高三数学向量专题复习(高考题型汇总及讲解)(1)

向量是高考的一个亮点，因为向量知识，向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视。

一、平面向量加、减、实数与向量积

（一）基本知识点提示

1、重点要理解向量、零向量、向量的模、单位向量、平行向量、反向量、相等向量、两向量的夹角等概念。

2、了解平面向量基本定理和空间向量基本定理。

3、向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。

4、向量形式的三角形不等式：｜｜｜-｜｜｜≤｜±｜≤｜｜+｜｜(试问：取等号的条件是什么?)；

向量形式的平行四边形定理：2（｜｜+｜｜）=｜－｜+｜+｜

5、实数与向量的乘法（即数乘的意义）

实数λ与向量的积是一个向量，记λ，它的长度与方向规定如下：

(1)｜λ｜=｜λ｜·｜｜;

(2)当λ＞0时，λ的方向与的方向相同；当λ＜0时，λ的方向与的方向相反；当λ=0时，λ=,方向是任意的.

6、共线向量定理的应用：若≠，则∥存在唯一实数对λ使得=λxy-xy=0(其中=（x，y），=（x，y）)

（二）典型例题

例1、O是平面上一 定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足

则P的轨迹一定通过△ABC的    （    ）

A．外心    B．内心    C．重心    D．垂心

分析：是在∠BAC的平分线上，∴选B

例2、对于任意非零向量与，求证：｜｜｜-｜｜｜≤｜±｜≤｜｜+｜｜

证明：(1)两个非零向量与不共线时， +的方向与，的方向都不同，并且｜｜-｜｜＜｜±｜＜｜｜+｜｜

(3)两个非零向量与共线时，①与同向，则+的方向与、相同且｜+｜=｜｜＋｜｜.②与异向时，则+的方向与模较大的向量方向相同，设||＞||，则|+|=||-||.同理可证另一种情况也成立。

（三）巩固练习

1、已知A、B、C是不共线的三点，O是△ABC内的一点，若++=，则O是△ABC的（   ）

（A）重心  （B）垂心（C）内心（D）外心

2、下列5个命题中正确的是             

①对于实数p,q和向量,若p=q则p=q②对于向量与，若||=||则=③对于两个单位向量与，若|+|=2则=④对于两个单位向量与，若k=，则=⑤在△ABC中，若点P满足； =则直线AP必经过△ABC的内心

3、已知与方向相同，且||=3，||=7，则|2－|=         

4、设非零向量与满足||=||=|+|，则与+的夹角是       

5、求函数f(x)=的最大值

答案：（1）A（2）②③⑤（3）1（4）（5）

二、向量的坐标运算及应用

（一）基本知识回顾

1、向量的坐标概念和坐标表示法

2、向量的坐标运算（加、减、实数和向量的乘法、数量积）

3、线段的定比分点概念及定比分点坐标公式

4、图形的平移概念及平移变换公式

例3 已知点A(x,5)，B(-2,y)，直线AB上的点C(1,1)，使|AC|=2|BC|, 求向量按向量=(1,1)平移的向量坐标.

解法1：（坐标运算法）∵|AC|=2|BC|，且A、B、C共线，∴=±2，(1,1)－(X,5)=±2[(1,1)－(-2,y)],  x=7, y=-1; x=-5,y=3;

解法2：用线段的定比分点公式法，∵=2∴点C分所成的比为2；∵=－2∴点C分所成的比为－2；再用定比分点坐标公式可求出点A、点B的坐标。

平移后向量的坐标为(-9,-6) ,  (3,-2)

例4 已知O为△ABC内部一点，∠AOB=150°，∠BOC=90°，设=， =， =，

且||=2，||=1，| |=3，用与表示     

解：如图建立平面直角坐标系xoy，其中,是单位正交基底向量, 则B（0，1），C（-3，0），设A（x，y），则条件知x=2cos(150°-90°),y=-2sin(150°-90°)，即A（1，-），也就是=  －, =， =-3所以-3=3+|即=3－3

巩固练习

1、已知函数f(x)的图象沿直线y=-x向下平移2个单位得到函数y=lgx的图象，则f(x)=

2、(10)平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1），B（-1，3），若点C满足，其中，且则点C的轨迹方程为（  D ）

（A）（B）（C）（D）

3、已知=（6，2）与=（-4，），直线l过点A(3,-1)且与向量+2垂直，则直线l的一般方程是          

4、已知=(5,4)与=(3,2)，则与2－3平行的单位向量为                

5、已知=(-5,3)与=(-1,2)，且λ+与2+互相垂直，则实数λ的值等于         

答案：1、f (x)=lg(x+2)+2; 2, D   3, 2x-3y-9=0  4,  ±(,)  5, －

例5、（03年全国高考18．（本小题满分12分））

如图，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，D、E分别是与的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G

(I)求与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）

(II)求点到平面AED的距离

（Ⅰ）解：连结BG，则BG是BE在ABD的射影，即∠EBG是A1B与平面ABD所成的角.

