北师大版初中几何知识点总结完整版

七年级上：基本平面图形

考点一　几何体的三视图

1.生活中的立体图形：几何图形的各部分不在同一平面内，属于立体图形，柱体（圆柱、棱柱），椎体（圆锥、棱锥）球体

2.几何图形的构成：点动成线，线动成面、面动成体

3.棱柱顶点、棱、面之间的关系：地面多边形的边数n确定该棱柱是n棱柱，有2n个顶点，3n条棱，其中有n条侧棱，有（n+2)个面，有n个侧面；

4.展开与折叠：动手制作与空间想象结合，展开图形不唯一；

5.从三个方向看物体形状：正面、上面和左面

考点二　认识线段、直线、射线

1.概念

1）线段：具有两个端点的直线（直的、有两个端点）

2）射线：将线段向一个方向无限延长形成射线（直的、有一个端点、向一方无限延长）

3）直线：将线段向两个方向无限延长（直的、没有端点、无限延伸）

2.比较线段的长短：直尺（度量法）、叠合法

考点三　角与角平分线

1.角的定义：由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的顶点，这两条射线叫做角的边。

2.角的表示方法：，，，，

3.角的分类：直角、锐角、钝角

4.角的单位换算：，

5.时针分针的夹角计算

6.角的比较：度量法（量角器），叠合法

7.角平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线；

考点四　多边形和圆的初步认识

1.多边形的概念：由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形叫做多边形；

2.正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形；

3.圆、圆形、扇形、圆心角

4.圆心角度数的计算、扇形面积的计算（）

5.多边形的分割：一个顶点出发有（n-3)条对角线，这些对角线将它分成（n-2)个三角形

七年级下：相交线与平行线

考点一　两条直线的位置关系

1.相交平行的概念：在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种，若两条直线相交只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线，不相交的两条直线为平行线。

2.对顶角概念及其性质：对顶角相等

3.余角、补角性质：如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角；如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角；同角或等角的余角和补角相等；

4.垂直的概念：两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线相互垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.

5.垂线的性质：平面内，过一点有且只有一条直线与已知线垂直；直线外一点与直线上个点连接的所有线段中，垂线段最短；

6.点到直线的距离：过点A做直线的垂线，垂足为点B，则线段AB的长度叫做点A到直线的距离，此时线段AB叫垂线段。

考点二　直线平行的条件及平行线的性质

1.判定：两直线被第三条直线所截，同位角、内错角、同旁内角相等，则两直线平行；

2.性质：两直线平行，被第三条直线所截，则同位角、同旁内角、内错角相等；

考点三　用尺规作角

1.直尺功能：在两点间连接一条线段或过平面上的两点画直线，也可作射线和线段

2.圆规功能：以平面上任意一点为圆心，任意长为半径做圆或圆弧，也可在直线上截取一线段，使它等于已知线

段；

3.作已知角和、差、倍角

七年级下：三角形

考点一　认识三角形

1.三角形按角的分类

1）锐角三角形：三个角都是锐角

2）直角三角形：有一个内角是直角

3）钝角三角形：有一个内角是钝角

2.三角形三边关系

1）三角形任意两边之和大于第三边

2）三角形任意两边之差小于第三边

3.三角形的重心、垂心、内心、外心

1）重心：三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心；

2）垂心：三角形的三条高交于一点，这点称为三角形的垂心；

3）内心：三角形的三条角平分线交于一点，这点称为三角形的内心；

4）外心：三角形三边的垂直平分线交于一点，这点称为三角形的外心；

考点二　图形的全等及应用

1.全等图形的概念：能够完全重合的两个图形称为全等图形（面积、周长、形状大小均相等）；

2.全等的表示方法：   与  全等，用全等符号表示为  

3.全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等

4.三角形全等的条件

1）三边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”

2）两角及夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”

3）两角分别对应相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”

5.应用：利用两个三角形全等间接测量不能到达或不能直接测量的两点之间的距离。

七年级下：轴对称

考点一　轴对称的现象及性质

1.轴对称概念：如果一个平面沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做轴对称；

2.性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等；

3.作图：画出已知图形的轴对称图形，首先确定对称轴，然后找出对称点；

考点二　简单的轴对称图形

3.等腰三角形：有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，第三边叫做底边；

4.等边三角形：三边相等的三角形是等边三角形，也叫正三角形；

5.线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴；

6.角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴；

考点三　利用对称轴进行设计

1.剪纸的认识

2.剪纸图案：剪纸是经过纸的折叠、剪切后得到的，所以得到的图案都是轴对称图形；

考点二   轴对称与坐标变化

1.坐标对称特点：X轴对称：横坐标相同，纵坐标互为相反数；Y轴对称：纵坐标相同，横坐标互为相反数；原点对称：横纵坐标互为相反数；

2.根据点对称作轴对称图形；

八年级上：勾股定理

考点一　认识勾股定理及其逆定理

1.勾股定理概念：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，即（a、b为直角边，c为斜边）

2.勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足，那么这个三角形是直角三角形；

3.勾股定理的验证：图形的割补、拼接、面积方法证明；

4.利用勾股定理求直角边长或斜边长；

考点二   勾股定理的应用

7.题型一：判别三角形的形状

8.题型二：利用已知的实际条件构造直角三角形求梯子或旗杆长度（数形结合）

9.题型三：翻折问题，建立方程组求解线段长（方程思想）

10.题型四：立体图形上的最短路线问题（转化法）

八年级上：平行线的证明

考点一　平行线的判定及性质

1.同位角相等，两直线平行；两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等；

2.内错角相等，两直线平行；两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等；

3.同旁内角相等，两直线平行；两条平行直线被第三条直线所截，同旁内相等；

考点二　三角形的内角和定理

1.三角形的内角和等于180°

2.角的相等关系，即三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

3.三角形内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角称为三角形的外角（三角形内角的邻补角）

4.角的不等关系，即三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角

八年级下：三角形的证明

考点一　等腰/等边三角形性质定理及判定

1.定理：等腰三角形的两地角相等（等边对等角）

2.推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合，这一性质称为“三线合一”

