例题

三、极坐标与直角坐标的互化

例题

例2.若以极点为原点,极轴为x轴正半轴,建立直角坐标系.

四、简单曲线的极坐标方程

课堂练习：

五、直线的极坐标方程

例题

课后练习

六、参数方程的概念

例题

课后练习：

七、圆的参数方程及应用

例题、

课后练习、

八、圆锥曲线的参数方程

练习、

九、圆锥曲线参数方程的应用例题、

课后练习、

十、直线的参数方程

练习、

十一、参数方程与普通方程互化

例题、

课后作业、

十三、圆的渐开线与摆线

例题、

坐标系与参数方程

[基础训练A 组]

一、选择题

1．若直线的参数方程为12()23x t t y t =+⎧⎨=-⎩

为参数，则直线的斜率为（ ） A ．

23 B ．23

- C ．32 D ．32- 2．下列在曲线sin 2()cos sin x y θθθθ=⎧⎨=+⎩

为参数上的点是（ ） A ．1

(,2)2- B ．31(,)42

- C ．(2,3) D ．(1,3) 3．将参数方程222sin ()sin x y θθθ

⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数化为普通方程为（ ） A ．2y x =- B ．2y x =+ C ．2(23)y x x =-≤≤ D ．2(01)y x y =+≤≤

4．化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为（ ）

A ．201y y +==2x 或

B ．1x =

C ．201y +==2x 或x

D ．1y =

5．点M 的直角坐标是(1,3)-，则点M 的极坐标为（ ）

A ．(2,)3π

B ．(2,)3π-

C ．2(2,)3π

D ．(2,2),()3

k k Z ππ+∈ 6．极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为（ ）

A ．一条射线和一个圆

B ．两条直线

C ．一条直线和一个圆

D ．一个圆

二、填空题

1．直线34()45x t t y t =+⎧⎨=-⎩

为参数的斜率为______________________。 2．参数方程()2()

t t t t x e e t y e e --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩为参数的普通方程为__________________。

3．已知直线113:()24x t l t y t

=+⎧⎨=-⎩为参数与直线2:245l x y -=相交于点B ，又点(1,2)A ， 则AB =_______________。

4．直线122()112

x t t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数被圆224x y +=截得的弦长为______________。 5．直线cos sin 0x y αα+=的极坐标方程为____________________。

三、解答题

1．已知点(,)P x y 是圆222x y y +=上的动点，

（1）求2x y +的取值范围；

（2）若0x y a ++≥恒成立，求实数a 的取值范围。

2．求直线11:()53x t l t y t

=+⎧⎪⎨=-+⎪⎩为参数和直线2:230l x y --=的交点P 的坐标，及点P 与(1,5)Q -的距离。

3．在椭圆22

11612

x y +=上找一点，使这一点到直线2120x y --=的距离的最小值。

[综合训练B 组]

一、选择题

1．直线l 的参数方程为()x a t t y b t =+⎧⎨

=+⎩为参数，l 上的点1P 对应的参数是1t ，则点1P 与(,)P a b 之间的距离是（ ）

A ．1t

B ．12t

C ．12t

D ．122

t 2．参数方程为1()2

x t t t y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩为参数表示的曲线是（ ）

A ．一条直线

B ．两条直线

C ．一条射线

D ．两条射线

3．直线112()3332

x t t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数和圆2216x y +=交于,A B 两点，

