力学 临界与极值问题

在应用牛顿运动定律解决动力学问题中，当物体运动的加速度不同时，物体有可能处于不同的状态，特别是题目中出现“最大”、“最小”、“刚好”等词句时，往往会有临界现象。此时要用极限分析法，看物体不同加速度时，会有哪些现象发生，找出临界点，求出临界条件。

解决此类问题重在形成清晰的物理图景，分析清楚物理过程，从而找出临界条件或达到极值的条件，要特别注意可能出现的多种情况。在解决临办极值问题注意以下几点：

1.许多临界问题常在题目的叙述中出现“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”……等词句对临界问题给出了明确的暗示，审题是只要抓住这些特定词语其内含规律就能找到临界条件。

2.临界点的两侧，物体的受力情况、变化规律、运动状态一般要发生改变，能否用变化的观点正确分析其运动规律是求解这类题目的关键，而临界点的确定是基础。

3.临界问题通常具有一定的隐蔽性，解题灵活性较大，审题时应力图还原习题的物理情景，抓住临界状态的特征，找到正确的解题方向。

4.确定临界点一般用极端分析法，即把问题（物理过程）推到极端，分析在极端情况下可能出现的状态和满足的条件。

典例1

如图所示，一轻绳上端系在车的左上角的A点，另一轻绳一端系在车左端B点，B点在A点正下方，A、B距离为b，两绳另一端在C点相结并系一质量为的小球，绳AC长度为，绳BC长度为。两绳能够承受的最大拉力均为2。求：

(1)绳BC刚好被拉直时，车的加速度是多大?

(2)为不拉断轻绳，车向左运动的最大加速度是多大?（要求画出受力图）

【精析】对物体受力分析，从而确定在各个临界点的情况，是解决本题的关键。

（1）绳BC刚好被拉直时，小球受力如图所示

因为AB=BC=b，AC=b

故 绳BC方向与AB垂直，  θ=450   

由牛顿第二定律，得    mgtanθ=ma    

 可得   a=g    

（2）小车向左加速度增大，AB、BC绳方向不变，所以AC绳拉力不变，BC绳拉力变大，BC绳拉力最大时，小车向左加速度最大，小球受力如图

   由牛顿第二定律，得 Tm+ mgtanθ=mam   

   因这时  Tm=2mg，所以最大加速度为  am=3g.    

典例2

如图所示，一个弹簧台秤的秤盘质量和弹簧质量都不计，盘内放一个物体P处于静止，P的质量m=12kg，弹簧的劲度系数k=300N/m。现在给P施加一个竖直向上的力F，使P从静止开始向上做匀加速直线运动，已知在t=0.2s内F是变力，在0.2s以后F是恒力，g=10m/s2,则F的最小值是多少？F的最大值是多少？

【精析】从受力的角度来讲，两物体分离时的条件是两物体间的正压力为零；从运动学的角度来讲，一起运动的两物体恰好分离时，两者在垂直于接触面方向的速度和加速度仍然相等.这两个角度有时单独适用，有时则需要同时考虑.

因为在t=0.2s内F是变力，在t=0.2s以后F是恒力，所以在t=0.2s时，P离开秤盘。此时P受到盘的支持力为零，由于盘和弹簧的质量都不计，所以此时弹簧处于原长。在0____0.2s这段时间内P向上运动的距离：

x=mg/k=0.4m

因为，所以P在这段时间的加速度

当P开始运动时拉力最小，此时对物体P有N-mg+Fmin=ma,又因此时N=mg，所以有Fmin=ma=240N.

当P与盘分离时拉力F最大，Fmax=m(a+g)=360N.