2008年辽宁省高考数学试卷(理科)

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1、（2008•辽宁）已知集合，则集合{x|x≥1}为（　　）

    A、M∩N        B、M∪N

    C、CR（M∩N）        D、CR（M∪N）

2、（2008•辽宁）等于（　　）

    A、        B、

    C、1        D、2

3、（2008•辽宁）圆x2+y2=1与直线y=kx+2没有公共点的充要条件是（　　）

    A、        B、

    C、        D、

4、（2008•辽宁）复数的虚部是（　　）

    A、        B、

    C、        D、

5、（2008•辽宁）已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足，则等于（　　）

    A、        B、

    C、        D、

6、（2008•辽宁）设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围是（　　）

    A、        B、[﹣1，0]

    C、[0，1]        D、

7、（2008•辽宁）4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（　　）

    A、        B、

    C、        D、

8、（2008•辽宁）将函数y=2x+1的图象按向量a平移得到函数y=2x+1的图象，则a等于（　　）

    A、（﹣1，﹣1）        B、（1，﹣1）

    C、（1，1）        D、（﹣1，1）

9、（2008•辽宁）生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看，现从甲乙丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲丙两工人中安排1人，则不同的安排方案有（　　）

    A、24种        B、36种

    C、48种        D、72种

10、（2008•辽宁）已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（　　）

    A、        B、3

    C、        D、

11、（2008•辽宁）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线（　　）

    A、不存在        B、有且只有两条

    C、有且只有三条        D、有无数条

12、（2008•辽宁）设f（x）是连续的偶函数，且当x＞0时f（x）是单调函数，则满足的所有x之和为（　　）

    A、﹣3        B、3

    C、﹣8        D、8

二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）

13、（2008•辽宁）函数的反函数是　_________　．

14、（2008•辽宁）在体积为的球的表面上有A，B，C三点，两点的球面距离为，则球心到平面ABC的距离为　_________　．

15、（2008•辽宁）已知的展开式中没有常数项，n∈N*，2≤n≤8，则n=　_________　．

16、（2008•辽宁）已知f（x）=sin（ω＞0），f（）=f（），且f（x）在区间上有最小值，无最大值，则ω=　_________　．

三、解答题（共6小题，满分74分）

17、（2008•辽宁）在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c．已知．

（1）若△ABC的面积等于，求a，b；

（2）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC的面积．

18、（2008•辽宁）某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近100周的统计结果如下表所示：

（2）已知每吨该商品的销售利润为2千元，ξ表示该种商品两周销售利润的和（单位：千元），若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互，求ξ的分布列和数学期望．

19、（2008•辽宁）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AP=BQ=b（0＜b＜1），截面PQEF∥A′D，截面PQGH∥AD′．

（1）证明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直；

（2）证明：截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值，并求出这个值；

（3）若D′E与平面PQEF所成的角为45°，求D′E与平面PQGH所成角的正弦值．

20、（2008•辽宁）在直角坐标系xOy中，点P到两点的距离之和为4，设点P的轨迹为C，直线y=kx+1与C交于A，B两点．

（1）写出C的方程；

（2）若，求k的值；

（3）若点A在第一象限，证明：当k＞0时，恒有．

21、（2008•辽宁）在数列{an}，{bn}中，a1=2，b1=4，且an，bn，an+1成等差数列，bn，an+1，bn+1成等比数列．

（1）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论；

（2）证明：．

22、（2008•辽宁）设函数．

（1）求f（x）的单调区间和极值；

（2）是否存在实数a，使得关于x的不等式f（x）≥a的解集为（0，+∞）？若存在，求a的取值范围；若不存在，试说明理由．

答案与评分标准

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1、（2008•辽宁）已知集合，则集合{x|x≥1}为（　　）

    A、M∩N        B、M∪N

    C、CR（M∩N）        D、CR（M∪N）

考点：交、并、补集的混合运算。

分析：由题意知，N={x|x≤﹣3}，分别解出集合M，N，然后根据交集的定义判断集合{x|x≥1}与M，N的关系．

解答：解：依题M={x|﹣3＜x＜1}，N={x|x≤﹣3}，

∴M∪N={x|x＜1}，

∴CR（M∪N）={x|x≥1}，

故选D．

点评：此题主要考查一元二次不等式的解法及集合的交集及补集运算，一元二次不等式的解法及集合间的交、并、补运算布高考中的常考内容，此题是其逆用已知集合元素的关系，求集合的关系，是一道好题．

