垂径定理同步培优题典(解析版)

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注意事项：

本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 

1．（2019秋•涪城区校级月考）下列语句，错误的是（　　）

A．直径是弦

B．弦的垂直平分线一定经过圆心

C．相等的圆心角所对的弧相等

D．平分弧的半径垂直于弧所对的弦

【分析】根据直径、弦的定义对A进行判断；根据垂径定理的推论对B、D进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对C进行判断．

【解析】A、直径为弦，所以A选项的说法正确；

B、弦的垂直平分线一定经过圆心，所以B选项的说法正确；

C、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以C选项的说法错误；

D、平分弧的半径垂直于弧所对的弦，所以D选项的说法正确．

故选：C．

2．（2020•龙泉驿区模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，BE＝1cm，CD＝6cm，则AE为（　　）cm．

A．4 B．9 C．5 D．8

【分析】设OC＝OB＝xcm，在Rt△OEC中，利用勾股定理求解即可．

【解析】设OC＝OB＝xcm，

∵AB⊥CD，AB是直径，

∴EC＝DE＝3cm，

在Rt△OEC中，∵OC2＝CE2+OE2，

∴x2＝32+（x﹣1）2，

∴x＝5，

∴OE＝4cm，

∴AE＝OA+OE＝5+4＝9cm，

故选：B．

3．（2019秋•蔡甸区期中）P为⊙O内一点，且OP＝2，若⊙O的半径为3，则过点P的最短的弦是（　　）

A．1 B．2 C． D．2

【分析】先作出最短弦AB，过P作弦AB⊥OP，连接OB，构造直角三角形，由勾股定理求出BP，根据垂径定理求出AB即可．

【解析】

过P作弦AB⊥OP，则AB是过P点的最短弦，连接OB，

由勾股定理得：BP，

∵OP⊥AB，OP过圆心O，

∴AB＝2BP＝2，

故选：D．

4．（2019秋•通州区期末）如图，将⊙O沿着弦AB翻折，劣弧恰好经过圆心O．如果弦AB＝4，那么⊙O的半径长度为（　　）

A．2 B．4 C．2 D．4

【分析】作OD⊥AB于D，连接OA，先根据勾股定理列方程可解答．

【解析】作OD⊥AB于D，连接OA．

∵OD⊥AB，AB＝4，

∴ADAB＝2，

由折叠得：ODAO，

设OD＝x，则AO＝2x，

在Rt△OAD中，AD2+OD2＝OA2，

（2）2+x2＝（2x）2，

x＝2，

∴OA＝2x＝4，即⊙O的半径长度为4；

故选：B．

5．（2018秋•鞍山期末）如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，则下列说法中正确的是（　　）

A．AD＝2OB B．点B是劣弧CD的中点

C．OE＝EB D．点D是AB弧中点

【分析】根据垂径定理逐一判断即可得．

【解析】A．AB＝2OB，而AB＞AD，故此选项错误；

B．由AB⊥CD知点B是劣弧CD的中点，故此选项正确；

C．OE与EB不一定相等，故此选项错误；

D．当CD过圆心且AB⊥CD时，点D是AB弧中点，故此选项错误；

故选：B．

6．（2019秋•玄武区期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，若CD＝8cm，MB＝2cm，则直径AB的长为（　　）

A．9 cm B．10 cm C．11 cm D．12 cm

【分析】如图，连接OC．设OA＝OB＝OC＝r．在Rt△OCM中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．

【解析】如图，连接OC．设OA＝OB＝OC＝r．

∵AB⊥CD，

∴CN＝MDCD＝4cm，

在Rt△OCM中，∵OC2＝CM2+OM2，

∴r2＝42+（r﹣2）2，

解得r＝5，

∴AB＝2OA＝10，

故选：B．

7．（2019秋•仪征市期末）如图，在⊙O中，分别将、沿两条互相平行的弦AB、CD折叠，折叠后的弧均过圆心，若⊙O的半径为4，则四边形ABCD的面积是（　　）

A．8 B．16  C．32 D．32

【分析】过O作OH⊥AB交⊙O于E，反向延长EO交CD于G，交⊙O于F，连接OA，OB，OD，根据平行线的性质得到EF⊥CD，根据折叠的性质得到OHOA，推出△AOD是等边三角形，得到D，O，B三点共线，且BD为⊙O的直径，求得∠DAB＝90°，同理，∠ABC＝∠ADC＝90°，得到四边形ABCD是矩形，于是得到结论．

