[数学教案]圆锥曲线(复习课)

教学目的

1．理解椭圆、双曲线的第一定义及椭圆、双曲线和抛物线的统一定义，并能利用定义求出与圆锥曲线有关的量，也能利用定义求出圆锥曲线方程．

2．掌握椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及相应图象，并掌握相应的性质：图形范围、对称性、顶点、长轴、短轴、实轴、虚轴、焦距、焦点、离心率、准线、渐近线．

3．掌握中心在(h，k)的椭圆和双曲线的方程及顶点在(h，k)的抛物线的方程及相应图形与性质(性质同2)．

4．掌握方程Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0所表示的曲线的分类．

5．理解解析几何用代数方法研究图形的几何性质的学习特点．

重点难点

重点一是熟练掌握圆锥曲线的标准方程及相应的图形和性质，以及中心在(h，k)的椭圆、双曲线和顶点在(h，k)的抛物线的方程及相应图形和性质，特别要注意形与数的一一对应．

重点二是掌握圆锥曲线的定义，能在已知条件合适时，自觉地想到利用定义求圆锥曲线方程，或利用定义求圆锥曲线有关的量．

难点在于不易利用平面几何知识选择最简便的方法去解决问题．解析几何固然是用代数方法研究几何问题，但毕竟它仍是几何问题，因而几何图形原有的性质也不能抛弃不用．

教学过程

椭圆、双曲线和抛物线是解析几何重点研究的曲线．

研究的主要内容是椭圆、双曲线和抛物线的形成，即它们的定义及相应的方程；又由方程的代数性质研究曲线的几何性质；圆锥曲线的一般方程是怎样分类的，从而知道它们可表示不同的圆锥曲线；经过平移后圆锥曲线的方程和相应性质．

在整个复习课的过程中，强调数形结合的思想方法，利用图形探索解题方法及解的不同情况，特别是有关中心在(h，k)的椭圆、双曲线和顶点在(h，k)的抛物线的问题，更要依据数形结合解决问题，而尽可能避免使用坐标平移公式．突出利用方程思想实施待定系数法求圆锥曲线方程．并注意利用定义得方程和求有关圆锥曲线的量．同时不能忽视平面几何的图形性质的利用．

一、复习定义

对于圆锥曲线的统一定义，圆锥曲线上一点到焦点的距离与到相应准线距离之比为正常数e，当0＜e＜1时，动点轨迹为椭圆；当e=1时，动点轨迹为抛物线；当e＞1时，动点轨迹为双曲线．(利用计算机《几何画板》演示随e的变化，动点曲线由椭圆到抛物线到双曲线的变化)．

例1　 抛物线y2=8px(p＞0)上一点M到焦点的距离为a，则点M到y轴的距离为______．

分析　 过M点作MH⊥y轴于H，则所求即|MH|．由定义知M点到焦点的距离a=M点到准线的距离，所以延长MH交准线于M′，则|MM′|=a，而抛物线顶点到准线的距离为2p，故|MH|=|MM′|-2p=a-2p．

例2　 双曲线实轴长为2a，过焦点F1的弦的两个端点A，B均在左支上，且|AB|=m，F2为右焦点，则△ABF2的周长是______．

分析　 由第一定义有|AF2|-|AF1|=2a，|BF2|-|BF1|=2a，两式相加得|AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)=4a，即|AF2|+|BF2|-|AB|=4a，所以|AF2|+|BF2|=4a+m，则△ABF2的周长=|AB|+|AF2|+|BF2|=m+4a+m=4a+2m．

 分析　 不妨设|PF1|=m，|PF2|=n，由第一定义知m+n=2a=20，又

 则P点坐标为______．

 例3　 一动圆与两已知圆O1：x2+y2+4x+3=0和圆O2：x2+y2-4x-5=0都内切，则动圆圆心轨迹为　　　 [　　　 ]

