四川省成都八年级数学下学期期末考试试题(含解析)北师大版

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）

1．下列图形中，是中心对称但不一定是轴对称图形的是（　　）

A．等边三角形    B．矩形    C．菱形    D．平行四边形

2．使分式有意义的x的取值范围是（　　）

A．x≥    B．x≤    C．x＞    D．x≠

3．一元二次方程x2﹣4x﹣1=0配方后正确的是（　　）

A．（x﹣2）2=1    B．（x﹣2）2=5    C．（x﹣4）2=1    D．（x﹣4）2=5

4．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），若将OA绕原点O逆时针旋转90°得到OA′，则点A′的坐标为（　　）

A．（﹣2，3）    B．（﹣3，2）    C．（2，﹣3）    D．（3，﹣2）

5．下列命题正确的是（　　）

A．一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形

B．对角线相等的四边形一定是矩形

C．两条对角线互相垂直的四边形一定是正方形

D．两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形

6．如图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，对于结论：①DE=DF；②BD=CD；③AD上任一点到AB、AC的距离相等；④AD上任一点到B、C的距离相等．其中正确的是（　　）

A．仅①②    B．仅③④    C．仅①②③    D．①②③④

7．关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根，则a满足（　　）

A．a≥1    B．a＞1且a≠5    C．a≥1且a≠5    D．a≠5

8．若凸n边形的内角和为1260°，则从一个顶点出发引的对角线条数是（　　）

A．6    B．8    C．18    D．27

9．甲、乙两人同时从A地出发，骑自行车行30千米到B地，甲比乙每小时少走3千米，结果乙先到40分钟．若设乙每小时走x千米，则可列方程（　　）

A．    B．﹣=    C．﹣=    D．﹣=

10．用边长相等的下列两种正多边形，不能进行平面镶嵌的是（　　）

A．等边三角形和正六边形    B．正方形和正八边形

C．正五边形和正十边形    D．正六边形和正十二边形

二、填空题

11．当x=　　　　　　时，分式的值为0．

12．若实数a满足a2﹣2a﹣1=0，则2a2﹣4a+5=　　　　　　．

13．如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O．点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为　　　　　　．

14．如图，面积为12cm2的△ABC沿BC方向平移至△DEF位置，平移的距离是边BC长的两倍，则图中的四边形ACED的面积是　　　　　　cm2．

15．如图，▱ABCD中，∠ABC=60°，E、F分别在CD、BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，DF=2，则EF的长为　　　　　　．

三、解答题：

16．解方程：﹣1．

17．解方程：（2x+3）2=3（2x+3）

18．先化简，再求值：，其中．

四、解答题

19．如图，方格纸中的最小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C坐标为（0，﹣1）

①画出△ABC向上平移3个单位后得到的△A1B1C1；

②画出△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到的△A2B2C2；

③画出△ABC关于点C中心对称后得到的△A3B3C3．

20．某文化用品商店用2000元购进一批学生书包，面市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6300元．

（1）求第一批购进书包的单价是多少元？

（2）若商店销售这两批书包时，每个售价都是120元，全部售出后，商店共盈利多少元？

21．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．

（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．

22．矩形ABCD中，M是BC的中点，DE⊥AM，E是垂足．

（1）求证：△ABM∽△DEA；

（2）求证：DC•AE=DE•MC；

（3）若AB=4，BC=6，求ME的长．

五、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）

23．若关于x的方程的解为正数，则a的取值范围是　　　　　　．

24．如图，△DEF是由△ABC绕某点旋转得到的，则这点的坐标是　　　　　　．

25．若关于x的一元二次方程x2+kx+4k2﹣3=0的两个实数根x1，x2，且满足x1+x2=x1•x2，则k的值为　　　　　　．

26．如图，在正方形纸片ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，沿过点B的直线折叠，使点C落在EF上，落点为N，折痕交CD边于点M，BM与EF交于点P，再展开．则下列结论中：①CM=DM；②∠ABN=30°；③AB2=3CM2；④△PMN是等边三角形．正确的有（　　）

A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

27．如图，已知△ABC是面积为的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB=2AD，∠BAD=45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积等于　　　　　　（结果保留根号）．

二、解答题

28．为落实房地产，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度．2010年市共投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，预计到2012年底三年共累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．

