11-5 光的吸收与辐射的半经典理论

11.5 光的吸收与辐射的半经典理论

在光的照射下,原子可能吸收光而从低能级跃迁到高能级,或从较高能级跃迁到低能级并放出光.这现象分别称为光的吸收和受激辐射.实验上还观察到,如果原子本来处于激发能级,即使没有外界光的照射,也可能跃迁到某些较低能级而放出光来,这称为自发辐射.

对于光的吸收和受激辐射现象,可以在非相对论量子力学的框架中采用半经典方法来处理.在这里,原子是作为一个量子力学体系来对待,但辐射场仍用一个连续变化的经典电磁场来描述,并未进行量子化,即把光辐射场当作一个与时间有关的外界微扰.用微扰论来近似计算原子的跃迁速率.但对于自发辐射,这个办法就为力了.

11.5.1 光的吸收和受激辐射

为简单起见,先假设如射光为平面单色光,其电磁强度为

0cos(){t ω=−⋅=×E E k r B k E k (1)

在原子中,电子的速度 ,

磁场对电子的作用远小于电场作用.因此只需考虑电场的作用.此外,对于可见光波长远大于玻尔半径,在原子大小范围中,电场变化极微,可以看成均匀电场,即

c v <E r C

φ=−⋅+(2)

常数项对于跃迁无贡献,不妨略去.因此,入射可见光对于原子中电子的作用可表示为

0H cos cos e D E t W t φωω′=−=−⋅=(4)其中

0,W D E D er

=−⋅=−把

代入跃迁振幅的一级微扰公式(11.1节,式(31))H ′i i (1)i i 00

i()i()1e d e (e e )d i 2i e 1e 1[]2k k k k k k k k t t t t t t k k k k k k t t k k k k k k W C H t t W ωωωωωωωωωωωω′′′′−′′′+−′′′′==+−−=−++−∫∫ℏℏℏ(5)

对于可见光, 很大.对于原子的光跃迁,

也很大.ωk k ′ω

(5)式中的两项,只当

时,才有显著的贡献.为确切起见,下面讨论原子吸收光的跃迁, ,

此时,只当入射光

的情况下,才会引起 的跃迁.此时k k ′≈ωωk k E E >′ℏ)(k k k k E E −=≈′′ωωk k E E ′→i()(1)e 1()2k k t k k k k k k W C t ωωωω′−′′′−=−−ℏ(6)

因此从

的跃迁概率)(k k k ≠′→2222

2)1(]2)([]2)[(sin 4)()(ωωωω−−==′′′′′k k k k k k k k k k t W t C t P ℏ(7)当时间t 充分长以后,只有 的入射光才对 的跃迁有明显贡献.此时

k k ′≈ωωk k E E ′→22()(()2)4k k k k k k t P t W δωω′′′π=−ℏ(8)

而跃迁速率为

2202222202d ()()d 22cos ()2k k k k k k k k k k k k k k k k w P W D E t D E ωωωωθωω′′′′′′′′ππ==δ−=⋅δ−π=δ−ℏℏ

ℏ

(9)其中 是 与

的夹角.如入射光为非偏振光,光偏振( )

的方向是完全无规则的,因此把 换为它对空间各方向的平均值,即

θk k D ′0E 0E θ2cos 22

220011cos d cos d sin cos d 1344θθϕθθθππ=Ω==ππ∫∫∫所以2202()6k k k k k k w D E ωω′′′π=δ−ℏ(10)

这里

是角频率为 的单色光的电场强度值.以上讨论的是理想的单色光.自然界中不存在严格的单色光.对于这种自然光的跃迁,要对式(10)中各种频率的成分的贡献

求和.令

表示角频率为 的电磁辐射场的能量密度.利用0E ω)(ωρω22222200011()()84()11d cos ()48T E B E

E t t E T ρωωωω=

+=ππ==ππ

∫(11)可把式(10)中 换为 就得出非偏振自然光引起的跃迁速率.