A．椭圆　　　　　　　　　　　　　　　　 B．双曲线一支

C．抛物线　　　　　　　　　　　　　　　 D．两条相交直线

分析　 整理⊙O1：(x+2)2+y2=1，⊙O2：(x-2)2+y2=9．从草图易知与⊙O1，⊙O2均内切的圆的半径R＞1且R＞3．设动圆圆心为P，由内切定义有|PO1|=R-1，|PO2|=R-3；两式相减得|PO1|-|PO2|=2，即动圆圆心P到两定点O1(-2，0)，O2(2，0)的距离之差为常数2，且2＜|O1O2|=4，因为|PO1|＞|PO2|，故P点轨迹是以O1，O2为焦点(即2c=4，c=2)，以2a=2(即实轴为2)的双曲线的右支，应选B．

评述　 由以上几例可知在求有关圆锥曲线的各个量时，经常需要用到圆锥曲线的定义(包括第一定义和第二定义)，因而利用定题的意识一定要加强，否则不考虑定义，往往会没有思路和方法，一筹莫展．

二、复习方程、图形及性质

(教师在黑板上画出中心在原点的两种椭圆和双曲线的图形，并画出顶点在原点的四种抛物线的图形．然后提问学生，让学生叙述这些图形的几何性质；范围，对称性，顶点，焦点，长轴，短轴，实轴，虚轴，焦距，准线，离心率，渐近线．还要复习“等轴双曲线”及“共轭双曲线”的概念)．

例4　 曲线x2+ky2=1的准线与y轴平行，则实数k的取值范围是　 [　　　 ]

A．(-∞，0)∪(1，+∞)　　　　　　　 B．(0，1)

C．(1，∞)　　　　　　　　　　　　　　　　 D．(-∞，0)

 这个双曲线的离心率等于　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [　　　 ]

A．2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．3

 分析　 由已知有2a+2c=2(2b)，即a+c=2b．即有了关于a，b，c的一个方程，再有关系式a2+b2=c2，即可确定离心率e，由(a+c)2=4b2，a2+b2=c2得a2+2ac+c2=4(c2-a2)，整理为3c2-2ac-5a2=0，方程两边同除以

 例5　 抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x-4y+12=0上，则此抛物线方程是______．

分析　 由已知抛物线为标准方程，且焦点在x轴上，则焦点纵坐标为0，而焦点又在直线3x-4y+12=0上，将y=0代入直线方程，得3x+12=0，

 =4，p=8，故抛物线方程为y2=-16x．

以m的值有3个，故选C．

本小题充分体现了分类讨论的思想．

 例20　 已知A，B是抛物线y2=4x上的两个点，O为坐标原点，若|OA|=|OB|，且抛物线的焦点恰为△AOB的垂心，则直线AB的方程是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [　　　 ]

A．x=2　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．x=3

C．x=5　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．x=6

分析　 因为△AOB中有|OA|=|OB|，A，B为抛物线y2=4x上的两个点，所以由抛物线关于x轴对称知，AB⊥x轴，也即A，B两点横的弦长等于　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [　　　 ]

 分析　 本题表面看是中心在(2，-1)的椭圆问题．但仔细分析所求的量“过已知椭圆的一个焦点且与它的长轴垂直的弦长”，不与椭圆位置有关，所以考虑中心在原点的与已知椭圆形状相同的椭圆，求出上述量

 本题要深入体会数形结合的数学思想，发现形的位置变化了，但其中一些量并未变化．

例6　 AB为经过抛物线y2=4x的焦点且倾角为45°的弦．则△AOB的面积是______．

分析　 由已知弦所在直线AB的方程为y=x-1．与y2=4x联立，消y

例7　 以椭圆的一个焦点F为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心O并且与椭圆交于M、N两点，若|MF|=|MO|，则椭圆的离心率为       　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 

