正弦定理、余弦定理及解三角形

1．    正弦、余弦定理

在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则

3．    在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：

(1)仰角和俯角

与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)．

(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等．

(3)方位角

指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．

(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值．

1．    判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)在△ABC中，A>B必有sin A>sin B．                                    (　√　)

(2)若满足条件C＝60°，AB＝，BC＝a的△ABC有两个，那么a的取值范围是(，2)．                                                                    (　√　)

(3)若△ABC中，acos B＝bcos A，则△ABC是等腰三角形．                    (　√　)

(4)在△ABC中，tan A＝a2，tan B＝b2，那么△ABC是等腰三角形．            (　×　)

(5)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.                                                                    (　×　)

2．    (2013·湖南)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b，若2asin B＝b，则角A等于                                                                (　　)

A.              B.              C.              D. 

答案　D

解析　在△ABC中，利用正弦定理得

2sin Asin B＝sin B，∴sin A＝.

又A为锐角，∴A＝.

3．    (2013·陕西)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为                                                    (　　)

A．锐角三角形                          B．直角三角形

C．钝角三角形                          D．不确定

答案　B

解析　由bcos C＋ccos B＝asin A，得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，即sin(B＋C)＝sin2A，所以sin A＝1，由04．    在△ABC中，B＝60°，AC＝，则AB＋2BC的最大值为________．

答案　2

解析　由正弦定理知＝＝，

∴AB＝2sin C，BC＝2sin A.

又A＋C＝120°，∴AB＋2BC＝2sin C＋4sin(120°－C)

＝2(sin C＋2sin 120°cos C－2cos 120°sin C)

＝2(sin C＋cos C＋sin C)

＝2(2sin C＋cos C)＝2sin(C＋α)，

其中tan α＝，α是第一象限角，

由于0°＜C＜120°，且α是第一象限角，

因此AB＋2BC有最大值2.

5．    一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为______ km.

答案　30

解析　如图所示，依题意有

AB＝15×4＝60，∠MAB＝30°，∠AMB＝45°，

在△AMB中，

由正弦定理得＝，解得BM＝30 (km)．

题型一　正、余弦定理的简单应用

例1　(1)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝bc，sin C＝2sin B，则A等于                                                        (　　)

A．30°              B．60°              C．120°              D．150°

(2)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C，则sin B＋sin C的最大值为                                        (　　)

A．0              B．1              C.              D. 

思维启迪　(1)由sin C＝2sin B利用正弦定理得b、c的关系，再利用余弦定理求A.

(2)要求sin B＋sin C的最大值，显然要将角B，C统一成一个角，故需先求角A，而题目给出了边角之间的关系，可对其进行化边处理，然后结合余弦定理求角A.

答案　(1)A　(2)B

解析　(1)∵sin C＝2sin B，由正弦定理得c＝2b，

∴cos A＝＝＝＝，

又A为三角形的内角，∴A＝30°.

(2)已知2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C，

根据正弦定理，得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，

即a2＝b2＋c2＋bc.

由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，

故cos A＝－，又A为三角形的内角，∴A＝120°.

故sin B＋sin C＝sin B＋sin(60°－B)＝cos B＋sin B＝sin(60°＋B)，

故当B＝30°时，sin B＋sin C取得最大值1.

思维升华　(1)在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．

(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围．

　(1)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cos C等于                                                        (　　)

A.              B．－              C．±              D. 

(2)已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝，A＋C＝2B，则角A的大小为________．

答案　(1)A　(2) 

解析　(1)由正弦定理＝，

将8b＝5c及C＝2B代入得＝，

化简得＝，

则cos B＝，

所以cos C＝cos 2B＝2cos2B－1＝2×()2－1＝，故选A.

(2)∵A＋C＝2B且A＋B＋C＝π，∴B＝.

由正弦定理知：sin A＝＝，

又a题型二　正弦定理、余弦定理的综合应用

例2　(2012·课标全国)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acos C＋asin C－b－c＝0.

(1)求A；

(2)若a＝2，△ABC的面积为，求b，c.

思维启迪　利用正弦定理将边转化为角，再利用和差公式可求出A；面积公式和余弦定理相结合，可求出b，c.

