全国中考数学二次函数的综合中考真题分类汇总及详细答案

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．某市实施产业精准扶贫，帮助贫困户承包荒山种植某品种蜜柚．已知该蜜柚的成本价为6元/千克，到了收获季节投入市场销售时，调查市场行情后，发现该蜜柚不会亏本，且每天的销售量y （千克）与销售单价x （元）之间的函数关系如图所示．

（1）求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；

（2）当该品种蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？

（3）某村农户今年共采摘蜜柚12000千克，若该品种蜜柚的保质期为50天，按照（2）的销售方式，能否在保质期内全部销售完这批蜜柚？若能，请说明理由；若不能，应定销售价为多少元时，既能销售完又能获得最大利润？

【答案】（1）y ＝﹣20x +500，（x ≥6）；（2）当x ＝15.5时，w 的最大值为1805元；（3）当x ＝13时，w ＝1680，此时，既能销售完又能获得最大利润．

【解析】

【分析】

（1）将点（15，200）、（10，300）代入一次函数表达式：y ＝kx +b 即可求解；

（2）由题意得：w ＝y （x ﹣6）＝﹣20（x ﹣25）（x ﹣6），∵﹣20＜0，故w 有最大值，即可求解；

（3）当x ＝15.5时，y ＝190，50×190＜12000，故：按照（2）的销售方式，不能在保质期内全部销售完；由50（500﹣20x ）≥12000，解得：x ≤13，当x ＝13时，既能销售完又能获得最大利润．

【详解】

解：（1）将点（15，200）、（10，300）代入一次函数表达式：y ＝kx +b 得：2001530010k b k b =+⎧⎨=+⎩

， 解得：20500k b =-⎧⎨=⎩

， 即：函数的表达式为：y ＝﹣20x +500，（x ≥6）；

（2）设：该品种蜜柚定价为x 元时，每天销售获得的利润w 最大，

则：w ＝y （x ﹣6）＝﹣20（x ﹣25）（x ﹣6），

∵﹣20＜0，故w 有最大值，

当x ＝﹣2b a ＝312

＝15.5时，w 的最大值为1805元； （3）当x ＝15.5时，y ＝190，

50×190＜12000，

故：按照（2）的销售方式，不能在保质期内全部销售完；

设：应定销售价为x 元时，既能销售完又能获得最大利润w ，

由题意得：50（500﹣20x ）≥12000，解得：x ≤13，

w ＝﹣20（x ﹣25）（x ﹣6），

当x ＝13时，w ＝1680，

此时，既能销售完又能获得最大利润．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）.

2．已知，抛物线y=x 2+2mx(m 为常数且m≠0）．

（1）判断该抛物线与x 轴的交点个数，并说明理由．

（2）若点A （-n+5，0），B(n-1，0)在该抛物线上，点M 为抛物线的顶点，求△ABM 的面积．

（3）若点（2，p)，（3，g ），（4，r)均在该抛物线上，且p【答案】（1）抛物线与x 轴有2个交点，理由见解析；（2）△ABM 的面积为8；（3）m 的取值范围m>-2.5

【解析】

【分析】

（1）首先算出根的判别式b 2-4ac 的值，根据偶数次幂的非负性，判断该值一定大于0，从而根据抛物线与x 轴交点个数与根的判别式的关系即可得出结论；

（2）根据抛物线的对称性及A,B 两点的坐标特点求出抛物线的对称轴直线为x=2.从而再根据抛物线对称轴直线公式建立方程，求解算出m 的值，进而求出抛物线的解析式，得出A,B,M 三点的坐标，根据三角形的面积计算方法，即可算出答案；

（3）方法一（图象法）：根据抛物线的对称轴直线及开口方向判断出当对称轴在直线x=3的右边时，显然不符合题目条件；当对称轴在直线x=2的左边时，显然符合题目条件（如图2），从而列出不等式得出m 的取值范围；当对称轴在直线x=2和x=3之间时，满足3-（-m)>-m-2即可（如图3），再列出不等式得出m 的取值范围，综上所述，求出m 的取值范围；方法二（代数法）：将三点的横坐标分贝代入抛物线的解析式，用含m 的式子表示出p,g,r ，再代入 p【详解】

