2021北京海淀高三二模数学(PDF版含答案)

数

学

2021.05

本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第一部分(选择题共40分)

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。(1)在平面直角坐标系xOy 中，角θ以Ox 为始边，终边经过点()3,4-，则cos θ=

(A)

45

(B)

35

(C)3-

5

(D)4-

5

(2)设a R ∈.若()()2+13i a i i -=--，则a =

(A)-1

(B)-2

(C)1

(D)2

(3)已知150.31.50.3,log 0.3, 1.5a b c ===，则

(A)a b c <<(B)b a c <<(C)a c b

<<(D)b c a

<<(4)已知F 为抛物线24y x =的焦点，()00,P x y 是该抛物线上的一点.若2PF >，则

(A)()00,1x ∈(B)01(),x ∈+∞(C)02,(

)y ∈+∞(D)0,2()

y ∈-∞(5)向量a ，b ，c 在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，若e 为与c 同方向的单位向量，则()·a b e +

=

(A)1.5(B)2(C)-4.5(D)-3

(6)已知实数x ，y 满足2246120x y x y ++-+=，则x 的最大值是

(A)3

(B)2

(C)-1

(D)-3

(7)已知指数函数()x f x a =，将函数()f x 的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数

()g x 的图象，再将()g x 的图象向右平移2个单位长度，所得图象恰好与函数()f x 的图象重合，则a 的值是

学习是一件很有意思的事

(A)

3

2

(B)

23

(C)

3

(D)(8)已知正方体1111ABCD A B C D -(如图1)，点P 在侧面11CDD C 内(包括边界).若三棱锥1B ABP -的俯视图为等腰直

角三角形(如图2)，则此三棱锥的左视图不可能．．．

是

(9)已知实数,.+2,k k Z αβαβπ=∈“”

是“()sin +sin sin αβαβ=+”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件

(D)既不充分也不必要条件

(10)已知函数()2

ax 2,,x x a

x x a x f a ⎧-+≥⎪=⎨+⎪⎩

＜，若对于任意正数k ，关于x 的方程()f x k =都恰有两个不相等的实数根，则

满足条件的实数a 的个数为(A)0

(B)1

(C)2

(D)无数

第二部分(非选择题共110分)

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

(11)已知数列{}n a 满足112,20(,2,)1n n a a a n +=-== ，则{}n a 的前6项和为。

(12)已知()12n

x +的展开式的二项式系数之和为16，则n =

；各项系数之和为。(用数字作答)

(13)在△ABC 中，23,7,3

a b B π

==∠=

，则△ABC 的面积为。

(14)已知双曲线22

22:1x y M a b

-=的左焦点为F 1，A ，B 为双曲线M 上的两点，O 为坐标原点若四边形1F ABO 为菱形，

则双曲线M 的离心率为。

(15)普林斯顿大学的康威教授于1986年发现了一类有趣的数列并命名为“外观数列”(Look and say sequence)，该数

列的后一项由前一项的外观产生.以,09i i N i ∈≤≤（）

为首项的“外观数列”记作A i ，其中1A 为1,11,21,1211,111221, ，即第一项为1，外观上看是1个1，因此第二项为11；第二项外观上看是2个1，因此

第三项为21；第三项外观上看是1个2，1个1，因此第四项为1211，…，按照相同的规则可得其它A i ，例如A 3为3,13,1113,3113,132113, 给出下列四个结论：

①若i A 的第n 项记作a n ，A j 的第n 项记作b n ，其中29i j ≤≤＜，则*,n n n N a b i j ∀∈-=-；②1A 中存在一项，该项中某连续三个位置上均为数字3；③1A 的每一项中均不含数字4；

④对于2,1,i k i A ≥≠的第k 项的首位数字与1A 的第k+2项的首位数字相同。其中所有正确结论的序号是

。

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。(16)(本小题共14分)

如图，在三棱锥P ABC -中，,,65,,BC AC BC PC AC BC PA PC D E ⊥⊥====，分别是AC ，PC 的中点.(Ⅰ)求证：平面PAC ABC ⊥平面；(Ⅱ)求二面角A DE B --的余弦值

已知函数()()0,0,2f x Asin x A πωϕωϕ⎛

⎫ ⎪⎝

=+>>⎭<的部分图象如图所示。

(Ⅰ)直接写出ω的值；

(Ⅱ)再从条件①、条件②中选择一个作为已知，求函数()f x 在区间-124ππ⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

