(完整)数学分析2重要知识小结(考研复习用)

第八章 不定积分

1、基本公式

 （1）        （2),

（3）                  (4) 

（5)            （6）    

（7）              （8) 

（9)            （10） 

（11）            (12)   

（13)             （14） 

（15)       (16)

（17)    (18）  

(19) .

注：应会用前面的公式及方法推出公式(13）-(19）.

2、积分法

（1) 公式法：直接用上面的公式及函数和与差的积分等于积分的和与差这一性质。

（2) 第一换元法(是将一个关于的函数换为一个变量）

 若,而，则

看到应想到： 

 ，。

(3)第二换元法（将变量换为一个函数）

  令，若则

1遇，令，

2遇，令，

3遇，令,。

4遇含有的式子，的最小公倍数为，令。

 (4）分部积分

设为的一个原函数,则

。

形如，，，的积分必须用分部积分。

注意：能用第一换元或分部积分就不用第二换元。

(5)三角有理式的积分

①：“有奇换元一，无奇就降幂"。

降幂公式:，.

②万能替换，此时  

(6) 有理函数及简单无理函数的积分

遇或，应先进行配方：

     ，令，消掉一次项。

对，根据情况利用三角换元进行计算。

 第九章 定积分

1、定积分定义

   定义：设是定义在上的一个函数，是一个确定的实数，若对于任意的，存在，对于的任意分法以及其上选取的点集，只要就有

       ,

称函数在上可积，称为在上的定积分,记为 

2定积分计算

牛顿莱布尼兹公式:设为的一个原函数,则

给出一个定积分,怎样计算呢?就看在不定积分中用什么方法.

但应注意：在第二换元积分中，新变量，用新限。

3定积分性质

(1）,

(2),

（3）,

（4)，

(5）.

 （6）积分第一中值定理

若在上连续，则至少存在一点，使得

。

（7） 推广的积分第一中值定理

若在上连续，在上可积且不变号,则至少存在一点，使得     

4、变限积分

(1)若连续，则

①                  ②

③

几个重要积分结果：

(1）

（2）

（3)设是以为周期的周期函数，则对于任意实数，有

（4）若为奇函数,则

。

（5）若为偶函数,则

第十章  定积分应用

1、平面区域面积

①在直角坐标系下

设区域由所围成

   。

②曲线用参数方程表示

设区域由，，，轴所围成。

③ 曲线用极坐标表示

设区域由，，所围成。

   .

2、截面积已知的体的体积

  (1） 设体在直线上的投影区域为，而过上每一点做直线的垂面去截体，所得截面积为,则该体的体积为

  (2)旋转体的体积

  由绕轴旋转一周后所得体的体积。

  若曲线为参数方程：绕轴旋转一周后所得体的体积

3、平面曲线的弧长

  (1）设曲线方程为：，则弧长为

     。

（2)设曲线方程为： 

  （3)设曲线方程为:,

4、旋转体的侧面积

  (1)旋转体是由曲线绕轴旋转一周所得

  (2) 旋转体是由曲线绕轴旋转一周所得

5、物理中的应用

 （1）液体静压力    (2）引力      （3）做功

注意书中的题和练习题。

第十一章 反常积分

1、无穷积分

(1)无穷积分的定义

 若存在，称此极限值为在上的无穷积分,记作

若极限不存在,称此积分发散。

(2）无穷积分收敛的判别法

定理1 无穷积分收敛的充要条件为：对于任意的，存在，对于任意的，有

       。

①非负函数的无穷积分收敛判别法

定理2 对于非负函数，若在任意区间上可积，且。则

     (i) 若收敛,则收敛.

     (ii)若发散，则发散。

定理3 若为非负函数，在任意区间上可积，且

        , 则有

      (i) 当，时，收敛,

      (ii)当时，发散.

②一般无穷积分的收敛判别法

定理4 绝对收敛必收敛.