（1）解：抛物线与x 轴有2个交点。理由如下：

∵m≠0，∴b 2-4ac =（2m ）2-4×1×0=4m 2>0．

∴抛物线与x 轴有2个交点

（2）解：∵点A （-n+5，0），B(n-1，0)在抛物线上

∴抛物线的对称轴x=5122

n n -++-=

∴ 221

m =2,即m=-2． ∴抛物线的表达式为y=x 2-4x ．

∴点A （0，0），点B （4，0）或点A （4，0），点B （0，0），点M （2，-4） ∴△ABM 的面积为12

×4×4=8 （3）解：方法一（图象法）：

∵抛物线y=x 2+2mx 的对称轴为x=-m ，开口向上。

∴当对称轴在直线x=3的右边时，显然不符合题目条件（如图1）．

当对称轴在直线x=2的左边时，显然符合题目条件（如图2）．

此时，-m<2，即m>-2．

当对称轴在直线x=2和x=3之间时，满足3-（-m)>-m-2即可（如图3）．

即m>-2.5．

综上所述，m 的取值范围m>-2.5

方法二（代数法）：

由已知得，p=4+4m ，g=9+6m ，r=16+8m ．

∵p【点睛】

二次函数的综合应用题。与X 轴交点的情况当△=b2-4ac>0时，函数图像与x 轴有两个交点。当△=b2-4ac=0时，函数图像与x 轴只有一个交点。Δ=b2-4ac<0时，抛物线与x 轴没有交点。熟练运用顶点坐标（-2b a ，2

44ac b a

-）

3．已知，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A （﹣1，0）和C （0，3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使PA +PC 的值最小？如果存在，请求出点P 的坐标，如果不存在，请说明理由；

（3）设点M 在抛物线的对称轴上，当△MAC 是直角三角形时，求点M 的坐标．

【答案】（1）223y x x =-++；（2）当PA PC +的值最小时，点P 的坐标为()1,2；

（3）点M 的坐标为()1,1、()1,2、81,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或21,3⎛⎫-

⎪⎝⎭

. 【解析】

【分析】 ()1由点A 、C 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

()2连接BC 交抛物线对称轴于点P ，此时PA PC +取最小值，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B 的坐标，由点B 、C 的坐标利用待定系数法即可求出直线BC 的解析式，利用配方法可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P 的坐标；

()3设点M 的坐标为()1,m ，则22CM (10)(m 3)=-+-，

()22AC [01](30)10=--+-=()22AM [11](m 0)=--+-AMC 90∠=、ACM 90∠=和CAM 90∠=三种情况，利用勾股定理可得出关于m 的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m 的值，进而即可得出点M 的坐标．

【详解】

解：()1将()1,0A -、()0,3C 代入2

y x bx c =-++中， 得：{103b c c --+==，解得：{2

3b c ==， ∴抛物线的解析式为223y x x =-++．

()2连接BC 交抛物线对称轴于点P ，此时PA PC +取最小值，如图1所示．

当0y =时，有2230x x -++=，

解得：11x =-，23x =，

∴点B 的坐标为()3,0．

抛物线的解析式为22

23(1)4y x x x =-++=--+， ∴抛物线的对称轴为直线1x =．

设直线BC 的解析式为()0y kx d k =+≠，

将()3,0B 、()0,3C 代入y kx d =+中，

得：{303k d d +==，解得：{1

3k d =-=， ∴直线BC 的解析式为3y x =-+．

当1x =时，32y x =-+=，

∴当PA PC +的值最小时，点P 的坐标为()1,2．

()3设点M 的坐标为()1,m ， 则22(10)(3)CM m =-+-，()22[01](30)10AC =--+-=()22[11](0)AM m =--+-

分三种情况考虑： ①当90AMC ∠=时，有222AC AM CM =+，即22101(3)4m m =+-++， 解得：11m =，22m =，

∴点M 的坐标为()1,1或()1,2； ②当90ACM ∠=时，有222AM AC CM =+，即224101(3)m m +=++-， 解得：83

m =， ∴点M 的坐标为81,3⎛⎫ ⎪⎝⎭

； ③当90CAM ∠=时，有222CM AM AC =+，即221(3)410m m +-=++，

解得：23m =-， ∴点M 的坐标为21,.3⎛⎫- ⎪⎝

⎭

综上所述：当MAC 是直角三角形时，点M 的坐标为()1,1、()1,2、81,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或21,.3⎛⎫-

⎪⎝⎭

【点睛】 本题考查待定系数法求二次(一次)函数解析式、二次(一次)函数图象的点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及勾股定理，解题的关键是：()1由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式；()2由两点之间线段最短结合抛物线的对称性找出点P 的位置；()3分AMC 90∠=、ACM 90∠=和CAM 90∠=三种情况，列出关于m 的方程．