2、（2008•辽宁）等于（　　）

    A、        B、

    C、1        D、2

考点：极限及其运算；等差数列的前n项和。

专题：计算题。

分析：分子1+3+5+…+（2n﹣1）是一个等差数列的求和，利用等差数列求和公式求出，再求极限

解答：解：依题

故选B

点评：本小题主要考查对数列极限的求解．

3、（2008•辽宁）圆x2+y2=1与直线y=kx+2没有公共点的充要条件是（　　）

    A、        B、

    C、        D、

考点：直线与圆相交的性质。

分析：当圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆没有公共点，这是充要条件．

解答：解：依题圆x2+y2=1与直线y=kx+2没有公共点

故选C．

点评：本小题主要考查直线和圆的位置关系；也可以用联立方程组，△＜0来解；是基础题．

4、（2008•辽宁）复数的虚部是（　　）

    A、        B、

    C、        D、

考点：复数的代数表示法及其几何意义。

分析：本小题主要考查复数的相关运算及虚部概念．

解答：解：依题：∴虚部为

故选B．

点评：本题是对基本概念的考查．

5、（2008•辽宁）已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足，则等于（　　）

    A、        B、

    C、        D、

考点：向量加减混合运算及其几何意义。

分析：本小题主要考查平面向量的基本定理，把一个向量用平面上的两个不共线的向量来表示，这两个不共线的向量作为一组基底参与向量的运算，注意题目给的等式的应用

解答：解：∵依题

∴

故选A

点评：本题是向量之间的运算，运算过程简单，但应用广泛，向量具有代数特征和几何特征，借助于向量可以实现某些代数问题与几何问题的相互转化．

6、（2008•辽宁）设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围是（　　）

    A、        B、[﹣1，0]

    C、[0，1]        D、

考点：导数的几何意义。

分析：根据题意知，倾斜角的取值范围，可以得到曲线C在点P处斜率的取值范围，进而得到点P横坐标的取值范围．

解答：解：设点P的横坐标为x0，

∵y=x2+2x+3，

∴y'=2x0+2，

利用导数的几何意义得2x0+2=tanα（α为点P处切线的倾斜角），

又∵，∴0≤2x0+2≤1，

∴

故选A．

点评：本小题主要考查利用导数的几何意义求切线斜率问题．

7、（2008•辽宁）4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（　　）

    A、        B、

    C、        D、

考点：等可能事件的概率。

分析：从4张卡片中随机抽取2张共有C42种方法，取出的2张卡片上的数字之和为奇数表示取出的2张卡片上的数字必须一奇一偶，共有C21C21种结果，由古典概型公式得到结果．

解答：解：依题要使取出的2张卡片上的数字之和为奇数，

则取出的2张卡片上的数字必须一奇一偶，

∴取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率==，

故选C

点评：本小题主要考查等可能事件概率求解问题，先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．

8、（2008•辽宁）将函数y=2x+1的图象按向量a平移得到函数y=2x+1的图象，则a等于（　　）

    A、（﹣1，﹣1）        B、（1，﹣1）

    C、（1，1）        D、（﹣1，1）

考点：函数的图象与图象变化。

分析：本小题主要考查函数图象的平移与向量的关系问题．依题由函数y=2x+1的图象得到函数y=2x+1的图象，需将函数y=2x+1的图象向左平移1个单位，向下平移1个单位；故

解答：解：设=（h，k）则

函数y=2x+1的图象平移向量后所得图象的解析式为y=2x﹣h+1+k

∴

∴

∴=（﹣1，﹣1）

故选A

点评：求平移向量多采用待定系数法，先将平移向量设出来，平移后再根据已知条件列出方程，解方程即可求出平移向量．

9、（2008•辽宁）生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看，现从甲乙丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲丙两工人中安排1人，则不同的安排方案有（　　）