（1）求每年市投资的增长率；

（2）若这两年内的建设成本不变，求到2012年底共建设了多少万平方米廉租房．

29．情境观察

将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△A′C′D，如图1所示．将△A′C′D的顶点A′与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A（A′）、B在同一条直线上，如图2所示．

观察图2可知：与BC相等的线段是　　　　　　，∠CAC′=　　　　　　°．

问题探究

如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q．试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论．

拓展延伸

如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H．若AB=kAE，AC=kAF，试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由．

30．如图，若四边形ABCD、四边形GFED都是正方形，显然图中有AG=CE，AG⊥CE．

（1）当正方形GFED绕D旋转到如图2的位置时，AG=CE是否成立？若成立，请给出证明，若不成立，说明理由．

（2）若正方形GFED绕D旋转到如图3的位置（F在线段AD上）时，延长CE交AG于H，交AD于M，

①求证：AG⊥CH；

②当AD=4，DG=时，求CH的长．

（3）在（2）的条件下，在如图所示的平面上，是否存在以A、G、D、N为顶点的四边形为平行四边形的点N？如果存在，请在图中画出满足条件的所有点N的位置，并直接写出此时CN的长度；若不存在，请说明理由．

2014-2015学年四川省成都七中育才学校八年级（下）期末数学试卷

参与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）

1．下列图形中，是中心对称但不一定是轴对称图形的是（　　）

A．等边三角形    B．矩形    C．菱形    D．平行四边形

【考点】中心对称图形；轴对称图形．

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【解答】解：A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；

B、矩形是轴对称图形，也是中心对称图形．故错误；

C、菱形是轴对称图形，也是中心对称图形．故错误；

D、平行四边形不一定是轴对称图形，是中心对称图形．故正确．

故选D．

【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

2．使分式有意义的x的取值范围是（　　）

A．x≥    B．x≤    C．x＞    D．x≠

【考点】分式有意义的条件．

【分析】要使分式有意义，分母不等于0．所以2x﹣1≠0，即可求解．

【解答】解：根据题意得2x﹣1≠0，

解得x≠，

故选：D．

【点评】主要考查了分式的意义，只有当分式的分母不等于0时，分式才有意义，解答此类题目的一般方法是用分母不等于0来列不等式解出未知数的范围．

3．一元二次方程x2﹣4x﹣1=0配方后正确的是（　　）

A．（x﹣2）2=1    B．（x﹣2）2=5    C．（x﹣4）2=1    D．（x﹣4）2=5

【考点】解一元二次方程-配方法．

【专题】配方法．

【分析】本题要求用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．

【解答】解：∵x2﹣4x﹣1=0，

∴x2﹣4x=1，

∴x2﹣4x+4=1+4，

∴（x﹣2）2=5．

故选B．

【点评】配方法的一般步骤：

（1）把常数项移到等号的右边；

（2）把二次项的系数化为1；

（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．

选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．

4．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），若将OA绕原点O逆时针旋转90°得到OA′，则点A′的坐标为（　　）

A．（﹣2，3）    B．（﹣3，2）    C．（2，﹣3）    D．（3，﹣2）

【考点】坐标与图形变化-旋转．

【分析】作出图形，然后写出点A′的坐标即可．

【解答】解：如图，点A′的坐标为（﹣3，2）．

故选B．

【点评】本题考查了坐标与图象变化﹣旋转，此类题目，利用数形结合的思想求解更简便．

5．下列命题正确的是（　　）

A．一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形

B．对角线相等的四边形一定是矩形

C．两条对角线互相垂直的四边形一定是正方形

D．两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形

【考点】命题与定理．

【分析】根据平行四边形的判定方法对A进行判断；根据矩形的判定方法对B进行判断；根据正方形的判定方法对C、D进行判断．

【解答】解：A、一组对边相等，且这组对边平行的四边形一定是平行四边形，所以A选项错误；

B、对角线相等的平行四边形一定是矩形，所以B选项错误；

C、两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形，所以C选项错误；

D、两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形，所以D选项正确．

故选D．

【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题．

6．如图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，对于结论：①DE=DF；②BD=CD；③AD上任一点到AB、AC的距离相等；④AD上任一点到B、C的距离相等．其中正确的是（　　）

