数论4——杂题

1、求出所有满足条件的三位数，使得这个是三位数的平方的末三位就是原来这个三位数。

2、求最小的正整数n，满足，n恰有144个不同的正因数，且n的正因书中恰有10个连续整数

3、20！共有多少个正数因数？

4、把一个质数写在另一个与它不同的两位质数的后面，得到一个四位数，已知这个四位数恰好能被两个质数的和的一半整除。试求这样所有的四位数。

5、求的末三位数

6、自然数N恰好有12个正约数，将他们从小到大按照递增的顺序编号：。其中下标为的那个正约数恰好等于，试求自然数N。

7、用正整数q去除p，此处q≤100。在商p/q的十进制的表示中，有连续四个数的片段1982，证明除法计算错误。

8、考虑数轴上长度恰为一个片段，不包括左右两个端点。证明在这个连续片段中，分母不超过n的所有的最简分数的个数不超过

二、高斯函数【x】

1、证明：        ， 

2、证明： 

3、计算： 

4、求出的个位数字

5、设，求

6、解方程： 

7、解方程： 

8、解方程： 

9、求满足不等式：的最大正整数n。

10、求证对于正整数n，不能被7整除。

11、求所有的正数x， 

12、求中有多少个不同的正整数。

13、数列定义为，求

14、试证明：，其中n为正整数

三、杂题

1、设有10个自然数的和为1001，则他们的最大公约数的最大值为多少？

2、寻找所有的自然数n，使得都是十进制的有限小数

3、如果对所有整数m,n总能找到整数x,y使得，求证： 

4、已知一次函数y=kx+b上有一个点，证明一次函数上至多有两个有理点。

5、求证： 

6、求证： 

7、对正整数，令的最小值，其中为正实数，且和为17，求证存在唯一的n，使得为整数。

数论选讲

1、设正整数n使得2n+1和3n+1都是完全平方数，问5n+3是否可能为质数？

2、证明：在任何15个大于1且不超过2011的两两互质的正整数之中，至少存在一个质数。

3、求出所有的正整数n，使得n能被所有不大于的正整数整除。

4、证明：对于任意的正整数n， 

5、设正整数n≥4，证明：存在正整数a，使得，并且不能被整除。

6、已知正奇数：，满足。证明：。

7、证明：在坐标平面上，任意一条以整点为顶点，各边长均相等的闭折线均有偶数条边。

8、假设整数x,y,z满足等式：，证明：能被27整除。

9、试问：对于哪些正整数n，数是合数。

10、设m,n是正整数，试问，正整数最少有多少个不同的质因数？

11、设n是任意正整数，证明：必存在连续n个数，使得都是合数。