    A、24种        B、36种

    C、48种        D、72种

考点：排列、组合的实际应用。

专题：计算题。

分析：根据题意，按第一道工序由甲或乙来完成，分2种情况讨论，再分析第四道工序的完成的情况数目，由分类计数原理的公式，计算可得答案．

解答：解：依题若第一道工序由甲来完成，则第四道工序必由丙来完成，故完成方案共有A42=12种；

若第一道工序由乙来完成，则第四道工序必由丙二人之一来完成，故完成方案共有A21•A42=24种；

∴则不同的安排方案共有A42+A21•A42=36种，

故选B．

点评：本题考查排列、组合的综合运用，注意分情况讨论时，一定要不重不漏．

10、（2008•辽宁）已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（　　）

    A、        B、3

    C、        D、

考点：抛物线的简单性质。

专题：计算题。

分析：先求出抛物线的焦点坐标，再由抛物线的定义可得d=|PF|+|PA|≥|AF|，再求出|AF|的值即可．

解答：解：依题设P在抛物线准线的投影为P'，抛物线的焦点为F，则，

依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP'|=|PF|，

则点P到点A（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和

．

故选A．

点评：本小题主要考查抛物线的定题．

11、（2008•辽宁）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线（　　）

    A、不存在        B、有且只有两条

    C、有且只有三条        D、有无数条

考点：空间中直线与直线之间的位置关系。

分析：先画出正方体，然后根据题意试画与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线，从而发现结论．

解答：解：在EF上任意取一点M，

直线A1D1与M确定一个平面，

这个平面与CD有且仅有1个交点N，

当M取不同的位置就确定不同的平面，

从而与CD有不同的交点N，

而直线MN与这3条异面直线都有交点．如图：

故选D．

点评：本题主要考查立体几何中空间直线相交问题，同时考查学生的空间想象能力．

12、（2008•辽宁）设f（x）是连续的偶函数，且当x＞0时f（x）是单调函数，则满足的所有x之和为（　　）

    A、﹣3        B、3

    C、﹣8        D、8

考点：偶函数。

分析：f（x）为偶函数⇒f（﹣x）=f（x），x＞0时f（x）是单调函数⇒f（x）不是周期函数．所以若f（a）=f（b）⇒a=b或a=﹣b

解答：解：∵f（x）为偶函数，且当x＞0时f（x）是单调函数∴若时，即或，得x2+3x﹣3=0或x2+5x+3=0，此时x1+x2=﹣3或x3+x4=﹣5．∴满足的所有x之和为﹣3+（﹣5）=﹣8，故选C．

点评：本题属于函数性质的综合应用，解决此类题型要注意：

（1）变换自变量与函数值的关系：①奇偶性：f（﹣x）=f（x）

②增函数x1＜x2⇔f（x1）＜f（x2）；减函数x1＜x2⇔f（x1）＜f（x2）．

（2）培养数形结合的思想方法．

二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）

13、（2008•辽宁）函数的反函数是　y=　．

考点：反函数。

专题：计算题。

分析：对于分段函数的反函数要分段来求．解答本题首先熟悉反函数的概念，然后根据反函数求解三步骤：1、换：x、y换位，2、解：解出y，3、标：标出定义域，据此即可求得反函数．

解答：解：当x＜0时，y=x+1的反函数是：y=x﹣1．（x＜1）；

当x≥0时，y=ex的反函数是：y=lnx．（x≥1）；

∴函数的反函数是

y=，

故答案为：y=．

点评：本小题主要考查求反函数基本知识．求解过程要注意依据函数的定义域进行分段求解以及反函数的定义域问题．求反函数，一般应分以下步骤：（1）由已知解析式y=f（x）反求出x=Ф（y）；（2）交换x=Ф（y）中x、y的位置；（3）求出反函数的定义域（一般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域）．

14、（2008•辽宁）在体积为的球的表面上有A，B，C三点，两点的球面距离为，则球心到平面ABC的距离为　　．

考点：点、线、面间的距离计算；球的体积和表面积。

专题：计算题。

分析：根据球的体积，首先就要先计算出球的半径．再根据A、C两点的球面距离，可求得所对的圆心角的度数，进而根据余弦定理可得线段AC的长度为，所以△ABC为直角三角形，所以线段AC的中点即为ABC所在平面的小圆圆心，进而可得球心到平面ABC的距离．

