2008年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学理

数学（理）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷（选择题共60分）

参考公式：

如果事件A，B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)

如果事件A，B相互，那么P(A·B)=P(A)·P(B)

如果事件在一次试验中发生的概率是，那么次重复试验中事件恰好发生次的概率

球的表面积公式      其中表示球的半径

球的体积公式        其中表示球的半径

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，则集合＝（    ）

A．    B．    C．    D． 

2．（    ）

A．    B．    C．1    D．2

3．圆与直线没有公共点的充要条件是（    ）

A．    B． 

C．    D． 

4．复数的虚部是（    ）

A．    B．    C．    D． 

5．已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足，则（    ）

A．    B．    C．    D． 

6．设P为曲线C：上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为（    ）

A．    B．    C．    D． 

7．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（    ）

A．    B．    C．    D． 

8．将函数的图象按向量平移得到函数的图象，则（    ）

A．    B．    C．    D． 

9．一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看。现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有（    ）

A．24种    B．36种    C．48种    D．72种

10．已知点P是抛物线上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（    ）

A．    B．    C．    D． 

11．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1、EF、CD都相交的直线（    ）

A．不存在    B．有且只有两条    C．有且只有三条    D．有无数条

12．设是连续的偶函数，且当x>0时是单调函数，则满足的所有x之和为（    ）

A．    B．    C．    D． 

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

13．函数的反函数是__________。

14．在体积为的球的表面上有A，B，C三点，AB=1，BC=，A，C两点的球面距离为，则球心到平面ABC的距离为_________。

15．已知的展开式中没有常数项，，且2≤n≤8，则n=______。

16．已知，且在区间有最小值，无最大值，则＝__________。

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）

在中，内角对边的边长分别是，已知，。

（Ⅰ）若的面积等于，求；

（Ⅱ）若，求的面积。

18．（本小题满分12分）

某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近100周的统计结果如下表所示：

（Ⅱ）已知每吨该商品的销售利润为2千元，表示该种商品两周销售利润的和（单位：千元）。若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互，求的分布列和数学期望。

19．（本小题满分12分）

如图，在棱长为1的正方体中，AP=BQ=b（0＜b＜＜1），截面PQEF∥，截面PQGH∥。

（Ⅰ）证明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直；

（Ⅱ）证明：截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值，并求出这个值；

（Ⅲ）若与平面PQEF所成的角为，求与平面PQGH所成角的正弦值。

20．（本小题满分12分）

在直角坐标系中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为，直线与C交于A，B两点。

（Ⅰ）写出C的方程；

（Ⅱ）若，求k的值；

（Ⅲ）若点A在第一象限，证明：当k>0时，恒有||＞||．

21．（本小题满分12分）

在数列，中，a1=2，b1=4，且成等差数列，成等比数列（）

（Ⅰ）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测，的通项公式，并证明你的结论；

（Ⅱ）证明：。

22．（本小题满分14分）

设函数。

（Ⅰ）求f(x)的单调区间和极值；

（Ⅱ）是否存在实数a，使得关于x的不等式的解集为（0，+）？若存在，求a的取值范围；若不存在，试说明理由。

参

1．D    2．B    3．C    4．B    5．A    6．A

7．C    8．A    9．B    10．A   11．D   12．C

13．    14．    15．5    16． 

17．解：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，，

又因为的面积等于，所以，得。

联立方程组  解得，。

（Ⅱ）由题意得，

即，

当时，，，，，

当时，得，由正弦定理得，

联立方程组解得，。

所以的面积。

18．解：（Ⅰ）周销售量为2吨，3吨和4吨的频率分别为0.2，0.5和0.3。

（Ⅱ）的可能值为8，10，12，14，16，且

P（ξ=8）=0.22=0.04，P（ξ=10）=2×0.2×0.5=0.2，P（ξ=12）=0.52+2×0.2×0.3=0.37，

P（ξ=14）=2×0.5×0.3=0.3，P（ξ=16）=0.32=0.09．

ξ的分布列为

19．解法一：

（Ⅰ）证明：在正方体中，，，又由已知可得

，，，

所以，，所以平面。

所以平面和平面互相垂直。

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，又截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且PQ=1，所以截面PQEF和截面PQGH面积之和是，是定值。

（III）解：连结BC′交EQ于点M．

因为，，所以平面和平面PQGH互相平行，因此与平面PQGH所成角与与平面所成角相等。

与（Ⅰ）同理可证EQ⊥平面PQGH，可知EM⊥平面，因此EM与的比值就是所求的正弦值。

设交PF于点N，连结EN，由知

。

因为⊥平面PQEF，又已知与平面PQEF成角，

所以，即，

解得，可知E为BC中点。

所以EM=，又，

故与平面PQGH所成角的正弦值为。

解法二：以D为原点，射线DA，DC，DD′分别为x，y，z轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系D－xyz由已知得，故，，，，，，，，，。

（Ⅰ）证明：在所建立的坐标系中，可得，

，。

因为，所以是平面PQEF的法向量。

因为，所以是平面PQGH的法向量/

因为，所以，所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直。

（Ⅱ）证明：因为，所以，又，所以PQEF为矩形，同理PQGH为矩形。

在所建立的坐标系中可求得，，

所以，又，所以截面PQEF和截面PQGH面积之和为，是定值。

（Ⅲ）解：由已知得与成角，又可得

，即，解得。

所以，又，所以与平面PQGH所成角的正弦值为

。

20．解：（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦点，长半轴为2的椭圆。它的短半轴，

故曲线C的方程为。

（Ⅱ）设，其坐标满足

消去y并整理得，故。

若，即。

而，于是，

化简得，所以。

（Ⅲ）

。

因为A在第一象限，故．由知，从而。

又，故，即在题设条件下，恒有。

21．解：（Ⅰ）由条件得，由此可得

。

猜测。

用数学归纳法证明：

①当n=1时，由上可得结论成立。

②假设当n=k时，结论成立，即，

那么当n=k+1时，。

所以当n=k+1时，结论也成立。

由①②，可知对一切正整数都成立。

（Ⅱ）。

n≥2时，由（Ⅰ）知。

故

综上，原不等式成立。

22．解：（Ⅰ）。

故当时，，时，。

所以在单调递增，在单调递减。

由此知在的极大值为，没有极小值。

（Ⅱ）（ⅰ）当时，由于，

故关于的不等式的解集为。

（ⅱ）当时，由知，其中为正整数，且有

。

又时，。且。

取整数满足，，且，

则，

即当时，关于的不等式的解集不是。

综合（ⅰ）（ⅱ）知，存在，使得关于的不等式的解集为，且的取值范围为。