解　(1)由acos C＋asin C－b－c＝0及正弦定理得sin Acos C＋sin Asin C－sin B－sin C＝0.

因为B＝π－A－C，

所以sin Asin C－cos Asin C－sin C＝0.

由于sin C≠0，所以sin＝.

又0(2)△ABC的面积S＝bcsin A＝，故bc＝4.

而a2＝b2＋c2－2bccos A，故b2＋c2＝8.

解得b＝c＝2.

思维升华　有关三角形面积问题的求解方法：

(1)灵活运用正、余弦定理实现边角转化．

(2)合理运用三角函数公式，如同角三角函数的基本关系、二倍角公式等．

　在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c.

(1)若c＝2，C＝，且△ABC的面积为，求a，b的值；

(2)若sin C＋sin(B－A)＝sin 2A，试判断△ABC的形状．

解　(1)∵c＝2，C＝，

∴由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C得a2＋b2－ab＝4.

又∵△ABC的面积为，∴absin C＝，ab＝4.

联立方程组解得a＝2，b＝2.

(2)由sin C＋sin(B－A)＝sin 2A，

得sin(A＋B)＋sin(B－A)＝2sin Acos A，

即2sin Bcos A＝2sin Acos A，∴cos A·(sin A－sin B)＝0，

∴cos A＝0或sin A－sin B＝0，

当cos A＝0时，∵0∴A＝，△ABC为直角三角形；

当sin A－sin B＝0时，得sin B＝sin A，

由正弦定理得a＝b，

即△ABC为等腰三角形．

∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．

题型三　解三角形的实际应用

例3　某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°，距离为10 n mile的C处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9 n mile/h的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以21 n mile/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间．

思维启迪　本题中所涉及的路程在不断变化，但舰艇和渔轮相遇时所用时间相等，先设出所用时间t，找出等量关系，然后解三角形．

解　如图所示，根据题意可知AC＝10，∠ACB＝120°，设舰艇靠近渔轮所需的时间为t h，并在B处与渔轮相遇，则AB＝21t，BC＝9t，在△ABC中，根据余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 120°，所以212t2＝102＋92t2＋2×10×9t×，即360t2－90t－100＝0，解得t＝或t＝－(舍去)．所以舰艇靠近渔轮所需的时间为h．此时AB＝14，BC＝6.

在△ABC中，根据正弦定理得＝，

所以sin∠CAB＝＝，

即∠CAB≈21.8°或∠CAB≈158.2°(舍去)．

即舰艇航行的方位角为45°＋21.8°＝66.8°.

所以舰艇以66.8°的方位角航行，需h才能靠近渔轮．

思维升华　求解测量问题的关键是把测量目标纳入到一个可解三角形中，三角形可解，则至少要知道这个三角形的一条边长．解题中注意各个角的含义，根据这些角把需要的三角形的内角表示出来，注意不要把角的含义弄错，不要把这些角与要求解的三角形的内角之间的关系弄错．

　在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端对于山坡的斜度为15°，如图所示，向山顶前进100 m后，又从B点测得斜度为45°，设建筑物的高为50 m．求此山对于地平面的斜度θ的余弦值．

解　在△ABC中，∠BAC＝15°，∠CBA＝180°－45°＝135°，AB＝100 m，

所以∠ACB＝30°.

由正弦定理，得＝，即BC＝.

在△BCD中，因为CD＝50，BC＝，∠CBD＝45°，∠CDB＝90°＋θ，

由正弦定理，得＝，

解得cos θ＝－1.

因此，山对地面的斜度的余弦值为－1.

代数式化简或三角运算不当致误

典例：(12分)在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，试判断△ABC的形状．

易错分析　(1)从两个角的正弦值相等直接得到两角相等，忽略两角互补情形；

(2)代数运算中两边同除一个可能为0的式子，导致漏解；

(3)结论表述不规范．

规范解答

解　∵(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，

∴b2[sin(A＋B)＋sin(A－B)]＝a2[sin(A＋B)－sin(A－B)]，

∴2sin Acos B·b2＝2cos Asin B·a2，

即a2cos Asin B＝b2sin Acos B．[4分]

方法一　由正弦定理知a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，

∴sin2Acos Asin B＝sin2Bsin Acos B，

又sin A·sin B≠0，∴sin Acos A＝sin Bcos B，

∴sin 2A＝sin 2B.[8分]

在△ABC中，0<2A<2π，0<2B<2π，

∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝.