A．仅①②    B．仅③④    C．仅①②③    D．①②③④

【考点】角平分线的性质；等腰三角形的性质．

【专题】几何图形问题．

【分析】利用角平分线的性质计算．

【解答】解：∵AD是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，

∴DE=DF，且AD上任一点到AB、AC的距离相等；

又AB=AC，根据三线合一的性质，

可得AD垂直平分BC

∴BD=CD，

AD上任一点到B、C的距离相等．

故选D．

【点评】此题主要考查角平分线的性质和等腰三角形的性质．

7．关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根，则a满足（　　）

A．a≥1    B．a＞1且a≠5    C．a≥1且a≠5    D．a≠5

【考点】根的判别式．

【专题】判别式法．

【分析】由于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根，那么分两种情况：（1）当a﹣5=0时，方程一定有实数根；（2）当a﹣5≠0时，方程成为一元二次方程，利用判别式即可求出a的取值范围．

【解答】解：分类讨论：

①当a﹣5=0即a=5时，方程变为﹣4x﹣1=0，此时方程一定有实数根；

②当a﹣5≠0即a≠5时，

∵关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根

∴16+4（a﹣5）≥0，

∴a≥1．

∴a的取值范围为a≥1．

故选：A．

【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根；切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．

8．若凸n边形的内角和为1260°，则从一个顶点出发引的对角线条数是（　　）

A．6    B．8    C．18    D．27

【考点】多边形的对角线；多边形内角与外角．

【分析】根据凸n边形的内角和为1260°，求出凸n边形的边数，即可得出从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线．

【解答】解：∵凸n边形的内角和为1260°，

∴（n﹣2）×180°=1260°，

解得n=9，

∴9﹣3=6．

故选：A．

【点评】本题考查了多边形的内角和定理及多边形的对角线，熟记多边形的内角和计算公式是正确解答本题的基础．

9．甲、乙两人同时从A地出发，骑自行车行30千米到B地，甲比乙每小时少走3千米，结果乙先到40分钟．若设乙每小时走x千米，则可列方程（　　）

A．    B．﹣=    C．﹣=    D．﹣=

【考点】由实际问题抽象出分式方程．

【分析】首先根据题意可得乙每小时走x千米，则甲每小时走（x﹣3）千米，根据题意可得等量关系：甲走30千米的时间﹣乙走30千米的时间=40分钟，由等量关系列出方程即可．

【解答】解：设乙每小时走x千米，则甲每小时走（x﹣3）千米，由题意得：

﹣=，

故选：A．

【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是根据题意，找出等量关系，设出未知数，列出方程．

10．用边长相等的下列两种正多边形，不能进行平面镶嵌的是（　　）

A．等边三角形和正六边形    B．正方形和正八边形

C．正五边形和正十边形    D．正六边形和正十二边形

【考点】平面镶嵌（密铺）．

【分析】分别求出各个正多边形每个内角的度数，再结合镶嵌的条件即可作出判断．

【解答】解：A、正三角形的每个内角是60°，正六边形的每个内角是120°，∵2×60°+2×120°=360°，能密铺，故此选项不合题意；

B、正八边形的每个内角是135°，正方形的每个内角是90°，∵2×135°+90°=360°，能密铺，故此选项不合题意；

C、正五形的每个内角是108°，正十边形的每个内角是144°，∵2×108°+144°=360°，能密铺，故此选项不合题意；

D、正六边形的每个内角是120°和正十二边形的每个内角是150°，120m+150n=360°，m=3﹣n，显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满，符合题意．

故选：D．

【点评】此题主要考查了平面镶嵌，几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．

二、填空题

11．当x=　1　时，分式的值为0．

【考点】分式的值为零的条件．

【分析】根据分式值为零的条件可得x2﹣1=0，且x+1≠0，再解即可．

【解答】解：由题意得：x2﹣1=0，且x+1≠0，

解得：x=1，

故答案为：1．

【点评】此题主要考查了分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．

12．若实数a满足a2﹣2a﹣1=0，则2a2﹣4a+5=　7　．

【考点】代数式求值．

【专题】计算题．

【分析】根据a2﹣2a﹣1=0得出a2﹣2a=1，然后等式的左右两边同乘以2即可得到2a2﹣4a=2，再求2a2﹣4a+5的值就容易了．

【解答】解：∵a2﹣2a﹣1=0，

∴a2﹣2a=1，

∴2a2﹣4a=2，

∴2a2﹣4a+5=2+5=7．

故答案为7．

【点评】本题考查了代数式求值，解题的关键是求出2a2﹣4a的值，再代入2a2﹣4a+5即可．

13．如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O．点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为　15　．