 分析　 求离心率只需找到关于a，b，c的一个方程即可．本题在⊙F中，已知|MF|=|MO|，且|FO|=|FM|=r，所以|OM|=|OF|=c，由等边△=c2，化简为4a2b2-b2c2-3a2c2=0，将b2=a2-c2代入得4a2(a2-c2)-c2·(a2-c2)-3a2c2=0，化简为c4-8a2c2+4a4=0，方程两边同除以a4得e4-8e2+4=0，

 评述　 本题若设椭圆两焦点为F1，F2，连结MF2，MO，MF1．由等边△OMF2有|MO|=|MF2|=|OF2|=c，且|OF1|=c，则|F1F2|=2|MO|，一个三角形一边上的中线等于此边之半，则这个三角形为Rt△，即∠

 比较两种解法得到的a，b，c的方程，可知评述中的解法捷便得多．这就是充分利用圆锥曲线的定义及图形的平面几何性质的优越性．本例还可用许多方法得到a，b，c的不同方程来求e，但均不如评述中的方便简捷．

 例8　 抛物线x2=2y上离点A(0，a)(a＞0)最近的点恰好是顶点，该结论成立的充要条件是 [　　　 ]

A．a＞0　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．a≥1

 分析　 在抛物线x2=2y上任取一点P(x，y)，|PA|2=x2+(y-a)2=2y+(y-a)2=y2+(2-2a)y+a2(y≥0)，记y0=a-1．当P点为抛物线顶点O(0，0)时，即y=0时|PA|2取得最小值的充要条件是y0≤0，即a-1≤0，又已知a＞0，则a的取值范围是(0，1)，故选D．

评述　 自例11以后，问题都比较综合，涉及到直线、圆、函数、最值、平面几何、圆锥曲线定义等各方面知识，需要训练转化的数学思想，将条件逐步转化到已掌握的知识内容上去，从而使问题得以解决．(老师在引导学生寻找解题思路时，应着重渗透转化的数学思想)．

三、复习圆锥曲线的分类及中心在(h，k)的椭圆、双曲线和顶点在(h，k)的抛物线的方程及对应图形与性质．

(圆锥曲线的分类学生遗忘得比较厉害，还需认真复习知识点．)

中心在(h，k)的椭圆、双曲线和顶点在(h，k)的抛物线的方程及对应图形与性质的复习与“二”处相同，强调数形结合得性质，切忌死记硬背结论)．

例9　 若抛物线y2=a(x+1)的准线方程是x=-3，则这条抛物线的焦点坐标为　 [　　　 ]

A．(1，0)　　　　　　　　　　　　　　　 B．(2，0)

C．(3，0)　　　　　　　　　　　　　　　 D．(-1，0)

分析　 抛物线顶点在(-1，0)，到准线x=-3的距离为2，则焦点到顶点的距离也为2，故焦点坐标为(1，0)，应选A．

例10　 焦点是(2，1)和(2，-3)，半径轴长为3的椭圆方程是______．

 例29　 抛物线(y+2)2=4(x+a)的焦点坐标是(0，-2)，则a的值等于　　 [　　　 ]

A．-1　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．1

C．2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．-2

则顶点应为(-1，-2)，故-a=-1，即a=1，故选B．

例11　 平移坐标轴，把原点移至O′(-2，0)，在新坐标系中双曲线方程x2-2y2-2ax=0可化为标准方程则此双曲线在原坐标系中的渐近线方程是　    　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 

即中心在(a，0)，又依题设知中心为点(-2，0)，故a＝-2．所以双曲线已知双曲线方程求渐近线如本例，这样易掌握方法．方程为[    ]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 

A．y2＝18(x-5)　　　　　　　　　　　 B．y2＝8(x-5)

C．y2＝-36(x-5)　　　　　　　　　　　 D．y2＝-36(x+5)