定理5（阿贝尔判别法)若

    （i） 收敛，             (ii） 在单调有界,

则收敛。

定理6（狄利克雷判别法)若

    (i） 有界,         （ii) 在单调趋向于零，

则收敛。

（3）重要例子

，,则时收敛,时发散。（应会证明)

，,则时收敛，时发散。（应会证明）

2瑕积分

  定义:若函数在点的任何邻域内无界，称为的瑕点.瑕点一般为函数没有意义的点,然后判断在此点极限是否为，若为则是瑕点，否则不是瑕点。

(1）定义：设在上有定义，为瑕点，在任何区间上可积,若极限存在，称此极限为在上的瑕积分,记作

（2)瑕积分收敛判别法

定理1瑕积分（为瑕点）收敛的充要条件为:对于任意的，存在,对于任意的，有

       。

非负函数的瑕积分收敛判别法

定理2 对于非负函数，若在任意区间上可积，且.则

     (i) 若收敛，则收敛。

     (ii)若发散,则发散。

定理3 若为非负函数，在任意区间上可积,且

        , 则有

   （i) 当，时，收敛，

   （ii）当时,发散。

一般无穷积分的收敛判别法

定理4 绝对收敛必收敛。

定理5(阿贝尔判别法）若为瑕点

  （i) 收敛,          (ii） 在单调有界，

则收敛.

定理6（狄利克雷判别法)若

 (i) 当时，有界，   （ii) 当单调趋向于零,

则收敛.

(3)重要例子

若为瑕点，对于,时收敛，时发散.

若为瑕点，对于，时收敛，时发散。

第十二章 数项级数

1、数项级数的一般性质

定理1(柯西收敛准则）收敛的充要条件为对任意的存在，当时，对任意的自然数，有

.

定理2 去掉、添加或改变一个级数的有限项所得的新级数与原级数有相同的敛散性.

推论1 若级数收敛,则.

推论2若级数收敛，则有界。即存在，有

              ，

2、正项级数收敛判别法

定理3 正项级数收敛的充要条件为它的部分和数列有上界，即存在，有

          ，

定理4 (比较原则）对于正项级数若存在,当时有，则

     （i) 当收敛时，收敛，

     （ii） 当发散时,发散。

定理5对于正项级数若，则

      （i) 当时,与的敛散性相同,

      (ii）当时,若收敛时，则也收敛，

      （iii)当时，若发散，则也发散.

定理6 （比式判别法）对于正项级数,若，则

     (i） 若,则级数收敛，

     (ii) 若，则级数发散，

     （iii) 若，级数可能收敛也可能发散（此时无法用此性质判断）。

定理7(根式判别法)对于正项级数，若，则

     (i) 若，则级数收敛，

     （ii） 若,则级数发散,

     (iii） 若，级数可能收敛也可能发散（此时无法用此性质判断)。

注：判别正项级数的敛散性常用比式判别法或根式判别法，含阶乘(）常用比式方法；含数常用根式方法；若既有又有，常用比式方法。

定理8(积分判别法)设在上非负递减，则与具有相同的敛散性。

 3、交错级数收敛判别法

定理9 （莱布尼兹判别法）对于交错级数，若

     (i） ，       (ii）

则收敛.

4、一般级数收敛判别法

定理10 绝对收敛必收敛.

定理11（阿贝尔判别法） 若

 （i） 收敛，    (ii) 单调有界，

则收敛.

定理12(狄利克雷判别法) 若

 （i) 的部分和序列有界, （ii） 单调趋向于零，

则收敛。

5、重要级数的敛散性

（1) 等比级数（几何级数)，当时收敛,当时发散.

(2)级数，当时收敛，当时发散。

第十三章 函数列与函数项级数

1、函数列

(1)基本概念:收敛点:

对于函数列若数列

收敛,称为函数列的收敛点。

收敛域：所有收敛点的集合称为收敛域。

极限函数:设收敛域为,定义函数，定义域为。定义

      ，.