则AB 的中点坐标为（ ）

A ．(3,3)-

B ．(3,3)-

C ．(3,3)-

D ．(3,3)-

4．圆5cos 53sin ρθθ=-的圆心坐标是（ ）

A ．4(5,)3π--

B ．(5,)3π-

C ．(5,)3π

D ．5(5,)3

π- 5．与参数方程为()21x t

t y t ⎧=⎪⎨=-⎪⎩为参数等价的普通方程为（ ）

A ．214y +=2

x B ．2

1(01)4y x +=≤≤2x C ．21(02)4y y +=≤≤2

x D ．2

1(01,02)4y x y +=≤≤≤≤2x 6．直线2()1x t t y t

=-+⎧⎨=-⎩为参数被圆22(3)(1)25x y -++=所截得的弦长为（ ）

B ．140

4

C ．82

D ．9343+

二、填空题 1．曲线的参数方程是211()1x t t y t ⎧=-⎪≠⎨⎪=-⎩

为参数,t 0，

则它的普通方程为__________________。 2．直线3()14x at t y t

=+⎧⎨=-+⎩为参数过定点_____________。

3．点P(x,y)是椭圆222312x y +=上的一个动点，则2x y +的最大值为___________。

4．曲线的极坐标方程为1tan cos ρθθ

=⋅，则曲线的直角坐标方程为________________。 5．设()y tx t =为参数则圆2240x y y +-=的参数方程为__________________________。

三、解答题

1．参数方程cos (sin cos )()sin (sin cos )

x y θθθθθθθ=+⎧⎨

=+⎩为参数表示什么曲线？

2．点P 在椭圆22

1169

x y +=上，求点P 到直线3424x y -=的最大距离和最小距离。

3．已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6πα=

，

（1）写出直线l 的参数方程。

（2）设l 与圆422=+y x 相交与两点,A B ，求点P 到,A B 两点的距离之积。

[提高训练C 组]

一、选择题

1．把方程1xy =化为以t 参数的参数方程是（ ）

A ．1212x t y t -⎧=⎪⎨⎪=⎩

B ．sin 1sin x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩

C ．cos 1cos x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩

D ．tan 1tan x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩ 2．曲线25()12x t t y t

=-+⎧⎨=-⎩为参数与坐标轴的交点是（ ）

A ．2

1(0,)(,0)52、 B ．11(0,)(,0)52

、 C ．(0,4)(8,0)-、 D ．5(0,)(8,0)9

、 3．直线12()2x t t y t =+⎧⎨

=+⎩为参数被圆229x y +=截得的弦长为（ ） A ．125 B ．1255

C ．955

D ．9105

4．若点(3,)P m 在以点F 为焦点的抛物线2

4()4x t t y t

⎧=⎨=⎩为参数上， 则PF 等于（ ）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

5．极坐标方程cos 20ρθ=表示的曲线为（ ）

A ．极点

B ．极轴

C ．一条直线

D ．两条相交直线

6．在极坐标系中与圆4sin ρθ=相切的一条直线的方程为（ ）

A ．cos 2ρθ=

B ．sin 2ρθ=

C ．4sin()3π

ρθ=+ D ．4sin()3

π

ρθ=-

二、填空题

1．已知曲线2

2()2x pt t p y pt ⎧=⎨=⎩为参数,为正常数上的两点,M N 对应的参数分别为12,t t 和，

120t t +=且，那么MN =_______________。

2．直线22()32x t

t y t

⎧=--⎪⎨

=+⎪⎩为参数上与点(2,3)A -的距离等于2的点的坐标是_______。 3．圆的参数方程为3sin 4cos ()4sin 3cos x y θθ

θθθ

=+⎧⎨

=-⎩为参数，则此圆的半径为_______________。

4．极坐标方程分别为cos ρθ=与sin ρθ=的两个圆的圆心距为_____________。

5．直线cos sin x t y t θθ=⎧⎨

=⎩与圆42cos 2sin x y α

α

=+⎧⎨=⎩相切，则θ=_______________。

三、解答题

1．分别在下列两种情况下，把参数方程1()cos 2

1()sin 2

t t t t x e e y e e θθ--⎧

=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩化为普通方程：

（1）θ为参数，t 为常数；（2）t 为参数，θ为常数；

2．过点10

(

,0)2

P 作倾斜角为α的直线与曲线22121x y +=交于点,M N ， 求PM PN ⋅的值及相应的α的值。

参

数学选修4-4 坐标系与参数方程 [基础训练A 组]