4．二次函数y=x 2-2mx+3（m ＞）的图象与x 轴交于点A （a ，0）和点B （a+n ，0）（n ＞0且n 为整数），与y 轴交于C 点．

（1）若a=1，①求二次函数关系式；②求△ABC 的面积；

（2）求证：a=m-；

（3）线段AB （包括A 、B ）上有且只有三个点的横坐标是整数，求a 的值．

【答案】（1）y=x 2-4x+3；3；（2）证明见解析；（3）a=1或a=

−． 【解析】

试题分析：（1）①首先根据a=1求得A 的坐标，然后代入二次函数的解析式，求得m 的值即可确定二次函数的解析式；

②根据解析式确定抛物线与坐标轴的交点坐标，从而确定三角形的面积；

（2）将原二次函数配方后即可确定其对称轴为x=m ，然后根据A 、B 两点关于x=m 对称得到a+n-m=m-a ，从而确定a 、m 、n 之间的关系；

（3）根据a=m-得到A （m-，0）代入y=（x-m ）2-m 2+3得0=（m--m ）2-m 2+3，求得m 的值即可确定a 的值．

试题解析：（1）①∵a=1，

∴A （1，0），

代入y=x2-2mx+3得1-2m+3=0，解得m=2，

∴y=x2-4x+3；

②在y=x2-4x+3中，当y=0时，有x2-4x+3=0可得x=1或x=3，

∴A（1，0）、B（3，0），

∴AB=2再根据解析式求出C点坐标为（0，3），

∴OC=3，

△ABC的面积=×2×3=3；

（2）∵y=x2-2mx+3=（x-m）2-m2+3，

∴对称轴为直线x=m，

∵二次函数y=x2-2mx+3的图象与x轴交于点A和点B

∴点A和点B关于直线x=m对称，

∴a+n-m=m-a，

∴a=m-；

（3）y=x2-2mx+3（m＞）化为顶点式为y=（x-m）2-m2+3（m＞）①当a为整数，因为n＞0且n为整数所以a+n是整数，

∵线段AB（包括A、B）上有且只有三个点的横坐标是整数，

∴n=2，

∴a=m-1，

∴A（m-1，0）代入y=（x-m）2-m2+3得（x-m）2-m2+3=0，

∴m2-4=0，

∴m=2，m=-2（舍去），

∴a=2-1=1，

②当a不是整数，因为n＞0且n为整数所以a+n不是整数，

∵线段AB（包括A、B）上有且只有三个点的横坐标是整数，

∴n=3，

∴a=m-

∴A（m-，0）代入y=（x-m）2-m2+3得0=（m--m）2-m2+3，

∴m2=，

∴m=，m=-（舍去），

∴a=−，

综上所述：a=1或a=−．考点：二次函数综合题．

5．如图，已知抛物线的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）。

（1）求直线BC与抛物线的解析式；

（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；

（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为

S2，且S1=6S2，求点P的坐标。

【答案】（1）

（2）

（3）P的坐标为（－1，12）或（6，5）或（2，－3）或（3，－4）

【解析】

【分析】

（1）由B（5，0），C（0，5），应用待定系数法即可求直线BC与抛物线的解析式。（2）构造MN关于点M横坐标的函数关系式，应用二次函数最值原理求解。

（3）根据S1=6S2求得BC与PQ的距离h，从而求得PQ由BC平移的距离，根据平移的性质求得PQ的解析式，与抛物线联立，即可求得点P的坐标。

【详解】

解：（1）设直线BC的解析式为，

将B（5，0），C（0，5）代入，得，得。

∴直线BC的解析式为。

将B（5，0），C（0，5）代入，得，得。

∴抛物线的解析式。

（2）∵点M是抛物线在x轴下方图象上的动点，∴设M。

∵点N是直线BC上与点M横坐标相同的点，∴N。

∵当点M在抛物线在x轴下方时，N的纵坐标总大于M的纵坐标。

∴。

∴MN的最大值是。

（3）当MN取得最大值时，N。

∵的对称轴是，B（5，0），∴A（1，0）。∴AB=4。

∴。

由勾股定理可得。

设BC与PQ的距离为h，则由S1=6S2得：，即。

如图，过点B作平行四边形CBPQ的高BH，过点H作x轴的垂线交点E ，则

BH=，EH是直线BC沿y轴方向平移的距离。

易得，△BEH是等腰直角三角形，

∴EH=。

∴直线BC沿y轴方向平移6个单位得PQ的解析式：

或。

当时，与联立，得

，解得或。此时，点P的坐标为（－1，12）或（6，5）。当时，与联立，得

，解得或。此时，点P的坐标为（2，－3）或（3，－4）。

综上所述，点P的坐标为（－1，12）或（6，5）或（2，－3）或（3，－4）。

6．如图：在平面直角坐标系中，直线l：y=1

3

x﹣

4

3

与x轴交于点A，经过点A的抛物线

y=ax 2﹣3x+c 的对称轴是x=32