，上的最小值。

条件①：直线712

x π

=

为函数()y f x =的图象的一条对称轴；条件②：,03π⎛⎫

⎪⎝⎭

为函数()y f x =的图象的一个对称中心

(18)(本小题共14分)

为迎接2022年北京冬季奥运会，普及冬奥知识，某地区小合开展了“冰雪答题王”冬奥知识竞赛活动.现从参加该活动的学生中随机抽取了30名学生，将他们的竞赛成绩(单位：分)用茎叶图记录如下：

(Ⅰ)从该地区参加该活动的男生中随机抽取1人，估计该男生的竞赛成绩在90分以上的概率；

(Ⅱ)从该地区参加该活动的全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取2人，估计这4人中男生竞赛成绩

在90分以上的人数比女生竞赛成绩在90分以上的人数多的概率；

(Ⅲ)为便于普及冬奥知识，现从该地区某所小学参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机选取10名男生、10名女

生作为冬奥宜传志愿者.记这10名男生竞赛成绩的平均数为1μ，这10名女生竞赛成绩的平均数为2μ，能否认为12μμ＞，说明理由.

椭圆()22

22:1x y C a a b

+=＞b＞0的左、右焦点分别为12,,F F E 是椭圆C 上一点，且12122, 4.

F F EF EF =+=(Ⅰ)求椭圆C 的方程；

(Ⅱ)M ，N 是y 轴上的两个动点(点M 与点E 位于x 轴的两侧)，190MF N MEN ∠=∠= ，直线EM 交x 轴于点P ，

求

EP PM

的值.

(20)(本小题共15分)

已知函数()ln .

f x x a x =-(Ⅰ)求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(Ⅱ)求()f x 的单调区间；

(Ⅲ)若关于x 的方程ln =0x a x -有两个不相等的实数根，记较小的实数根为0x ，求证：()01a x a

-＞(21)(本小题共14分)

已知有限集X ，Y ，定义集合{}|,x Y X Y x x X -=∈∉且，X 表示集合X 中的元素个数。(Ⅰ)若{}{}1,2,3,4,3,4,5X Y ==，求集合X Y -和Y X -，以及()()X Y Y X -⋃-的值；

(Ⅱ)给定正整数n ，集合{}1,2,,n S = 对于实数集的非空有限子集A ，B ，定义集合{}=|,,C x x a b a A b B =+∈∈①求证:1A S B S S C -+-+-≥；

②求()()()()()()A S S A B S S B C S S C -⋃-+-⋃-+-⋃-的最小值。

数学答案 第1页（共10页）

海淀区2020-2021学年第二学期期末练习

高三数学参 2021.05 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） 答案

C

A

B

B

D

C

D

D

A

B

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 题号 （11）

（12） （13） （14） （15） 答案

126

4 81

153

4

31+

①③④

三、解答题共6小题，共85分。 （16）（本小题共14分）

解：（Ⅰ）因为 BC PC ⊥，AC BC ⊥， AC

PC C =，AC ⊂平面PAC ，PC ⊂平

面PAC ，

所以 BC ⊥平面PAC . 又因为 BC ⊂平面ABC ， 所以 平面ABC ⊥平面PAC .

（Ⅱ）连结PD ，因为 PA PC =，D 是AC 的中点，

所以 AD DC =，PD AC ⊥. 过C 作//CH PD ，则CH AC ⊥.

因为 BC ⊥平面PAC ，CH ⊂平面PAC ， 所以 BC CH ⊥. 又BC AC ⊥，

如图，以C 为原点，分别以CB ，CA ，CH 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系C xyz -. 因为 6AC =,5PC =， 所以 4PD =. 因为 6BC =，

所以 (0,0,0)C ，(6,0,0)B ，(0,6,0)A ，(0,3,0)D ，(0,3,4)P . 因为 E 是PC 的中点，

所以 3

(0,,2)2

E .

所以 3

(0,,2)2DE =-，(6,3,0)DB =-.

设平面DEB 的法向量为(,,)x y z =n ， 则0,0,DE DB ⎧⋅=⎪⎨

⋅=⎪⎩n n 即320,2630.

y z x y ⎧-+=⎪⎨⎪-=⎩ 令2x =-，则4y =-，3z =-. 所以 (2,4,3)=---n .