3.判定定理：三角形的两个角相等为等腰三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；

4.判定方法：通常采用构造全等三角形进行证明角相等或边相等；

考点二　直角三角形性质定理及判定

1.性质定理：直角三角形的两个锐角互余

2.判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形

3.勾股定理：直角三角形两条直角边的平方等于斜边的平方

4.勾股定理逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形；

5.斜边、HL定理：斜边和一条直角边分别相等的两个三角形全等；

考点三　垂直平分线与角平分线

1.垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；

2.判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上

3.角平分线定理：角平分线的点到这个角的两边的距离相等；

4.判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；

5.三角形的角平分线性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等；

八年级下：图形的平移与旋转

考点一　图形的平移与旋转

1.平移定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移；

2.性质：平移后两个图形全等，对应边平行且相等，对应角相等；

3.平移的作图步骤与方法（解题、描关键点、确定方向和距离、连接各关键点）

4.图形平移与坐标的变化：水平移动纵坐标不变，横坐标加移动距离；竖直移动横坐标不变，纵坐标加移动距离；

5.旋转定义：在平面内，将一个图形绕一个顶点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个顶点称为旋转中心，转动的角称为旋转角（旋转不改变图形的形状和大小）

6.性质：旋转后，对应线段及角相等，任一祖对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等；

7.旋转作图步骤与方法：确定旋转中心、旋转方向、旋转角，确定图形关键点，连接关键点；

考点二　中心对称

1.概念：如果把一个图形绕着某一点旋转180°，它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它们的对称中心；

2.性质：成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分；

3.应用：作与已知图形关于对称中心成中心对称的图形；

九年级上：特殊平行四边形

考点一　菱形/矩形/正方形的性质与判定

1.定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形；

2.性质：

1）具有一般平行四边形的所有性质

2）菱形的四条边相等

3）菱形的对角线互相垂直

3.判定

1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形

2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形

3）四边相等的四边形是菱形

4.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形

5.性质：矩形的四个角都是直角；

6.判定：

1）有一个角是直角的平行四边形是矩形

2）对角线相等的平行四边形是矩形

7.定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形

8.性质：

1）正方形的对边平行，四个角是直角，四条边相等

2）正方形的对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角

9.判定

1）有一组邻边相等的矩形是正方形

2）对角线互相垂直的矩形是正方形

3）有一个角是直角的菱形是正方形

4）对角线相等的菱形是正方形

考点二　图形的相似及视图

1.平行分线段成比例

2.三角形相似定义：三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形；

3.相似判定方法：

1）两个角分别对应相等的两个三角形相似

2）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似

3）三边成比例的两个三角形相似

4.动点问题考察

5.旗杆、影子、镜面反射求长度问题；

6.相似三角形的性质：

1）对应边成比例，对应角相等

2）周长比等于相似比

3）面积比等于相似比的平方

7.三视图的观测

九年级下：三角函数

考点一　锐角三角函数

1.正切：，等于角A的对边比角A的邻边；

2.正弦：，等于角A的对边比三角形的斜边；

3.余弦：，等于角A的邻边比三角形的斜边；

4.商数关系：；平方关系：；余角关系：,

5.特殊角三角函数值：

1）正弦：°=，°=，°=

2）余弦：°=，°=，°=

3）正切：°=，°=1，°=

6.三角函数的应用：

1）方向角

2）非直角三角形中的边与角

3）测高

九年级下：圆

考点二　圆的基本认识

1.圆的概念

2.点与圆的位置关系：点在圆上、点在圆内、点在圆外

3.确定圆的条件：圆的位置、圆心、圆的大小

4.圆弧：优弧、劣弧

5.圆具有对称性，中心对称；

6.圆心角：角的顶点在圆心，角的两边与圆有两个交点，这样的角叫圆心角

7.弦心距：圆心到弦的距离或圆心到弦的垂线段的长

考点二　垂径定理及圆心角

1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧；

2.平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；

3.圆心角和圆周角的关系：圆周角的度数等于它所对的圆心角度数的一半，这一结论称为圆周角定理；

4.圆周角定理推论

1）同弧对的圆周角相等

2）直径所对的圆周角是直角

3）90°的圆周角所对的弦是直径

4）圆内接四边形的对角互补

考点三　直线、多边形与圆的关系

1.三种关系：相离、相切、相交

2.切线的判定：

1）直线与圆只有一个公共点

2）圆心到直线的距离等于半径

3）过半径外端且垂直余这条半径的直线是圆的切线

3.切线的性质：

1）圆的切线垂直于过切点的半径

2）辅助线：连接切点和圆心

3）利用切线性质进行有关的计算、证明

4.切线长定理：过圆外一点画圆的两条切线，他们的切线长相等

5.圆的外接四边形的性质：圆外切四边形两组对边之和相等

6.圆内接正多边形：正N边形的中心角为

考点四　圆的面积

1.弧长公式：

2.面积公式：