【考点】三角形中位线定理；平行四边形的性质．

【分析】根据平行四边形的对边相等和对角线互相平分可得，OB=OD，又因为E点是CD的中点，可得OE是△BCD的中位线，可得OE=BC，所以易求△DOE的周长．

【解答】解：∵▱ABCD的周长为36，

∴2（BC+CD）=36，则BC+CD=18．

∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，BD=12，

∴OD=OB=BD=6．

又∵点E是CD的中点，

∴OE是△BCD的中位线，DE=CD，

∴OE=BC，

∴△DOE的周长=OD+OE+DE=BD+（BC+CD）=6+9=15，

即△DOE的周长为15．

故答案为：15．

【点评】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的性质．解题时，利用了“平行四边形对角线互相平分”、“平行四边形的对边相等”的性质．

14．如图，面积为12cm2的△ABC沿BC方向平移至△DEF位置，平移的距离是边BC长的两倍，则图中的四边形ACED的面积是　36　cm2．

【考点】平移的性质．

【分析】根据平移的性质可以知道四边形ACED的面积是三个△ABC的面积，依此计算即可．

【解答】解：∵平移的距离是边BC长的两倍，

∴BC=CE=EF，

∴四边形ACED的面积是三个△ABC的面积；

∴四边形ACED的面积=12×3=36cm2．

【点评】本题的关键是得出四边形ACED的面积是三个△ABC的面积．然后根据已知条件计算．

15．如图，▱ABCD中，∠ABC=60°，E、F分别在CD、BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，DF=2，则EF的长为　　．

【考点】平行四边形的性质；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．

【专题】压轴题；数形结合．

【分析】由平行四边形的性质及直角三角形的性质，推出△CDF为等边三角形，再根据勾股定理解答即可．

【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=60°，

∴∠DCF=60°，

又∵EF⊥BC，

∴∠CEF=30°，

∴CF=CE，

又∵AE∥BD，

∴AB=CD=DE，

∴CF=CD，

又∵∠DCF=60°，

∴∠CDF=∠DFC=60°，

∴CD=CF=DF=DE=2，

∴在Rt△CEF中，由勾股定理得：EF====．

故答案为2．

【点评】本题考查平行四边形的性质的运用．解题关键是利用平行四边形的性质结合三角形性质来解决有关的计算和证明．

三、解答题：

16．解方程：﹣1．

【考点】解分式方程．

【专题】计算题．

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

【解答】解：去分母得：1=﹣2x﹣x+3，

解得：x=，

经检验x=是分式方程的解．

【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．

17．解方程：（2x+3）2=3（2x+3）

【考点】解一元二次方程-因式分解法．

【专题】计算题．

【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．

【解答】解：方程整理得：（2x+3）2﹣3（2x+3）=0，

分解因式得：（2x+3）（2x+3﹣3）=0，

解得：x1=﹣，x2=0．

【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

18．先化简，再求值：，其中．

【考点】分式的化简求值．

【专题】计算题．

【分析】首先把分式通分、约分，然后化简，最后代入数值计算即可求解．

【解答】解：

=

=，

当时，原式=．

【点评】此题主要考查了分式的化简求值，解题时首先把分式通分、约分化简，然后代入数值计算即可解决问题．

四、解答题

19．如图，方格纸中的最小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C坐标为（0，﹣1）

①画出△ABC向上平移3个单位后得到的△A1B1C1；

②画出△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到的△A2B2C2；

③画出△ABC关于点C中心对称后得到的△A3B3C3．

【考点】作图-旋转变换；作图-平移变换．

【专题】作图题．

【分析】①利用平移的性质分别画出点A、B、C的对应点A1、B1、C1，于是可得△A1B1C1；

②利用网格的特征和旋转的性质分别画出点A、B、C的对应点A2、B2、C2，于是可得△A2B2C2；

③利用中心对称的性质分别画出点A、B、C的对应点A3、B3、C3，于是可得△A3B3C3．

【解答】解：①如图，△A1B1C1为所作；

②如图，△A2B2C2为所作；

③如图，△A3B3C3为所作．

【点评】本题考查了作图：旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．

20．某文化用品商店用2000元购进一批学生书包，面市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6300元．