解答：解析：设球的半径为R，则，

∴

设A、C两点对球心张角为θ，则，

∴，

∴由余弦定理可得：，

∴AC为ABC所在平面的小圆的直径，

∴∠ABC=90°，

设ABC所在平面的小圆圆心为O'，则球心到平面ABC的距离为d=OO'=

点评：本小题主要考查立体几何球面距离及点到面的距离．

15、（2008•辽宁）已知的展开式中没有常数项，n∈N*，2≤n≤8，则n=　5　．

考点：二项式定理的应用。

专题：计算题。

分析：先将问题转化成二项式的展开式中没有常数项，利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0得常数项．转化成方程无解．

解答：解：依题对n∈N*，2≤n≤8中，展开式中没有常数项

∴不含常数项，不含x﹣1项，不含x﹣2项

展开式的通项为Tr+1=Cnrxn﹣rx﹣3r=Cnrxn﹣4r

据题意知当n∈N*，2≤n≤8时无解

通过检验n=5

故答案为5

点评：本题考查数学中的等价转化的能力和利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项．

16、（2008•辽宁）已知f（x）=sin（ω＞0），f（）=f（），且f（x）在区间上有最小值，无最大值，则ω=　　．

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式。

专题：计算题；作图题。

分析：根据f（）=f（），且f（x）在区间上有最小值，无最大值，确定最小值时的x值，然后确定ω的表达式，进而推出ω的值．

解答：解：如图所示，

∵f（x）=sin，

且f（）=f（），

又f（x）在区间内只有最小值、无最大值，

∴f（x）在处取得最小值．

∴ω+=2kπ﹣（k∈Z）．

∴ω=8k﹣（k∈Z）．

∵ω＞0，

∴当k=1时，ω=8﹣=；

当k=2时，ω=16﹣=，此时在区间内已存在最大值．

故ω=．

故答案为：

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查逻辑思维能力，分析判断能力，是基础题．

三、解答题（共6小题，满分74分）

17、（2008•辽宁）在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c．已知．

（1）若△ABC的面积等于，求a，b；

（2）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC的面积．

考点：余弦定理的应用。

分析：（Ⅰ）先通过余弦定理求出a，b的关系式；再通过正弦定理及三角形的面积求出a，b的另一关系式，最后联立方程求出a，b的值．

（Ⅱ）通过C=π﹣（A+B）及二倍角公式及sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求出∴sinBcosA=2sinAcosA．当cosA=0时求出a，b的值进而通过absinC求出三角形的面积；当cosA≠0时，由正弦定理得b=2a，联立方程解得a，b的值进而通过absinC求出三角形的面积．

解答：解：（Ⅰ）∵c=2，C=，c2=a2+b2﹣2abcosC

∴a2+b2﹣ab=4，

又∵△ABC的面积等于，

∴，

∴ab=4

联立方程组，解得a=2，b=2

（Ⅱ）∵sinC+sin（B﹣A）=sin（B+A）+sin（B﹣A）=2sin2A=4sinAcosA，

∴sinBcosA=2sinAcosA

当cosA=0时，，，，，求得此时

当cosA≠0时，得sinB=2sinA，由正弦定理得b=2a，

联立方程组解得，．

所以△ABC的面积

综上知△ABC的面积

点评：本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函数有关知识的能力．

18、（2008•辽宁）某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近100周的统计结果如下表所示：

（2）已知每吨该商品的销售利润为2千元，ξ表示该种商品两周销售利润的和（单位：千元），若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互，求ξ的分布列和数学期望．

考点：离散型随机变量的期望与方差；频率分布表。

专题：计算题。

分析：（1）因为样本容量是100，根据表格可知周销售量为2吨，3吨和4吨的频数，根据所给的频数除以100，得到要求的频率．

（2）ξ表示该种商品两周销售利润的和，且各周的销售量相互，根据表格得到变量ξ的可能取值，对应变量的事件，根据相互事件同时发生的概率做出分布列和期望．

解答：解：（1）根据表格可知周销售量为2吨，3吨和4吨的频率分别为=0.2，=0.5和=0.3．

（2）

ξ的可能值为8，10，12，14，16，且

P（ξ=8）=0.22=0.04，

P（ξ=10）=2×0.2×0.5=0.2，

P（ξ=12）=0.52+2×0.2×0.3=0.37，

P（ξ=14）=2×0.5×0.3=0.3，

P（ξ=16）=0.32=0.09．

∴ξ的分布列为

∴Eξ=8×0.04+10×0.2+12×0.37+14×0.3+16×0.09=12.4（千元）

点评：本小题主要考查频率、概率、数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力，考查相互事件同时发生的概率，是一个综合题目．