【解析】过O作OH⊥AB交⊙O于E，反向延长EO交CD于G，交⊙O于F，

连接OA，OB，OD，

∵AB∥CD，

∴EF⊥CD，

∵分别将、沿两条互相平行的弦AB、CD折叠，折叠后的弧均过圆心，

∴OHOA，

∴∠HAO＝30°，

∴∠AOH＝60°，

同理∠DOG＝60°，

∴∠AOD＝60°，

∴△AOD是等边三角形，

∵OA＝OB，

∴∠ABO＝∠BAO＝30°，

∴∠AOB＝120°，

∴∠AOD+∠AOB＝180°，

∴D，O，B三点共线，且BD为⊙O的直径，

∴∠DAB＝90°，

同理，∠ABC＝∠ADC＝90°，

∴四边形ABCD是矩形，

∴AD＝AO＝4，ABAD＝4，

∴四边形ABCD的面积是16，

故选：B．

8．（2019秋•泗阳县期末）如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为8，点P是弦AB上的一个动点，使线段OP的长度为整数的点P有（　　）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

【分析】当P为AB的中点时OP最短，利用垂径定理得到OP垂直于AB，在直角三角形AOP中，由OA与AP的长，利用勾股定理求出OP的长；当P与A或B重合时，OP最长，求出OP的范围，由OP为整数，即可得到OP所有可能的长．

【解析】当P为AB的中点时，利用垂径定理得到OP⊥AB，此时OP最短，

∵AB＝8，∴AP＝BP＝4，

在直角三角形AOP中，OA＝5，AP＝4，

根据勾股定理得：OP3，即OP的最小值为3；

当P与A或B重合时，OP最长，此时OP＝5，

∴3≤OP≤5，

则使线段OP的长度为整数的点P有3，4，5，共5个．

故选：C．

9．（2019秋•连云港期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AD，BC＝3．劣弧BC沿弦BC翻折，刚好经过圆心O．当对角线BD最大时，则弦AB的长是（　　）

A． B．2 C． D．2

【分析】作OH⊥BC于H，连接OB，如图，利用垂径定理得到BHBC，再根据折叠的性质得到OHOB，则∠OBH＝30°，于是可计算出OH，OB，接着利用BD为直径时，即BD＝2时，对角线BD最大，根据圆周角得到此时∠BAD＝90°，再判断△ABD为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质计算出AB的长．

【解析】作OH⊥BC于H，连接OB，如图，则BH＝CHBC，

∵劣弧BC沿弦BC翻折，刚好经过圆心O，

∴OHOB，

∴∠OBH＝30°，

∴OHBH，

∴OB＝2OH，

当BD为直径时，即BD＝2时，对角线BD最大，则此时∠BAD＝90°，

∵AB＝AD，

∴此时△ABD为等腰直角三角形，

∴ABBD2．

故选：A．

10．（2019秋•松滋市期中）如图，AB、AC、BC都是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，若MN＝2，则BC的值为（　　）

A．3.5 B．2 C．3 D．4

【分析】先根据垂径定理得出M、N分别是AB与AC的中点，故MN是△ABC的中位线，由三角形的中位线定理即可得出结论．

【解析】∵OM⊥AB，ON⊥AC垂足分别为M、N，

∴M、N分别是AB与AC的中点，

∴MN是△ABC的中位线，

∴BC＝2MN＝4，

故选：D．

二．填空题（共8小题）

11．（2019秋•铁西区期末）如图，在半径为10cm的圆形铁片上切下一块高为4cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为　16cm　．

【分析】首先构造直角三角形，再利用勾股定理得出BC的长，进而根据垂径定理得出答案．

【解析】如图，过O作OD⊥AB于C，交⊙O于D

∵CD＝4cm，OD＝10cm，

∴OC＝6cm，

又∵OB＝10cm，

∴Rt△BCO中，BC8（cm），

∴AB＝2BC＝16cm．

故答案为：16cm．

12．（2020•新抚区二模）如图所示，⊙O的半径为5，AB为弦，半径OC⊥AB，垂足为D，如果CD＝2，那么AB的长是　8　．

【分析】连接OA，由于半径OC⊥AB，利用垂径定理可知AB＝2AD，又CD＝2，OC＝5，易求OD，在Rt△AOD中利用勾股定理易求AD，进而可求AB．

【解析】连接OA，

∵半径OC⊥AB，

∴AD＝BDAB，

∵OC＝5，CD＝2，

∴OE＝3，

在Rt△AOD中，AD4，

∴AB＝2AD＝8，

故答案为8．

13．（2019秋•瑞安市期末）某公路上有一隧道，顶部是圆弧形拱顶，圆心为O，隧道的水平宽AB为24m，AB离地面的高度AE＝10 m，拱顶最高处C离地面的高度CD为18m，在拱顶的M，N处安装照明灯，且M，N离地面的高度相等都等于17m，则MN＝　10　m．