． （1）求抛物线的解析式； （2）平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，点P 是直线m 上任意一点，PB ⊥x 轴于点B ，PC ⊥y 轴于点C ，若点E 在线段OB 上，点F 在线段OC 的延长线上，连接PE ，PF ，且PE=3PF ．求证：PE ⊥PF ；

（3）若（2）中的点P 坐标为（6，2），点E 是x 轴上的点，点F 是y 轴上的点，当PE ⊥PF 时，抛物线上是否存在点Q ，使四边形PEQF 是矩形？如果存在，请求出点Q 的坐标，如果不存在，请说明理由．

【答案】（1）抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4；（2）证明见解析；（3）点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．

【解析】

【分析】

（1）先求得点A 的坐标，然后依据抛物线过点A ，对称轴是x=

32列出关于a 、c 的方程组求解即可；

（2）设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ，然后再证明∠FPC=∠EPB ，最后通过等量代换进行证明即可；

（3）设E （a ，0），然后用含a 的式子表示BE 的长，从而可得到CF 的长，于是可得到点F 的坐标，然后依据中点坐标公式可得到22x x x x Q P F E ++=，22

y y y y Q P F E ++=，从而可求得点Q 的坐标（用含a 的式子表示），最后，将点Q 的坐标代入抛物线的解析式求得a 的值即可．

【详解】

（1）当y=0时，14033x -=，解得x=4，即A （4，0），抛物线过点A ，对称轴是x=32，得161203322a c a -+=⎧⎪-⎨-=⎪⎩

，

解得14

a c =⎧⎨=-⎩，抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4； （2）∵平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，

∴直线m 的解析式为y=13x ． ∵点P 是直线1上任意一点， ∴设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ．

又∵PE=3PF ， ∴PC PB PF PE

=． ∴∠FPC=∠EPB ． ∵∠CPE+∠EPB=90°，

∴∠FPC+∠CPE=90°，

∴FP ⊥PE ．

（3）如图所示，点E 在点B 的左侧时，设E （a ，0），则BE=6﹣a ．

∵CF=3BE=18﹣3a ，

∴OF=20﹣3a ．

∴F （0，20﹣3a ）．

∵PEQF 为矩形，

∴

22x x x x Q P F E ++=，22

y y y y Q P F E ++=， ∴Q x +6=0+a ，Q y +2=20﹣3a+0，

∴Q x =a ﹣6，Q y =18﹣3a ． 将点Q 的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a ﹣6）2﹣3（a ﹣6）﹣4，解得：a=4或a=8（舍去）．

∴Q （﹣2，6）．

如下图所示：当点E 在点B 的右侧时，设E （a ，0），则BE=a ﹣6．

∵CF=3BE=3a ﹣18，

∴OF=3a ﹣20．

∴F （0，20﹣3a ）．

∵PEQF 为矩形， ∴

22x x x x Q P F E ++=，22

y y y y Q P F E ++=， ∴Q x +6=0+a ，Q y +2=20﹣3a+0，

∴Q x =a ﹣6，Q y =18﹣3a ． 将点Q 的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a ﹣6）2﹣3（a ﹣6）﹣4，解得：a=8或a=4（舍去）．

∴Q （2，﹣6）．

综上所述，点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．

【点睛】

本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、待定系数法求二次函数的解析式、中点坐标公式，用含a 的式子表示点Q 的坐标是解题的关键．

7．如图1，已知抛物线y=﹣x 2+bx+c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，与y 轴交于C 点，点P 是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P 的横坐标为t ．

（1）求抛物线的表达式；

（2）设抛物线的对称轴为l ，l 与x 轴的交点为D ．在直线l 上是否存在点M ，使得四边形CDPM 是平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）如图2，连接BC ，PB ，PC ，设△PBC 的面积为S ．