19、（2008•辽宁）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AP=BQ=b（0＜b＜1），截面PQEF∥A′D，截面PQGH∥AD′．

（1）证明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直；

（2）证明：截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值，并求出这个值；

（3）若D′E与平面PQEF所成的角为45°，求D′E与平面PQGH所成角的正弦值．

考点：空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角。

专题：计算题；证明题。

分析：（解法一）

（Ⅰ）由题意得 A′D∥PF，PH∥AD'，PQ∥AB，又因AD'⊥A'D，AD'⊥AB，得到PH⊥PF，PH⊥PQ，

可证PH⊥平面PQEF，用面面垂直的判定定理即证．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且，PQ=1，代入

面积公式求解．

（III）连接BC′交EQ于点M，得到平面ABC'D'∥平面PQGH，所求的角转化到D'E与平面ABC'D'所成

角，由（Ⅰ）知EM⊥平面ABC'D则'EM与D'E的比值就是所求的正弦值，根据已知条件求出b的

值，在直角三角形中求解．

（解法二）

（Ⅰ）用数量积为零求平面PQEF的法向量和平面PQGH的法向量，求它们的数量积为零证出

面面垂直．

（Ⅱ）用数量积为零证出截面PQEF和截面PQGH都是矩形，用两点间的距离公式求出邻边得长度，再

求面积和．

（III）由（Ⅰ）知平面PQEF和平面PQGH的法向量，用数量积根据已知条件先求出b的值，再求向量所

成角的余弦值．

解答：解：解法一：

（Ⅰ）证明：∵面PQEF∥A′D，平面PQEF∩平面A′ADD'=PF

∴A′D∥PF，同理可得PH∥AD'，

∵AP=BQ=b，AP∥BQ；∴APBQ是平行四边形，∴PQ∥AB，

∵在正方体中，AD'⊥A'D，AD'⊥AB，

∴PH⊥PF，PH⊥PQ，

∴PH⊥平面PQEF，PH⊂平面PQGH．

∴平面PQEF⊥平面PQGH．（4分）

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知

，截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且PQ=1，

∴截面PQEF和截面PQGH面积之和是，是定值．（8分）

（III）解：连接BC′交EQ于点M．

∵PH∥AD'，PQ∥AB；PH∩PQ=P，AD'∩AB=A

∴平面ABC'D'∥平面PQGH，

∴D'E与平面PQGH所成角与D'E与平面ABC'D'所成角相等．

由（Ⅰ）同理可证EQ⊥平面PQGH，可知EM⊥平面ABC'D'，

∴EM与D'E的比值就是所求的正弦值．

设AD'交PF于点N，连接EN，由FD=1﹣b知

．

∵AD'⊥平面PQEF，又已知D'E与平面PQEF成45°角，

∴，即，

解得，可知E为BC中点．

∴EM=，又，

∴D'E与平面PQCH所成角的正弦值为．（12分）

解法二：

以D为原点，射线DA，DC，DD′分别为x，y，z轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系D﹣xyz由已知得DF=1﹣b，

故A（1，0，0），A'（1，0，1），D（0，0，0），D'（0，0，1），P（1，0，b），Q（1，1，b），

E（1﹣b，1，0），F（1﹣b，0，0），G（b，1，1），H（b，0，1）．

（Ⅰ）证明：在所建立的坐标系中，

可得，，．

∵，∴是平面PQEF的法向量．

∵，∴是平面PQGH的法向量．

∵，∴，

∴平面PQEF⊥平面PQGH．（4分）

（Ⅱ）证明：∵，

∴，

又∵，∴PQEF为矩形，同理PQGH为矩形．

在坐标系中可求得，，

∴，又，

∴截面PQEF和截面PQGH面积之和为，是定值．（8分）

（Ⅲ）解：由已知得与成45°角，又

可得，

即，解得．

∴，又，

∴D'E与平面PQGH所成角的正弦值为．（12分）

点评：本题主要考查空间中的线面、面面垂直和平行的定理，线面角的求法，解三角形等基础知识；本题为一题多解的情况，一种是向量法，另一种是几何法，对于求线面角向量法简单，因用此法；还考查转化思想与逻辑思维能力，属于难度很大的题．