【分析】根据题意和垂径定理得到CG＝8m，AG＝12m，CH＝1m，根据勾股定理求得半径，进而利用勾股定理求得MH，即可求得MN．

【解析】设CD于AB交于G，与MN交于H，

∵CD＝18m，AE＝10m，AB＝24m，HD＝17m，

∴CG＝8m，AG＝12m，CH＝1m，

设圆拱的半径为r，

在Rt△AOG中，OA2＝OG2+AG2，

∴r2＝（r﹣8）2+122，

解得r＝13，

∴OC＝13m，

∴OH＝13﹣1＝12m，

在Rt△MOH中，OM2＝OH2+MH2，

∴132＝122+MH2，

解得MH2＝25，

∴MH＝5m，

∴MN＝10m，

故答案为10．

14．（2020•常州模拟）石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，如图，已知一石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，求水面宽AB＝　8　m．

【分析】连接OA，根据垂径定理可知AD＝BDAB，在Rt△ADO中，利用勾股定理即可求出AD的长，进而可得出AB的长，此题得解．

【解析】连接OA，如图所示．

∵CD⊥AB，

∴AD＝BDAB．

在Rt△ADO中，OA＝OC＝5m，OD＝CD﹣OC＝3m，∠ADO＝90°，

∴AD4（m），

∴AB＝2AD＝8m．

故答案为：8．

15．（2019秋•海陵区校级期末）如图，⊙O与矩形ABCD的边AB、CD分别相交于点E、F、G、H，若AE+CH＝6，则BG+DF为　6　．

【分析】作OM⊥GH于M，OM交EF于N，如图，先证明OM⊥EF，利用垂径定理得到EN＝FN，GM＝HM，利用四边形ABMN和四边形MNDC为矩形得到AN＝BM，DN＝CM，然后根据等线段代换得到BG+DF＝AE+CH．

【解析】作OM⊥GH于M，OM交EF于N，如图，

∵EF∥GH，

∴OM⊥EF，

∴EN＝FN，GM＝HM，

易得四边形ABMN和四边形MNDC为矩形，

∴AN＝BM，DN＝CM，

∴BG+DF＝BM﹣GM+DN﹣NF

＝AN﹣HM+CM﹣EN

＝AN﹣EN+CM﹣HM

＝AE+CH

＝6．

故答案为6．

16．（2019秋•秦淮区期末）如图，⊙O是一个油罐的截面图．已知⊙O的直径为5m，油的最大深度CD＝4m（CD⊥AB），则油面宽度AB为　4　m．

【分析】根据垂径定理和勾股定理进行解答即可．

【解析】连接OA，

由题意得，OA＝2.5m，OD＝1.5m，

∵CD⊥AB，

∴AD2m，

∴AB＝2AD＝4m，

故答案为：4．

17．（2019秋•泗阳县期末）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且CD⊥AB，垂足为D，CD＝4，OD＝3，则DB＝　2　．

【分析】连接OC，利用勾股定理求出OC即可解决问题．

【解析】连接OC．

∵CD⊥AB，

∴∠ODC＝90°，

∴OC＝OB5，

∴BD＝OB﹣OD＝5﹣3＝2，

故答案为2．

18．（2019秋•宿豫区期中）如图，⊙O的半径为5，OP＝3，过点P画弦AB，则AB的取值范围是　8≤AB≤10　．

【分析】过点P作CD⊥OP，⊙O于C，D．连接OC．利用勾股定理求出CD，可得点P的最短的弦，过点P的最长的弦即可解决问题．

【解析】过点P作CD⊥OP，交⊙O于C，D．连接OC．

∵OC＝5，OP＝3，∠OPC＝90°，

∴PC4，

∵OP⊥CD，

∴PC＝PD＝4，

∴CD＝8，

∴过点P的最短的弦长为8，最长的弦长为10，

即AB的取值范围是8≤AB≤10，

故答案为：8≤AB≤10．

三．解答题（共6小题）

19．（2019秋•苍南县期中）把一个球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知CD＝EF＝24cm，求这个球的直径．