由（Ⅰ）可得：BC ⊥平面PAC . 取平面ADE 的一个法向量为

(1,0,0)=m . 所以 2229

cos ,||||29

129⋅-<>=

==-⨯m n m n m n .

所以 二面角A DE F --的余弦值为229

29

-

. （17）（本小题共14分）

解：（Ⅰ）2ω=.

（Ⅱ）选择条件①

因为 直线712

x π

=为函数()y f x =的图象的一条对称轴， 所以 当712x π=时，7322122

k ϕππ

⨯

+=+π，k ∈Z ， 即23

k ϕπ

=

+π，k ∈Z . 因为 ||2

ϕπ<， 所以 3

ϕπ=

. 因为 (0)3f =， 所以 3sin

332

A A π=⨯=. 所以 2A =.

所以 ()2sin(2)3

f x x π

=+.

z y

x

E

D C

B A P

因为 当[,]124

x ππ

∈-时，2[,]366x ππ5π+∈.

所以 当236x ππ+

=或6

5π

时，即当12x π=-或4π时，

()f x 取到最小值，最小值为()()1124

f f ππ

-==.

选择条件②

因为 (,0)3π

为函数()y f x =的图象的一个对称中心，

所以 当3

x π

=时，223k ϕπ⨯+=π+π，k ∈Z ，

即23

k ϕπ

=

+π，k ∈Z . 因为 ||2

ϕπ<， 所以 3

ϕπ=

. 因为 (0)3f =， 所以 3sin

332

A A π=⨯=. 所以 2A =.

所以 ()2sin(2)3f x x π

=+.

因为 当[,]124

x ππ

∈-时，2[,]366x ππ5π+∈，

所以 当236x ππ+

=或6

5π

时，即当12x π=-或4π时， ()f x 取到最小值，最小值为()()1124

f f ππ

-

==. （18）（本小题共14分）

解：（Ⅰ）由茎叶图可知，随机抽取的30名学生中男生有15名，其中竞赛成绩在90

分以上的学生有5名.

所以 随机抽取的15名男生中竞赛成绩在90分以上的频率为

51

153

=.

所以 从该地区参加该活动的男生中随机抽取1人，该男生的竞赛成绩在90分以上的概率估计为13

.

（Ⅱ）记()1,2i A i =表示“第i 名男生的竞赛成绩在90分以上”，()1,2j B j =表示“第

j 名女生的竞赛成绩在90分以上”，C 表示“4人中男生竞赛成绩在90分以

上的人数比女生竞赛成绩在90分以上的人数多”.

同（Ⅰ），从该地区参加该活动的女生中随机抽取1人，该女生竞赛成绩在90分以上的概率估计为

31

155

=，则

()()

12121212121212121212P C P A A B B A A B B A A B B A A B B A A B B =++++

()()()()()()()()

()()()

()

()()()()()()()()

1212121212121

2

1

2

1

2

1

2

P A P A P B P B P A P A P B P B P A P A P B P B P A P A P B P B P A P A P B P B =++++

111111111111(1)(1)(1)(1)335533553355

11111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)

33553355

=⨯⨯-⨯-+⨯⨯⨯-+⨯⨯-⨯+-⨯⨯-⨯-+⨯-⨯-⨯-

88225

=

. （Ⅲ）参：不能确定是否有12μμ>.

上述10名男生，10名女生竞赛成绩的数据是随机的，所以12,μμ是随机的. 所以 不能确定是否有12μμ>.

（19）（本小题共14分）

解：（Ⅰ）由题意知：22222,

24,.

c a a b c ⎧=⎪

=⎨⎪=+⎩

解得2,3.

a b =⎧⎪⎨=⎪⎩

所以 椭圆C 的方程为22

143

x y +

=. （Ⅱ）设(0,)M m ，(0,)N n ，00(,)E x y . 由（Ⅰ）可知1(1,0)F -，2(1,0)F .

因为 190MF N ∠=︒，

所以 110F M F N ⋅=, 即(1,)(1,)m n ⋅=1mn +0=. 所以 1mn =-.

又因为 90MEN ∠=︒，

所以 0ME NE ⋅=，即0000(,)(,)x y m x y n -⋅-220

001

()1x y m y m

=++--0=.