一、选择题 1．D 233

122

y t k x t --=

==-- 2．B 转化为普通方程：2

1y x =+，当34x =-

时，1

2

y = 3．C 转化为普通方程：2y x =-，但是[2,3],[0,1]x y ∈∈ 4． C

22(cos 1)0,0,cos 1x y x ρρθρρθ-==+===或

5．C 2(2,2),()3

k k Z π

π+∈都是极坐标 6．C

2cos 4sin cos ,cos 0,4sin ,4sin ρθθθθρθρρθ====或即

则,2

k π

θπ=+或224x y y +=

二、填空题 1．54-

455

344

y t k x t --=

==-- 2．221,(2)416x y x -=≥ 22

()()422222

t t t

t t

t

y x e x e e y y x x y y e e x e ---⎧⎧+==+⎪⎪⎪⇒⇒+-=⎨⎨=-⎪⎪-=⎩⎪⎩

3．

52 将1324x t y t

=+⎧⎨=-⎩代入245x y -=得12t =，则5(,0)2B ，而(1,2)A ，得5

2AB =

4．14 直线为10x y +-=，圆心到直线的距离12

22

d =

=，弦长的一半为22214

2(

)22

-=

，得弦长为14 5．2

π

θα=

+ c o s c o s s i n

s i n

0,c o s (ρθαρθαθα+=-=，取2

π

θα-=

三、解答题

1．解：（1）设圆的参数方程为cos 1sin x y θ

θ=⎧⎨=+⎩

，

22cos sin 15sin()1x y θθθϕ+=++=++ 51251x y ∴-+≤+≤+

（2）cos sin 10x y a a θθ++=+++≥

(c o s s i n )1

2s i n ()1

4

21

a a π

θθθ∴≥-+-=-+-

∴≥-- 2．解：将153x t

y t =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩

代入230x y --=得23t =，

得(123,1)P +，而(1,5)Q -，得2

2

(23)3PQ =+=

3．解：设椭圆的参数方程为4cos 23sin x y θ

θ

=⎧⎪⎨=⎪⎩，4cos 43sin 125d θθ--=

45

45

c o s 3s i n 3

2c o s (

)3

5

5

3

θ

θθθ=

--=+- 当c o s ()13

π

θ+

=时，m i n 45

5

d =

，此时所求点为(2,3)-。

新课程高中数学训练题组参

数学选修4-4 坐标系与参数方程 [综合训练B 组]

一、选择题

1．C 距离为22

1112t t t +=

2．D 2y =表示一条平行于x 轴的直线，而2,2x x ≥≤-或，所以表示两条射线

3．D 22

13(1)(33)1622

t t +

+-+=，得2880t t --=，12128,42t t t t ++==

中点为1143

2333342

x x y y ⎧

=+⨯⎪=⎧⎪⎪⇒⎨⎨

=-⎪

⎩⎪=-+⨯⎪⎩ 4．A 圆心为553

(,)22

-

5．D 222

22

,11,1,0,011,0244

y y x t t x x t t y ==-=-+=≥≤-≤≤≤而得 6．C 2

222212

122

x t x t y t y t ⎧=-+⨯

⎪=-+⎧⎪⇒⎨⎨

=-⎩⎪=-⨯⎪⎩，把直线21x t y t =-+⎧⎨=-⎩代入 22(3)(1)25x y -++=得222(5)(2)25,720t t t t -++-=-+=

2121212()441t t t t t t -=+-=，弦长为12282t t -=

二、填空题 1．2

(2)

(1)(1)

x x y x x -=

≠- 111,,1x t t x -==-而21y t =-， 即22

1(2)