设F为AB中点，连结EF、FC，

（Ⅱ）解： 

巩固练习

1、=（1，1，0）与=（1，1，1），若= +且∥，⊥，求， ；

2、（新课程01年高考20）以正棱锥V-ABCD底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系O-，其中OX∥BC，OY∥AB，E为VC的中点，正四棱锥底面边长为，高为（1）求；（2）记面BCV为，面DCV为，若∠BED是二面角的平面角，求∠BED的值。（理改为“求∠BED的值。”）

3、如图：已知正三棱柱ABC—ABC中，AB=4，BB=3，D为AB的中点，F为AC的中点，E在BB上，且BE=BB   （1）求DF与CF所成角的大小；（2）若在BB上取一点P，问直线CP与平面ABC所成角为多少时，CP⊥DF

答案：1、 =（1，1，0），=（0，0，1）

2、结果 ：（1）求=；（2）记面BCV为，面DCV为，若∠BED是二面角的平面角，求∠BED的值为。（理改为“求∠BED的值。”）

3、 arccos  , arctan

例6、（03年新课程高考21．（本小题满分14分））

已知常数a>0，向量c=（0，a），i=（1，0），经过原点O以c+λi为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以i－2λc为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R.试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由.

21．本小题主要考查平面向量的概念和计算,求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力，满分12分.

解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到两定点距离的和为定值.

∵i=（1，0），c=（0，a），  ∴c+λi=（λ，a），i－2λc=（1，－2λa）.

因此，直线OP和AP的方程分别为  和.

消去参数λ，得点的坐标满足方程.

整理得  ……①       因为所以得：

（i）当时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F；

（ii）当时，方程①表示椭圆，焦点和为合乎题意的两个定点；

（iii）当时，方程①也表示椭圆，焦点和为合乎题意的两个定点.

巩固练习

1、椭圆的焦点为F，F，点P为其上的动点，当∠FPF为钝角时，点P横坐标的取值范围是                

2、已知抛物线，上有两点A、B，且OA⊥OB，OM⊥AB，求M点的轨迹方程。

3、（02年新课程高考（21）（12分））已知两点M（-1，0），N（1，0），且点P使·，·,·成公差小于零的等差数列（1）点P的轨迹是什么曲线？（2）若点P坐标为（），记为与的夹角，求；

4、已知△OFQ的面积为S，且·=1  ①若＜S＜，求与的夹角的取值范围；②设||=c，S=c ，若以O为中心，F为焦点的椭圆经过点Q，当||取得最小值时，求此椭圆的方程。

答案：1、（－，），2、(x－p) +y=p (x≠0),   3、①点P的轨迹是以原点为圆心，为半径的右半圆②tan=|y|  4; ①＜＜   5; 

三、平面向量的数量积及其应用

1、数量积（点乘或内积）的概念，·=||||cos=xx+yy注意区别“实数与向量的乘法；向量与向量的乘法”

2、数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直；

例7、下面5个命题：①|·|=||·||②(·)=·③⊥(－)，则·=·  ④·=0，则|+|=|－|⑤·=0，则=或=，其中真命题是（  ）

A①②⑤  B ③④  C①③  D②④⑤

巩固练习

1、下面5个命题中正确的有（  ）

①=·=·②·=·=③·（+）=·+·④·（·）=（·）·⑤

A①②⑤  B①③⑤  C  ②③④     D  ①③

2、下列命题中，正确命题的个数为（  ）

①若与是非零向量 ，且与共线时，则与必与或中之一方向相同；②若为单位向量，且∥则=||  ③··=||  ④若与共线，与共线，则与共线；⑤若平面内四点A、B、C、D，必有+=+

A    1  B   2    C   3    D   4 

答案：1、D   2、A   

例8、设=（1+cos, sin）, =(1-cos, sin),=(1,0)，∈(0,),∈(,2),与的夹角为，与的夹角为，且+ =，求sin的值。

解：Cos=

∈(0,),∴= ,  

   ∵ 

∴   ∴ 

∵+ = ,  ∴  ,   

∴sin=sin(－

巩固练习：

1、已知=（cos,sin）与=(cos, sin) ，且x∈[0,]，求①·与|+|，②f(x)=·－4|+|的最小值

答案：①cosx; 2cos②当且仅当cosx=1；即x=0时，f(x)取最小值为－7

如图，已知平行六面体ABCD-的底面ABCD是菱形，且=

。

（I）证明：⊥BD；

    （II）当的值为多少时，能使平面？请给出证明。

（18乙）本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系，逻辑推理能力。满分

      12分。

      （I）证明：连结、AC，AC和BD交于O，连结。

∵ 四边形ABCD是菱形，

∴ AC⊥BD，BC=CD。

又∵  ，

∴，

∴，

∵ DO=OB，

∴ BD，                                      ——3分

但 AC⊥BD，AC∩=O，

∴ BD⊥平面。

又平面，

∴ BD。                                      ——6分

（II）当时，能使⊥平面。

证明一：

∵，

∴ BC=CD=，

又，

由此可推得BD=。

∴ 三棱锥C-是正三棱锥。                     ——9分

设与相交于G。

∵∥AC，且∶OC=2∶1，

∴∶GO=2∶1。

又是正三角形的BD边上的高和中线，

∴ 点G是正三角形的中心，

∴ CG⊥平面。

即⊥平面。                           ——12分

证明二：

由（I）知，BD⊥平面，

∵ 平面，∴ BD⊥。                ——9分

当时 ，平行六面体的六个面是全等的菱形，

同BD⊥的证法可得⊥。

又 BD∩=B，

∴⊥平面。                             ——12分  

巩固练习

1、用向量方法证明三角形的三条高相交于一点。

2、已知，，·=|－|=2，当AOB面积最大时，求与的夹角

3、已知G是△ABC的重点，直线过点G分别交△ABC的边AC，BC于P、Q两点，且，，求的值

答案： 1、略；2、  3、3；

补充：设点A（1，1），B（3，y），且为直线2x－y+1=0的方向向量，则y=