分析　 已知双曲线的右焦点(5，0)，左顶点(-4，0)，即分别为所

 方程为y2＝-2p(x-5)＝-36(x-5)，应选C．

例12　 若k∈R，讨论方程(9-k)x2+(25-k)y2＝(9-k)(25-k)表示的曲线．

①当k＜9时，25-k＞0，9-k＞0，方程表示的曲线是椭圆．

②当k＝9时，方程化为(25-9)y2＝0，即y＝0，表示直线．

③9＜k＜25时，9-k＜0，25-k＞0，方程表示的曲线是双曲线．

④k＝25时，方程化为(9-k)x2＝0；即x＝0，表示直线．

⑤k＞25时，9-k＜0，25-k＜0，方程无轨迹．

能力训练

1．如图1，已知椭圆中心O是坐标原点，F为它的左焦点，A为左顶点，l1，l2为准线，l1交x轴于B；P，Q两点在椭圆上，且PM⊥l1于M，PN⊥l2于N，QF⊥OA，则下列比值等于椭圆离心率的有(　　　 )个． [　　　 ]

 A．1　　　 B．2      C．4　　D．5

2．已知P1(x1，y1)、P2(x2，y2)是抛物线y2＝2px(p＞0)上两个不同的点，则y1y2＝-p2是直线P1P2通过焦点的　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [　　　 ]

A．充分不必要条件　　　　　　　　 B．必要不充分条件

C．充要条件　　　　　　　　　　　　　 D．既不充分也不必要条件

 3．焦点在x轴上，以y轴为准线，且到点A(5，0)最近距离为

 A．y2＝2(x-1)　　　 B．y2＝4(x-1)    C．y2＝18(x-9)　　　D．y2＝36(x-9)

4．将抛物线y2＝4x进行平移，使其焦点变为(3，2)，则此时其顶点坐标变为　　 [　　　 ]

A．(4，2)　　　　 B．(2，2)     C．(1，2)　　　　D．(-1，2)

5．若a∈R，则方程x2+4y2sinα＝1所表示的曲线必定不是　　　 [　　　 ]

A．直线　　　　　　　　　　　　　　　　 B．圆

C．双曲线　　　　　　　　　　　　　　　 D．抛物线

6．有下列命题：

①圆(x-2)2+(y-1)2＝1关于点A(1，2)对称的圆的方程是(x-3)2+(y-3)2＝1；

 ③顶点在原点，对称轴是坐标轴，且经过点(-4，-3)的抛物线方程只

其中正确命题的序号为[  ]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

     A．②、④　　B．①、③    C．①、②　　D．③、④

7．点A的坐标为(2，3)，F为抛物线y2＝2x的焦点，P在抛物线上移动，若｜PA｜+｜PF｜取最小值，则P点的坐标是______．

8．双曲线的两条渐近线分别是3x-4y-2＝0和3x+4y-10＝0，一条准线为5y+4＝0，则双曲线方程是______．

9．过抛物线y2＝-4x的焦点且与直线y＝2x所成的角为45°的直线方程为______         ．

10．在坐标系XOY下，椭圆4x2+9y2+8x-36＝0与新轴x′和y′在正半轴处都相切，则新原点的旧坐标是______．

答案提示

1．C　　　 2．C　　　　 3．A　　　　 4．C　　　　 5．C

6．B　　　 7．C　　　　 8．C　　　　 9．C　　　　 10．A

10．3x+y+3＝0或x-3y+1＝0。         11．(-4，-2)

教案设计过程

圆锥曲线的高三复习课，本着小结知识点，尤其是学生容易遗忘的地方要着重再串讲为第一件事，然后通过例题将基本知识熟练起来．

例题的选择相当关键，要具有方法的体现，又有数学思想的体现．如本教案中利用定题的方法，待定系数法及利用平面几何的性质解题的方法在例题中均有突出反映．而数形结合的数学思想(老师在启发学生思考时均需首先按题画图)、方程的数学思想也很突出，分类讨论和转化的数学思想也有反映(在这些例题小结时，老师都应指出数学思想的应用)，例题应安排学生讨论或回答，有选择地重点讲，而不能平均使用时间．