（1）求第一批购进书包的单价是多少元？

（2）若商店销售这两批书包时，每个售价都是120元，全部售出后，商店共盈利多少元？

【考点】分式方程的应用．

【专题】销售问题；压轴题．

【分析】（1）求的是单价，总价明显，一定是根据数量来列等量关系．本题的关键描述语是：“数量是第一批购进数量的3倍”；等量关系为：6300元购买的数量=2000元购买的数量×3．

（2）盈利=总售价﹣总进价．

【解答】解：（1）设第一批购进书包的单价是x元．

则：×3=．

解得：x=80．

经检验：x=80是原方程的根．

答：第一批购进书包的单价是80元．

（2）×（120﹣80）+×（120﹣84）=3700（元）．

答：商店共盈利3700元．

【点评】应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的．本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．

21．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．

（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．

【考点】一元二次方程的应用．

【专题】代数几何综合题．

【分析】（1）直接将x=﹣1代入得出关于a，b的等式，进而得出a=b，即可判断△ABC的形状；

（2）利用根的判别式进而得出关于a，b，c的等式，进而判断△ABC的形状；

（3）利用△ABC是等边三角形，则a=b=c，进而代入方程求出即可．

【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形；

理由：∵x=﹣1是方程的根，

∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0，

∴a+c﹣2b+a﹣c=0，

∴a﹣b=0，

∴a=b，

∴△ABC是等腰三角形；

（2）∵方程有两个相等的实数根，

∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，

∴4b2﹣4a2+4c2=0，

∴a2=b2+c2，

∴△ABC是直角三角形；

（3）当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，可整理为：

2ax2+2ax=0，

∴x2+x=0，

解得：x1=0，x2=﹣1．

【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用以及根的判别式和勾股定理逆定理等知识，正确由已知获取等量关系是解题关键．

22．矩形ABCD中，M是BC的中点，DE⊥AM，E是垂足．

（1）求证：△ABM∽△DEA；

（2）求证：DC•AE=DE•MC；

（3）若AB=4，BC=6，求ME的长．

【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质．

【分析】（1）根据矩形的性质得∠B=90°，AD∥BC，则∠DAE=∠AMB，而DE⊥AM，所以∠B=∠AED=90°，于是根据相似三角形的判定即可得到△ADE∽△MAB；

（2）由△ADE∽△MAB，可得到AB•AE=DE•MB，又AB=CD，BM=MC，等量代换即可得出结论；

（3）由M是BC中点，AD=BC=6得到BM=3，在Rt△ABM中，根据勾股定理得AM=5，再由△ADE∽△MAB，利用相似比计算出AE，然后利用EM=AM﹣AE求解

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，

∴∠B=90°，AD∥BC，

∴∠DAE=∠AMB，

∵DE⊥AM

∴∠B=∠AED=90°，

∴△ADE∽△MAB；

（2）∵△ADE∽△MAB，

∴AB•AE=DE•MB，

∵四边形ABCD为矩形，

∴AB=CD，

∵M是BC的中点，

∴BM=MC，

∴DC•AE=DE•MC；

（3）解：∵M是BC中点，AD=BC=6

∴BM=BC=3，

在Rt△ABM中，AB=4，

∴AM==5，

∵△ADE∽△MAB，

∴=，即=，

∴AE=，

∴EM=AM﹣AE=5﹣=．

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组角对应相等的两三角形相似；相似三角形对应边的比相等．本题同时也考查了勾股定理和矩形的性质．

五、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）

23．若关于x的方程的解为正数，则a的取值范围是　a＜1且a≠﹣1　．

【考点】分式方程的解．

【专题】计算题．

【分析】先求得方程的解，再解x＞0，求出a的取值范围．

【解答】解：解方程，得x=，

∵关于x的方程的解为正数，

∴x＞0，

即＞0，

当x﹣1=0时，x=1，代入得：a=﹣1．此为增根，

∴a≠﹣1，

解得：a＜1且a≠﹣1．

故答案为：a＜1且a≠﹣1．

【点评】本题主要考查了解分式方程及解不等式，难度适中．

24．如图，△DEF是由△ABC绕某点旋转得到的，则这点的坐标是　（0，1）　．

【考点】坐标与图形变化-旋转．

【专题】压轴题．

【分析】根据旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，可知，只要连接两组对应点，作出对应点所连线段的两条垂直平分线，其交点即为旋转中心．