1(

)(1)1(1)x x y x x x -=-=≠-- 2．(3,1)-

14

3y x a

+=-，(1)4120y a x -++-=对于任何a 都成立，则3,1x y ==-且 3．22 椭圆为22

1

x y +=，设(6c o s ,2s i n )P θθ， 26cos 4sin 22sin()22x y θθθϕ+=+=+≤

4．2

x y = 2

22

2

1s i n t a n ,c o s s i n ,

c o s s i n ,c o s c o s

θρθρθθρθρθθθ=⋅

===即2x y =

5．22

24141t x t t

y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩ 22

()40x tx tx +-=，当0x =时，0y =；当0x ≠时，241t x t =+； 而y t x =，即2241t y t =+，得2

2

24141t x t t y t ⎧

=⎪⎪+⎨⎪=

⎪+⎩

三、解答题

1．解：显然tan y x θ=，则22

222

2111,cos cos 1y y x x

θθ

+==+ 2

2

2

2

1

1

2t a n

c o s s i n c o s

s i n 2

c o s c o s

2

21t a n

x θθθ

θθθθθ=+=+=⨯

+

+ 即22222222

2

1

11,(1)12111y y

y y x x x x y y y x x x x x

+=⨯+=+=++++

得21y y

x x x

+=+，即220x y x y +--= 2．解：设(4cos ,3sin )P θθ，则12cos 12sin 24

5

d θθ--=

即122cos()24

4

5

d π

θ+-=，

当cos()14

π

θ+=-时，max 12

(22)5d =+； 当cos()14

π

θ+

=时，min

12

(22)5

d =-。 3．解：（1）直线的参数方程为1cos 61sin 6x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即312112x t y t

⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩

（2）把直线3

12112

x t y t ⎧=+⎪⎪⎨

⎪=+⎪⎩代入422=+y x

得22231

(1)(1)4,(31)2022

t t t t +

++=++-= 122t t =-，则点P 到,A B 两点的距离之积为2

新课程高中数学训练题组参

数学选修4-4 坐标系与参数方程 [提高训练C 组]

一、选择题

1．D 1xy =，x 取非零实数，而A ，B ，C 中的x 的范围有各自的

2．B 当0x =时，25t =

，而12y t =-，即15y =，得与y 轴的交点为1

(0,)5； 当0y =时，12t =，而25x t =-+，即12x =，得与x 轴的交点为1

(,0)

2

3．B 2

15125

21155

x t x t y t y t ⎧

=+⨯⎪=+⎧⎪

⇒⎨⎨

=+⎩⎪=+⨯

⎪⎩

，把直线122x t y t =+⎧⎨=+⎩代入 229x y +=得222(12)(2)9,5840t t t t +++=+-=

2212121281612

()4()555

t t t t t t -=+-=-+=，弦长为1212555t t -= 4．C 抛物线为24y x =，准线为1x =-，PF 为(3,)P m 到准线1x =-的距离，即为4 5．D cos 20,cos 20,4

k π

ρθθθπ===±

，为两条相交直线

6．A 4sin ρθ=的普通方程为22

(2)4x y +-=，cos 2ρθ=的普通方程为2x =

圆2

2

(2)4x y +-=与直线2x =显然相切 二、填空题

1．14p t 显然线段MN 垂直于抛物线的对称轴。即x 轴，121222M N p t t p t

=-= 2．(3,4)-,或(1,2)- 2

2

2

2

12

(2)(2)(2),,22

t t t t -+==

=± 3．5 由3s i n 4c o s 4s i n 3c o s x y θθθ

θ=+⎧⎨

=-⎩得22

25x y +=

4．

22 圆心分别为1(,0)2和1(0,)2 5．6

π，或56π 直线为t a n y x θ=，圆为22(4)4x y -+=，作出图形，相切时， 易知倾斜角为6

π，或56π 三、解答题

1．解：（1）当0t =时，0,cos y x θ==，即1,0x y ≤=且；

当0t ≠时，c o s ,s i n 11()()2

2t t t t x

y e e e e θθ--==+- 而221x y +=，即2

2

2

2111()()4

4t t t t x y e e e e --+=+- （2）当,k k Z θπ=∈时，0y =，1()2

t t x e e -=±+，即1,0x y ≥=且； 当,2k k Z πθπ=+∈时，0x =，1()2

t t y e e -=±-，即0x =； 当,2k k Z πθ≠∈时，得2cos 2sin t t t t x e e y e e θθ--⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，即222cos sin 222cos sin t t x y e x y e θθθθ-⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩

得222222()()cos sin cos sin t t x y x y e e θθθθ

-⋅=+- 即22

221cos sin x y θθ

-=。 2．解：设直线为10cos ()2sin x t t y t αα⎧=+⎪⎨⎪=⎩

为参数，代入曲线并整理得 223(1sin )(10cos )02

t t αα+++= 则1223

21sin PM PN t t α

⋅==+ 所以当2sin 1α=时，即2πα=，PM PN ⋅的最小值为34，此时2

πα=。