称为函数列在上的极限函数。

注：在上式的极限中,看作定值，在变化。

一致收敛：设函数列与在上有定义，若对任意的，存在，当时，对于中所有均有

称在上一致收敛于。

（2)一致收敛的判别法

定理1函数列在上一致收敛于的充要条件为

        。

其中在中，看作定值，为变量。

注：（1）若,且，则，

(2)若的最大值为（利用导数）,且，则

    (3） 未必是收敛域，它可能是收敛域的一个子区间。

(3）一致收敛函数列的性质

定理2 若

（i） （)在区间上连续， (ii） 在上一致收敛于,

则在上连续。

定理3若 (i）（）在区间上连续，

 （ii) 在上一致收敛于，

则在上可积,且

，即。

定理4 若

        (i)在区间上有一个收敛点,

        （ii) z在上连续，

        (iii）在上一致收敛。

则的极限函数在上可导,且。

2函数项级数

(1) 基本概念，

对于函数项级数，若收敛，称为的收敛点。

所有收敛点的集合称为收敛域。

和函数：设，若的极限函数为,称为的和函数

(2) 一致收敛的判别法

定理5设，函数项级数在数集上一致收敛于的充要条件为

定理6 (判别法或优级数判别法)对于函数项级数,若在上

（i),,      (ii)收敛。

则在上一致收敛。

注：此定理非常重要，对于一般函数项级数应首先看是否可用此定理.

定理7 (阿贝尔判别法)设

(i） 在上一致收敛

（ii）对于给定的，(看作定值，为变量）单调，

(iii) 在上一致有界，即存在,对所有及自然数,有

       .

则在上一致收敛。

定理8 （狄利克雷判别法)设

（i) 在上一致有界

(ii)对于给定的，（看作定值，为变量）单调,

(iii) 在上一致收敛于0,

则在上一致收敛。

（3)一致收敛的函数项级数的性质

定理9 若

(i），在上连续， (ii） 在上一致收敛于，

则在上连续，于是对于任意有

。

定理10若

(i)，在上连续，（ii） 在上一致收敛于，

则在上可积，且

.

定理11 若

（i)在上有收敛点，

（ii) ，在上连续,

(iii） 在上一致收敛,

则的和函数在上可导，且

第十四章 幂级数

1、幂级数的收敛半径求法

(1）对于幂级数,若中只有有限项为0.

          ,或,

则收敛半径

(2) 若中有无限项为0,设级数中的第项(不是项)为，

，或，

解不等式，所得的解集区间就是收敛区间,区间长的一半就是收敛半径。

2、幂级数的性质

定理1(阿贝尔定理） 

(i) 若幂级数在处收敛，则此级数在内每一点绝对收敛。

（ii) 若幂级数在处发散，则此级数在处处发散.

定理2幂级数在收敛域内内闭一致收敛。

定理3 

（1)幂级数的和函数在收敛域上连续,

（2） 幂级数的和函数在收敛域内的任意闭区间上可积，且可逐项积分，即对收敛域内的闭区间或,有

     ，。

（3) 幂级数的和函数在收敛区间上有任意阶导数，且

       。

定理4 幂级数经逐项积分和逐项求导后所得的新级数与原来的级数有相同的收敛半径，但收敛域未必相同。即下列三个级数的收敛半径相同。

                                        （1）

                                           (2)

                                      (3）

3、函数的幂级数展式

六个基本展式

(i）                          

（ii）        

(iii）     

（iv）               

(v）

（vi)                              

(vii)                     

4、求和函数的方法

(1） 若级数中不含阶乘（)，可利用逐项积分或逐项求导，除掉系数中的,利用公式（vi）或(vii）,求得和函数。

注：若在分母用导数,在分子用积分，有时需级数中乘以等,有时需级数中除以，以便利用公式。

(2) 若级数中含阶乘(）, 除了利用逐项积分或逐项求导将多余的去掉后，要利用公式（i)，(ii）,（iii）,（v）求得和函数。

注：若级数中仅含奇次幂，向靠，

若级数中仅含偶次幂，向靠，

若奇、偶次幂都有且系数全为正或正、负相间，向靠，

否则考虑。

第十五章 傅里叶级数

1、傅里叶展式的收敛情况：

  连续点除收敛于被展函数，间断点处收敛于该点函数左、右极限的平均值.

2、以为周期的函数的展式形状及系数计算公式

形状：        ～

系数计算公式：,             或，

                        或

                         或

3、以为周期的函数的展式形状及系数计算公式

形状：        ～

系数计算公式:，             

              ，          

               。         

4、奇、偶函数傅里叶展式的特点

 （1) 奇函数 

 系数:，，

展式：

（2） 偶函数 

 系数：，，

展式：

5、将半个周期上的函数展为傅里叶级数

(1) 若要求展为正弦级数 

 系数：,,

展式：

（2) 若展为余弦级数

 系数：,，

展式:

6、贝赛尔不等式

若在上可积,则

可知级数收敛,从而

从而得到黎曼-勒贝格定理：若在上可积，则

，