①求S 关于t 的函数表达式；

②求P 点到直线BC 的距离的最大值，并求出此时点P 的坐标．

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3．（2）当t=2时，点M的坐标为（1，6）；当t≠2时，不存

在，理由见解析；（3）y=﹣x+3；P点到直线BC 92

，此时点P的坐

标为（3

2

，

15

4

）．

【解析】

【分析】（1）由点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；

（2）连接PC，交抛物线对称轴l于点E，由点A、B的坐标可得出对称轴l为直线x=1，分t=2和t≠2两种情况考虑：当t=2时，由抛物线的对称性可得出此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，再根据点C的坐标利用平行四边形的性质可求出点P、M的坐标；当t≠2时，不存在，利用平行四边形对角线互相平分结合CE≠PE可得出此时不存在符合题意的点M；

（3）①过点P作PF∥y轴，交BC于点F，由点B、C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式，根据点P的坐标可得出点F的坐标，进而可得出PF的长度，再由三角形的面积公式即可求出S关于t的函数表达式；

②利用二次函数的性质找出S的最大值，利用勾股定理可求出线段BC的长度，利用面积法可求出P点到直线BC的距离的最大值，再找出此时点P的坐标即可得出结论．

【详解】（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c，

得

10

930

b c

b c

-++=

⎧

⎨

-++=

⎩

，解得：

2

3

b

c

=

⎧

⎨

=

⎩

，

∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3；

（2）在图1中，连接PC，交抛物线对称轴l于点E，

∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，

∴抛物线的对称轴为直线x=1，

当t=2时，点C、P关于直线l对称，此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，∵抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3，

∴点C的坐标为（0，3），点P的坐标为（2，3），

∴点M的坐标为（1，6）；

当t≠2时，不存在，理由如下：若四边形CDPM是平行四边形，则CE=PE，

∵点C的横坐标为0，点E的横坐标为0，

∴点P的横坐标t=1×2﹣0=2，

又∵t≠2，

∴不存在；

（3）①在图2中，过点P作PF∥y轴，交BC于点F．设直线BC的解析式为y=mx+n（m≠0），

将B（3，0）、C（0，3）代入y=mx+n，

得

30

3

m n

n

+=

⎧

⎨

=

⎩

，解得：

1

3

m

n

=-

⎧

⎨

=

⎩

，

∴直线BC的解析式为y=﹣x+3，

∵点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），∴点F的坐标为（t，﹣t+3），

∴PF=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，

∴S=1

2

PF•OB=﹣

3

2

t2+

9

2

t=﹣

3

2

（t﹣

3

2

）2+

27

8

；

②∵﹣3

2

＜0，

∴当t=3

2时，S取最大值，最大值为

27

8

．

∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），∴线段BC=2232

OB OC

+=，

∴P点到直线BC的距离的最大值为27

292

8

8

32

⨯

=，

此时点P的坐标为（3

2

，

15

4

）．

【点睛】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、平行四边形的判定与性质、三角形的面积、一次（二次）函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线表达式；（2）分t=2和t≠2两种情况考虑；（3）①利用三角形的面积公式找出S关于t的函数表达式；②利用二次函数的性质结合面积法求出P点到直线BC的距离的最大值．

8．在平面直角坐标系xOy 中，顶点为A 的抛物线与x 轴交于B 、C 两点，与y 轴交于点D ，已知A(1，4)，B(3，0)．

(1)求抛物线对应的二次函数表达式；

(2)探究：如图1，连接OA ，作DE ∥OA 交BA 的延长线于点E ，连接OE 交AD 于点F ，M 是BE 的中点，则OM 是否将四边形OBAD 分成面积相等的两部分？请说明理由；

(3)应用：如图2，P(m ，n)是抛物线在第四象限的图象上的点，且m+n ＝﹣1，连接PA 、PC ，在线段PC 上确定一点M ，使AN 平分四边形ADCP 的面积，求点N 的坐标．提示：若点A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则线段AB 的中点坐标为(122x x +，122

y y +)． 【答案】(1)y ＝﹣x 2+2x ﹣3；(2)OM 将四边形OBAD 分成面积相等的两部分，理由见解析；

(3)点N(

43，﹣73

)． 【解析】

【分析】 (1)函数表达式为：y ＝a(x ﹣1)2+4，将点B 坐标的坐标代入上式，即可求解；

(2)利用同底等高的两个三角形的面积相等，即可求解；

(3)由(2)知：点N 是PQ 的中点，根据C,P 点的坐标求出直线PC 的解析式，同理求出AC,DQ 的解析式，并联立方程求出Q 点的坐标，从而即可求N 点的坐标．