∴△ABC为等腰或直角三角形．[12分]

方法二　由正弦定理、余弦定理得：

a2b＝b2a，

∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，

∴(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，

∴a2－b2＝0或a2＋b2－c2＝0.

即a＝b或a2＋b2＝c2.

∴△ABC为等腰或直角三角形．[12分]

温馨提醒　(1)判断三角形形状要对所给的边角关系式进行转化，使之变为只含边或只含角的式子然后判断；注意不要轻易两边同除以一个式子．

(2)在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响．

方法与技巧

1．    应熟练掌握和运用内角和定理：A＋B＋C＝π，＋＋＝中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数．

2．    正、余弦定理的公式应注意灵活运用，如由正、余弦定理结合得sin2A＝sin2B＋sin2C－2sin B·sin C·cos A，可以进行化简或证明．

3．    合理利用换元法、代入法解决实际问题．

失误与防范

1．    在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解，所以要进行分类讨论．

2．    利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的.

A组　专项基础训练

(时间：35分钟，满分：57分)

一、选择题

1．    在△ABC，已知∠A＝45°，AB＝，BC＝2，则∠C等于                    (　　)

A．30°              B．60°              C．120°              D．30°或150°

答案　A

解析　在△ABC中，＝，∴＝，

∴sin C＝，又AB2．    △ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若A．钝角三角形                          B．直角三角形

C．锐角三角形                          D．等边三角形

答案　A

解析　依题意得所以sin(A＋B)即sin Bcos A＋cos Bsin A－sin Bcos A<0，

所以cos Bsin A<0.

又sin A>0，于是有cos B<0，B为钝角，△ABC是钝角三角形．

3．    (2012·湖南)△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于        (　　)

A.                                  B. 

C.                              D. 

答案　B

解析　设AB＝a，则由AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B知7＝a2＋4－2a，即a2－2a－3＝0，∴a＝3(负值舍去)．

∴BC边上的高为AB·sin B＝3×＝.

4．    (2013·辽宁)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asin Bcos C＋csin Bcos A＝b，且a＞b，则∠B等于                                            (　　)

A.              B.              C.              D. 

答案　A

解析　由条件得sin Bcos C＋sin Bcos A＝，

依正弦定理，得sin Acos C＋sin Ccos A＝，

∴sin(A＋C)＝，从而sin B＝，

又a＞b，且B∈(0，π)，因此B＝.

5．    在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，已知b2＝c(b＋2c)，若a＝，cos A＝，则△ABC的面积等于                                                (　　)

A.              B.              C.              D．3

答案　C

解析　∵b2＝c(b＋2c)，∴b2－bc－2c2＝0，

即(b＋c)·(b－2c)＝0，∴b＝2c.

又a＝，cos A＝＝，解得c＝2，b＝4.

∴S△ABC＝bcsin A＝×4×2×＝.

二、填空题

6．    (2013·安徽)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，则角C＝________.

答案　

解析　由已知条件和正弦定理得：3a＝5b，且b＋c＝2a，

则a＝，c＝2a－b＝

cos C＝＝－，又07．    在△ABC中，若b＝5，∠B＝，tan A＝2，则a＝________.

答案　2

解析　由tan A＝2得sin A＝2cos A.

又sin2A＋cos2A＝1得sin A＝.

∵b＝5，∠B＝，

根据正弦定理，有＝，

∴a＝＝＝2.

8．    如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在点A的同侧的河岸边

选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为________．

答案　50 m

解析　由正弦定理得＝，

所以AB＝＝＝50.

三、解答题

9．    (2013·北京)在△ABC中，a＝3，b＝2，∠B＝2∠A.

(1)求cos A的值；

(2)求c的值．

解　(1)在△ABC中，由正弦定理

＝⇒＝＝，

∴cos A＝.