【分析】过O作OG⊥AD于G交⊙O于H，求得GFEF＝12，设半径为r，则OG＝24﹣r，根据勾股定理即可得到结论．

【解析】过O作OG⊥AD于G交⊙O于H，

则GFEF＝12cm，

设半径为rcm，则OG＝24﹣r，

根据勾股定理得，（24﹣r）2+122＝r2，

解得：r＝15，

答：这个球的直径为30cm．

20．（2019秋•新北区期中）如图，A、B、C、D为⊙O上四点，若AC⊥OD于E，且2，请说明AB＝2AE．

【分析】由垂径定理可得，，AC＝2AE，再由，2，可得∴，即可得AB＝AC，所以 AB＝2AE．

【解析】∵AC⊥OD，

∴，AC＝2AE，

∵2，

∴，

∴AB＝AC，

∴AB＝2AE．

21．（2019秋•沛县期中）“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何”．这是《九章算术》中的问题，用数学语言可表述为：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE＝1寸，AB＝10寸，求直径CD的长．

【分析】根据垂径定理和勾股定理求解．

【解析】连接OA，如图所示，

设直径CD的长为2x，则半径OC＝x，

∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，AB＝10寸，

∴AE＝BEAB10＝5寸，

连接OA，则OA＝x寸，

根据勾股定理得x2＝52+（x﹣1）2，

解得x＝13，

直径CD的长为2x＝2×13＝26（寸）．

22．（2019秋•海淀区期中）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心．AB＝100m，C是上一点，OC⊥AB，垂足为D，CD＝10m，求这段弯路的半径．

【分析】根据题意，可以推出AD＝BD＝50，若设半径为r，则OD＝r﹣10，OB＝r，结合勾股定理可推出半径r的值．

【解析】设这段弯路的半径为r m，

∵OC⊥AB于D，AB＝100（m），

∴BD＝DAAB＝50（m）

∴CD＝10（m），

得OD＝r﹣10（m）．

∵Rt△BOD中，根据勾股定理有BO2＝BD2+DO2

即r2＝502+（r﹣10）2

解得r＝130（m）．

答：这段弯路的半径为130 m．

23．（2019秋•秦淮区期中）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D．

（1）求证AC＝BD；

（2）若AC＝3，大圆和小圆的半径分别为6和4，则CD的长度是　　．

【分析】（1）作CH⊥CD于H，如图，根据垂径定理得到CH＝DH，AH＝BH，利用等量减等量差相等可得到结论；

（2）连接OC，如图，设CH＝x，利用勾股定理得到OH2＝OC2﹣CH2＝42﹣x2，OH2＝OA2﹣AH2＝62﹣（3+x）2，则42﹣x2＝62﹣（3+x）2，然后解方程求出x即可得到CD的长．

【解答】（1）证明：作CH⊥CD于H，如图，

∵OH⊥CD，

∴CH＝DH，AH＝BH，

∴AH﹣CH＝BH﹣DH，

∴AC＝BD；

（2）解：连接OC，如图，设CH＝x，

在Rt△OCH中，OH2＝OC2﹣CH2＝42﹣x2，

在Rt△OAH中，OH2＝OA2﹣AH2＝62﹣（3+x）2，

∴42﹣x2＝62﹣（3+x）2，解得x，

∴CD＝2CH．

故答案为：．

24．（2019秋•东台市期中）如图，在⊙O中，直径为MN，正方形ABCD的四个顶点分别在半径OM、OP以及⊙O上，并且∠POM＝45°，若AB＝1．

（1）求OD的长；

（2）求⊙O的半径．

【分析】（1）由四边形ABCD 为正方形，得DC＝BC＝AB＝1，则∠DCO＝∠ABC＝90°，又∠DCO＝45°，CO＝DC＝1，求出OD；

（2）连接OA，构造直角三角形，求出AB和BO的长，然后利用勾股定理即可求出圆的半径．

【解析】（1）如图，

∵四边形ABCD 为正方形，

∴DC＝BC＝AB＝1，∠DCO＝∠ABC＝90°，

∵∠DCO＝45°，

∴CO＝DC＝1，

∴ODCO；

（2）BO＝BC+CO＝BC+CD1+1＝2，．

连接AO，

则△ABO 为直角三角形，

于是 AO．

即⊙O的半径为．