又因为 2200

143

x y +=， 所以 22

000414()13y y m y m

-

++--0=. 所以 0013

()(3)3y y m m --+0=.

所以 03

y m

=

或03y m =-. 因为 点M 与点E 位于x 轴的两侧，即0y 与m 异号， 所以 03y m =-. 所以

0||

||y PE PM m

=3m m -=3=.

（20）（本小题共15分）

解：（Ⅰ）因为 ()ln f x x a x =-，

所以 '()1a f x x

=-

. 所以 '(1)1f a =-． 又因为 (1)1f =，

所以 曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为1(1)(1)y a x -=--，即

(1)y a x a =-+． （Ⅱ）

()f x 的定义域为(0,)+∞.

'()1=a x a

f x x x

-=-.

当0a ≤时，'()0f x >，所以 ()f x 的单调递增区间为(0,)+∞. 当0a >时，令()0f x '=，得x a =.

()f x 与()f x '在区间(0,)+∞上的情况如下：

x

(0,)a a (,)a +∞ ()f x ' -

+

()f x

极小值

所以 ()f x 的单调递减区间为(0,)a ，单调递增区间为(,)a +∞. （Ⅲ）由（Ⅱ）知：

①当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增. 所以 ()0f x =至多有一个实根，不符合题意.

②当0a >时，()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增. 所以 ()f x 的最小值为()ln f a a a a =-.

若()0f a ≥，则()0f x ≥，所以 ()0f x =至多有一个实根，不符合题意. 若()0f a <，即ln 0a a a -<，得e a >. 又 (1)10f =>，且()f x 在(0,)a 上单调递减， 所以 ()f x 在(0,)a 上有唯一零点.

因为 方程ln 0x a x -=有两个不相等的实数根，且较小的实数根为0x ， 所以 ()f x 在(0,)a 上的唯一零点就是0x . 方法一：

所以 00ln 0x a x -=，0(1,)x a ∈. 所以 0

0ln x a x =

.

所以 “0(1)a x a ->”等价于“00000

(

1)ln ln x x

x x x ->”，即00ln 1x x ->. 由（Ⅱ）知，当1a =时，()ln f x x x =-的最小值为(1)1f =. 又因为 01x ≠，所以 00ln 1x x ->. 所以 0(1)a x a ->. 方法二：

“0(1)a x a ->”等价于“01

a

x a >

-”.

又

22(2)0111

a a a a a a a a a -+---==<---， 所以

1

a

a a <-. 因为 ()f x 在(0,)a 上单调递减，

所以 “01

a

x a >-”等价于“0()()1a f x f a <-”， 即(

)ln 0111

a a a f a a a a =->---.(*) 因为 e a >，

令1a t a =

-，则1t >， 1t

a t =-.

即(*)等价于ln 01

t

t t t ->-，即1ln 0t t -->. 所以 “0(1)a x a ->”等价于“1ln 0t t -->”. 令()1ln g t t t =--，1t >.

所以 11

'()1t g t t t

-=-=.

当1t >时，'()0g t >，所以 ()g t 在(1,)+∞上单调递增. 所以 ()g(1)g t >，而g(1)0=. 所以 1ln 0t t -->成立. 所以 0(1)a x a ->.

（21）（本小题共14分）

解：（Ⅰ）{1,2}X Y -=，{5}Y X -=，()

()3X Y Y X --=.

（Ⅱ）①显然0X ≥.

若A

B 中含有一个不在S 中的元素，则1A S B S -+-≥，即

1A S B S S C -+-+-≥.

若A S ⊆，且B S ⊆，则0A S B S -=-=.

数学答案 第8页（共10页）

此时A 中最小的元素1a ≥，B 中最小的元素1b ≥，

所以 C 中最小的元素2a b +≥.

所以 1C ∉.

因为 {1,2,,}S n =，

所以 1S C -≥，即1A S B S S C -+-+-≥. 综上，1A S B S S C -+-+-≥.

②由①知1A S B S S C -+-+-≥.

所以 ()()()()()()A S S A B S S B C S S C --+--+--

A S S A

B S S B

C S S C =-+-+-+-+-+-

1S A S B C S ≥-+-+-+.