20E d 8(),ωρωπ∫222222244()r ()33k k k k k k k k k k e w D ρωρω′′′′′ππ==ℏℏ(12)

可以看出,跃迁快慢与入射光中角频率为 的光强度 成比例.如入射光中没有这种频率成分,则不能引起 两能级之间的跃迁.跃迁速率还与

成比例,这就涉及初态与末态的性质.设

k k ′ω)(k k ′ωρk k E E ′↔2k k ′r 原子初态l nlm k )(,−=Π′=宇称原子末态l m l n k ′

−=Π′′′′=′)(,宇称(13)

考虑到

为奇宇称算符,只当宇称 时, 才不可能为零.由此得出电偶极辐射的宇称选择定则 宇称, 改变.其次考虑角动量的选择定则.再根据球谐函数的正交性,可以看出,只当

时 才可能不为0.此即电偶极辐射的角动量选择定则

r ΠΠ−=′k k ′r 1,,1±=′±=′m m m l l k k ′r (14)

1,0Δ,1Δ±=−′=±=−′=m m m l l l (15)计及电子自旋及自旋-轨道耦合作用后,电子的状态

应该用好量子数

来描述.可以证明,电偶极辐射的选择定则为

宇称, 改变

j nljm 1,0Δ;1,0Δ1

Δ±=±=±=j m j l (16)

11.5.2 自发辐射的Einstein 理论

前已提及,原子自发辐射现象,在非相对论力学框架内是无法解释的.因为按照量子力学一般原理,如无界作用,原子的Hamilton 量是守恒量,如果初始时刻原子处于某定态,则原子将保持在该定态,不会跃迁到低能级去.

Einstein (1917)曾经提出一个很巧妙的半惟象理论来说明原子自发辐射与吸收和受激辐射之间的关

系.按前面讨论,在强度为

的辐射的照射下,原子从 态到 态的跃迁速率为(设 ) )(ωρk k ′k

k E E >′)(k k k k k k B w ′′′=ωρ(17)

其中22

224r 3k k k k e B ′′π=ℏ(18)

称为吸收系数.与此类似,对于从 态的受激辐射,跃迁速率为k k →′)(k k k k k k B w ′′′=ωρ(19)其中22224r 3k k k k e B ′′π=ℏ

(20)称为受激辐射系数.由于

为厄米算符,所以r k k k k B B ′′=即受激辐射系数等于吸收系数.它们都与入射强度无关.

设处于平衡态下的体系的绝对温度为T ,

和 分别为处于能级

和 上的原子数目.按Boltzmann 分布律k n k n ′k E k E ′

()e e E E k k k k kT kT k k n n ω−′′′==ℏ(22)

式中k 为Boltzmann 常数.显然,对于 ,粒子数(正常情况下, ),

因此k k E E ≠′k k n n ′≠k k n n <′)()(k k k k k k k k k k B n B n ′′′′′≠ωρωρ(23)因此,如只有受激辐射,就无法与吸收过程达到平衡.出自平衡的要求,必须引进自发辐射,即在式(23)右边再加上一项,使体系能达到热平衡

()[()]k k k k k k kk k k kk n B n B A ρωρω′′′′′′=+(24)k k A ′称为自发辐射系数.它表示在没有外界光的照射之

下,单位时间内原子从

态 态的跃迁概率 k ′k →)(k k E E >′

式(24)左边是单位时间内从

到 跃迁的原子数目,右边则是单位时间内从

跃迁的原子数目.k E k E ′k k E E →′利用式(21)、（22）与(24),得

11()11

k k kk kk k k kT kk k k kk T kk kk k k A A B n n B e A kT B ωρωω′′′′′′′→∞′′′==−−⎯⎯⎯→ℏℏ(25)

在高温极高情况下,有大量原子处于激发能级,物体可以吸收和发射各种频率的辐射,接近于完全

黑体,此时( ),

可以用Rayleigh-Jeans 公式来描述与黑体达到平衡的辐射场的强度分布,即

k k kT ′>>ωℏ

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)11.5 光的吸收和辐射的半经典理223()kT c

ωρω=π(26)323kk k k kk A B c ω′′′=πℏ比较式(25)与(26),得

(27)

再利用式(20),就求出了自发辐射系数

23234r 3k k k k kk e A c ω′′′=ℏ(28)

自发辐射的选择定则,与受激辐射和吸收完全相同.