(2)由余弦定理，a2＝b2＋c2－2bccos A⇒32＝(2)2＋c2－2×2c×

则c2－8c＋15＝0.

∴c＝5或c＝3.

当c＝3时，a＝c，∴A＝C.

由A＋B＋C＝π，知B＝，与a2＋c2≠b2矛盾．

∴c＝3舍去．故c的值为5.

10．(2013·江西)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知cos C＋(cos A－sin A)cos B＝0.

(1)求角B的大小；

(2)若a＋c＝1，求b的取值范围．

解　(1)由已知得－cos(A＋B)＋cos Acos B－sin Acos B＝0

即有sin Asin B－sin Acos B＝0，

因为sin A≠0，所以sin B－cos B＝0，

即cos B＝sin B.

因为0所以sin B>0，

所以cos B>0，

所以tan B＝，

即B＝.

(2)由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，

因为a＋c＝1，cos B＝，

所以b2＝(a＋c)2－3ac≥(a＋c)2－32

＝(a＋c)2＝，

∴b≥.

又a＋c>b，∴b<1，∴≤b<1.

B组　专项能力提升

(时间：25分钟，满分：43分)

1．    △ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin B＋bcos2A＝a，则等于                                                                    (　　)

A．2              B．2              C.              D. 

答案　D

解析　∵asin Asin B＋bcos2A＝a，

∴sin Asin Asin B＋sin Bcos2A＝sin A，

∴sin B＝sin A，∴＝＝.

2．    有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为(　　)

A．1                                  B．2sin 10°

C．2cos 10°                          D．cos 20°

答案　C

解析　如图，∠ABC＝20°，

AB＝1，∠ADC＝10°，

∴∠ABD＝160°.

在△ABD中，由正弦定理得＝，

∴AD＝AB·＝＝2cos 10°.

3．    (2013·浙江)在△ABC中，∠C＝90°，M是BC的中点．若sin∠BAM＝，则sin∠BAC＝________.

答案　

解析　因为sin∠BAM＝，所以cos∠BAM＝.如图，在△ABM中，利用正弦定理，得＝，所以＝＝＝.

在Rt△ACM中，有＝sin∠CAM＝sin(∠BAC－∠BAM)．由题意知BM＝CM，

所以＝sin(∠BAC－∠BAM)．

化简，得2sin∠BACcos∠BAC－cos2∠BAC＝1.

所以＝1，解得tan∠BAC＝.

再结合sin2∠BAC＋cos2∠BAC＝1，∠BAC为锐角可解得sin∠BAC＝.

4．    (2012·江西)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知A＝，bsin－csin＝a.

(1)求证：B－C＝；

(2)若a＝，求△ABC的面积．

(1)证明　由bsin－csin＝a，应用正弦定理，得sin Bsin－sin Csin＝sin A，

sin B－sin C

＝，

整理得sin Bcos C－cos Bsin C＝1，

即sin(B－C)＝1.

由于0(2)解　B＋C＝π－A＝，因此B＝，C＝.

由a＝，A＝，

得b＝＝2sin，c＝＝2sin，

所以△ABC的面积S＝bcsin A＝sin sin 

＝cos sin＝.

5．    已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，角B所对的边b＝，且函数f(x)＝2sin2x＋2sin xcos x－在x＝A处取得最大值．

(1)求f(x)的值域及周期；

(2)求△ABC的面积．

解　(1)因为A，B，C成等差数列，

所以2B＝A＋C，又A＋B＋C＝π，

所以B＝，即A＋C＝.

因为f(x)＝2sin2x＋2sin xcos x－

＝(2sin2x－1)＋sin 2x＝sin 2x－cos 2x

＝2sin，

所以T＝＝π.

又因为sin∈[－1,1]，

所以f(x)的值域为[－2,2]．

(2)因为f(x)在x＝A处取得最大值，

所以sin＝1.

因为0故当2A－＝时，f(x)取到最大值，

所以A＝π，所以C＝.

由正弦定理，知＝⇒c＝.

又因为sin A＝sin＝，

所以S△ABC＝bcsin A＝.