20、（2008•辽宁）在直角坐标系xOy中，点P到两点的距离之和为4，设点P的轨迹为C，直线y=kx+1与C交于A，B两点．

（1）写出C的方程；

（2）若，求k的值；

（3）若点A在第一象限，证明：当k＞0时，恒有．

考点：椭圆的定义；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题。

专题：综合题。

分析：说明：本小题主要考查平面向量，椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．

解答：解：

（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴，

故曲线C的方程为．（3分）

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足

消去y并整理得（k2+4）x2+2kx﹣3=0，

故．（5分）

若，即x1x2+y1y2=0．

而y1y2=k2x1x2+k（x1+x2）+1，

于是，

化简得﹣4k2+1=0，所以．（8分）

（Ⅲ）=（x12﹣x22）+4（1﹣x12﹣1+x22）=﹣3（x1﹣x2）（x1+x2）=．

因为A在第一象限，故x1＞0．由知x2＜0，从而x1﹣x2＞0．又k＞0，

故，

即在题设条件下，恒有．（12分）

点评：本题考查椭圆方程的运用以及直线与椭圆的位置关系，难点在与计算量较大，平时应加大训练的力度与方向性．

21、（2008•辽宁）在数列{an}，{bn}中，a1=2，b1=4，且an，bn，an+1成等差数列，bn，an+1，bn+1成等比数列．

（1）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论；

（2）证明：．

考点：等差数列与等比数列的综合；数列递推式；数学归纳法。

专题：综合题。

分析：（1）根据等差中项和等比中项的性质求得an和bn的关系式，分别求得a2，a3，a4及b2，b3，b4，推测出它们的通项公式．先看当n=1时，等式明显成立；进而假设当n=k时，结论成立，推断出ak和bk的表达式，进而看当n=k+1时看结论是否成立即可．

（2）先n=1时，不等式成立，进而看n≥2时利用（1）中的{an}，{bn}的通项公式，以及裂项法进行求和，证明题设．

解答：解：（1）由条件得2bn=an+an+1，an+12=bnbn+1

由此可得a2=6，b2=9，a3=12，b3=16，a4=20，b4=25．

猜测an=n（n+1），bn=（n+1）2．

用数学归纳法证明：

①当n=1时，由上可得结论成立．

②假设当n=k时，结论成立，即ak=k（k+1），bk=（k+1）2，

那么当n=k+1时，ak+1=2bk﹣ak=2（k+1）2﹣k（k+1）=（k+1）（k+2），bk+1==（k+2）2．

所以当n=k+1时，结论也成立．

由①②，可知an=n（n+1），bn（n+1）2对一切正整数都成立．

（2）证明：．

n≥2时，由（1）知an+bn=（n+1）（2n+1）＞2（n+1）n．

故==

综上，原不等式成立．

点评：本小题主要考查等差数列，等比数列，数学归纳法，不等式等基础知识，考查综合运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力．

22、（2008•辽宁）设函数．

（1）求f（x）的单调区间和极值；

（2）是否存在实数a，使得关于x的不等式f（x）≥a的解集为（0，+∞）？若存在，求a的取值范围；若不存在，试说明理由．

考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；不等式的证明。

专题：计算题。

分析：（1）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出单调区间，讨论满足fˊ（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值点，求出极值．

（2）对a进行讨论，当a≤0时，f（x）＞0恒成立，关于x的不等式f（x）≥a的解集为（0，+∞）符合题意．当a＞0时，关于x的不等式f（x）≥a的解集不是（0，+∞）．

解答：解：（Ⅰ）．（2分）

故当x∈（0，1）时，f'（x）＞0，x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0．

所以f（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减．（4分）

由此知f（x）在（0，+∞）的极大值为f（1）=ln2，没有极小值．（6分）

（Ⅱ）（ⅰ）当a≤0时，

由于，

故关于x的不等式f（x）≥a的解集为（0，+∞）．（10分）

（ⅱ）当a＞0时，由知，其中n为正整数，且有．（12分）

又n≥2时，．

且．

取整数n0满足，，且n0≥2，

则，

即当a＞0时，关于x的不等式f（x）≥a的解集不是（0，+∞）．

综合（ⅰ）（ⅱ）知，存在a，使得关于x的不等式f（x）≥a的解集为（0，+∞），且a的取值范围为（﹣∞，0]．

点评：本小题主要考查函数的导数，单调性，极值，不等式等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力．