【解答】解：如图，

连接AD、BE，作线段AD、BE的垂直平分线，

两线的交点即为旋转中心O′．其坐标是（0，1）．

故答案为（0，1）．

【点评】本题考查旋转变换作图，在找旋转中心时，要抓住“动”与“不动”，关键是对旋转性质的把握．

25．若关于x的一元二次方程x2+kx+4k2﹣3=0的两个实数根x1，x2，且满足x1+x2=x1•x2，则k的值为　　．

【考点】根与系数的关系．

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系及x1+x2=x1x2，得出关于k的方程，解方程并用根的判别式检验得出k的值即可．

【解答】解：由根与系数的关系，得x1+x2=﹣k，x1x2=4k2﹣3，

又∵x1+x2=x1x2，

所以﹣k=4k2﹣3，即4k2+k﹣3=0，

解得k=或﹣1，

因为△≥0时，

所以k2﹣4（4k2﹣3）≥0，

解得：≤k≤，故k=﹣1舍去，

∴k=．

故答案是：．

【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数关系的应用，属于基础题，关键不要忘记利用根的判别式进行检验．

26．如图，在正方形纸片ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，沿过点B的直线折叠，使点C落在EF上，落点为N，折痕交CD边于点M，BM与EF交于点P，再展开．则下列结论中：①CM=DM；②∠ABN=30°；③AB2=3CM2；④△PMN是等边三角形．正确的有（　　）

A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

【考点】翻折变换（折叠问题）；正方形的性质．

【专题】证明题；压轴题．

【分析】根据题给条件，证不出①CM=DM；△BMN是由△BMC翻折得到的，故BN=BC，又点F为BC的中点，可知：sin∠BNF==，求出∠BNF=30°，继而可求出②∠ABN=30°；在Rt△BCM中，∠CBM=30°，继而可知BC=CM，可以证出③AB2=3CM2；求出∠NPM=∠NMP=60°，继而可证出④△PMN是等边三角形．

【解答】解：∵△BMN是由△BMC翻折得到的，

∴BN=BC，又点F为BC的中点，

在Rt△BNF中，sin∠BNF==，

∴∠BNF=30°，∠FBN=60°，

∴∠ABN=90°﹣∠FBN=30°，故②正确；

在Rt△BCM中，∠CBM=∠FBN=30°，

∴tan∠CBM=tan30°==，

∴BC=CM，AB2=3CM2故③正确；

∠NPM=∠BPF=90°﹣∠MBC=60°，∠NMP=90°﹣∠MBN=60°，

∴△PMN是等边三角形，故④正确；

由题给条件，证不出CM=DM，故①错误．

故正确的有②③④，共3个．

故选：C．

【点评】本题考查翻折变换的知识，有一定难度，注意掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．

27．如图，已知△ABC是面积为的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB=2AD，∠BAD=45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积等于　　（结果保留根号）．

【考点】相似三角形的性质；等边三角形的性质．

【专题】计算题．

【分析】根据相似三角形面积比等于相似比的平方求得三角形ADE的面积，再根据求出其边长，可根据三角函数得出三角形面积．

【解答】解：∵△ABC∽△ADE，AB=2AD，

∴=，

∵AB=2AD，S△ABC=，

∴S△ADE=，

如图，在△EAF中，过点F作FH⊥AE交AE于H，

∵∠EAF=∠BAD=45°，∠AEF=60°，

∴∠AFH=45°，∠EFH=30°，

∴AH=HF，

设AH=HF=x，则EH=xtan30°=x．

又∵S△ADE=，

作CM⊥AB交AB于M，

∵△ABC是面积为的等边三角形，

∴×AB×CM=，

∠BCM=30°，

设AB=2k，BM=k，CM=k，

∴k=1，AB=2，

∴AE=AB=1，

∴x+x=1，

解得x==．

∴S△AEF=×1×=．

故答案为：．