若A

S =Ø，或B S =Ø，则S A S B n -+-≥. 若A S ≠Ø，且B S ≠Ø，设12{,,,}s A S a a a =，12{,,,}t B S b b b =，且121s a a a n ≤<<<≤，121t b b b n ≤<<<≤， 则S A n s -=-，S B n t -=-.

若s t n +≤，则2S A S B n s t n -+-=--≥.

若s t n +>，

因为 11121232t t t s t a b a b a b a b a b a b ≤+<+<

<+<+<+<<+， 所以 1112123,,,,,,,t t t s t a b a b a b a b a b a b ++++++这1s t +-个数一定在

集合C 中，且均不等于1. 所以 1(1)C S s t n s t n -≥+---=+-.

所以 2()S A S B C S n s t s t n n -+-+-≥--++-=.

所以 ()()()()()()A S S A B S S B C S S C --+--+--

11S A S B C S n ≥-+-+-+≥+.

数学答案 第9页（共10页）

当A B S ==，{2,3,

,2}C n =时， ()()()()()()1A S S A B S S B C S S C n --+--+--=+.

所以 ()()()()()

()A S S A B S S B C S S C --+--+--的最小值是1n +.

帮助汉高祖打平天下的大将韩信，在未得志时，境况很是困苦。那时候，他时常往城下钓鱼，希望碰着好运气，便可以解决生活。但是，这究竟不是可靠的办法，因此，时常要饿着肚子。幸而在他时常钓鱼的地方，有很多漂母（清洗丝棉絮或旧衣布的老婆婆）在河边作工的，其中有一个漂母，很同情韩信的遭遇，便不断的救济他，给他饭吃。韩信在艰难困苦中，得到那位以勤劳克苦仅能以双手勉强糊口的漂母的恩惠，很是感激她，便对她说，将来必定要重重的报答她。那漂母听了韩信的话，很是不高兴，表示并不希望韩信将来报答她的。后来，韩信替汉王立了不少功劳，被封为楚王，他想起从前曾受过漂母的恩惠，便命从人送酒菜给她吃，更送给她黄金一千两来答谢她。

这句成语就是出于这个故事的。它的意思是说：受人的恩惠，切莫忘记，虽然所受的恩惠很是微小，但在困难时，即使一点点帮助也是很可贵的；到我们有能力时，应该重重地报答施惠的人才是合理。

【感恩小结】

感恩，是结草衔环，是滴水之恩涌泉相报。

　　　感恩，是一种美德，是一种境界。

　　感恩，是值得你用一生去等待的一次宝贵机遇。

　　感恩，是值得你用一生去完成的一次世纪壮举。

　　感恩，是值得你用一生去珍视的一次爱的教育。

　　感恩，不是为求得心理平衡的喧闹的片刻答谢，而是发自内心的无言的永恒回报。

　　　　　感恩，让生活充满阳光，让世界充满温馨……坚持希望

一天，一个瞎子和一个瘸子结伴去寻找那种仙果，他们一直走呀走，途中他们翻山越岭。历经千辛万苦，头发开始斑白。有一天，那瘸子对瞎子说：“天哪！这样下去哪有尽头？我不干了，受不了了。“老兄，我相信不远了，会找到的，只要心中存有希望，会找到的。”瞎子却说。可瘸子执意要留在途中的山寨中，瞎子便一个人上路了。

由于瞎子看不见，不知道该走向何处，他碰到人便问，人们也好心地指引他，他身上捉襟见肘，遍体鳞伤，可他心中的希望未曾改变。

终于有一天，他到达了那座山，他全力以赴向上爬，快到山顶的时候，他感觉自己浑身充满了力量，像年轻了几十岁，他向身旁摸索，便摸到了果子一样的东西，放在嘴里咬一口，天哪！他复明了，什么都看见了，绿绿的树木，花儿鲜艳，小溪清澈。果子长满了山坡，他朝溪水俯身看去，自己竞变成了一个英俊年轻的小伙子！准备离去的时候，他没有忘记替同行而来的瘸子带上两个仙果，到山寨的时候，他看到瘸子拄着拐棍，变成了一个头发花白的老头，瘸子认不出他了，因为他已是一个年轻的小伙子。可当他们相认后，瘸子吃下那果子，却丝毫未起任何变化，他们终于知道，只有自己的行动，才能换来成功和幸福。所谓成功，我们要心存希望，要勇往直前，要坚持，要有毅力，那么，成功早晚属于你。