【详解】

(1)函数表达式为：y ＝a(x ﹣1)2+4，

将点B 坐标的坐标代入上式得：0＝a(3﹣1)2+4，

解得：a ＝﹣1，

故抛物线的表达式为：y ＝﹣x 2+2x ﹣3；

(2)OM 将四边形OBAD 分成面积相等的两部分，理由：

如图1，∵DE ∥AO ，S △ODA ＝S △OEA ，

S △ODA +S △AOM ＝S △OEA +S △AOM ，即：S 四边形OMAD ＝S △OBM ，

∴S △OME ＝S △OBM ，

∴S 四边形OMAD ＝S △OBM ；

如图2，故点D作QD∥AC交PC的延长线于点Q，

由(2)知：点N是PQ的中点，

设直线PC的解析式为y=kx+b，

将点C(﹣1，0)、P(4，﹣5)的坐标代入得：

45

k b

k b

-+=

⎧

⎨

+=-

⎩

，

解得：

1

1 k

b

=-

⎧

⎨

=-

⎩

，

所以直线PC的表达式为：y＝﹣x﹣1…①，

同理可得直线AC的表达式为：y＝2x+2，

直线DQ∥CA，且直线DQ经过点D(0，3)，

同理可得直线DQ的表达式为：y＝2x+3…②，

联立①②并解得：x＝﹣4

3

，即点Q(﹣

4

3

，

1

3

)，

∵点N是PQ的中点，

由中点公式得：点N(4

3

，﹣

7

3

)．

【点睛】

本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形面积的计算等，其中(3)直接利用(2)的结论，即点N是PQ的中点，是本题解题的突破点．

9．如图①，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax2+bx+3经过点A(-1，0) 、B(3，0) 两点，且与y轴交于点C

.

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x 轴，并沿x 轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P 、 Q 两点（点P 在点Q 的左侧），连接PQ ，在线段PQ 上方抛物线上有一动点D ，连接DP 、DQ.

①若点P 的横坐标为12

-，求△DPQ 面积的最大值，并求此时点D 的坐标； ②直尺在平移过程中，△DPQ 面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由.

【答案】（1）抛物线y=-x 2+2x+3；（2）①点D （ 31524，）；②△PQD 面积的最大值为8

【解析】

分析：（1）根据点A 、B 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；

（2）（I ）由点P 的横坐标可得出点P 、Q 的坐标，利用待定系数法可求出直线PQ 的表达式，过点D 作DE ∥y 轴交直线PQ 于点E ，设点D 的坐标为（x ，-x 2+2x+3），则点E 的坐标为（x ，-x+

54），进而即可得出DE 的长度，利用三角形的面积公式可得出S △DPQ =-2x 2+6x+72

，再利用二次函数的性质即可解决最值问题； （II ）假设存在，设点P 的横坐标为t ，则点Q 的横坐标为4+t ，进而可得出点P 、Q 的坐标，利用待定系数法可求出直线PQ 的表达式，设点D 的坐标为（x ，-x 2+2x+3），则点E 的坐标为（x ，-2（t+1）x+t 2+4t+3），进而即可得出DE 的长度，利用三角形的面积公式可得出S △DPQ =-2x 2+4（t+2）x-2t 2-8t ，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．

详解：（1）将A （-1，0）、B （3，0）代入y=ax 2+bx+3，得：

309330a b a b -+⎧⎨++⎩＝＝，解得：12a b -⎧⎨⎩

＝＝， ∴抛物线的表达式为y=-x 2+2x+3．

（2）（I ）当点P 的横坐标为-

12时，点Q 的横坐标为72， ∴此时点P 的坐标为（-12，74

），点Q 的坐标为（72，-94）． 设直线PQ 的表达式为y=mx+n ，

将P （-12，74）、Q （72，-94）代入y=mx+n ，得： 1724792

4m n m n ⎧-+⎪⎪⎨⎪+-⎪⎩＝＝，解得：154m n -⎧⎪⎨⎪⎩＝＝， ∴直线PQ 的表达式为y=-x+54

． 如图②，过点D 作DE ∥y 轴交直线PQ 于点E ，

设点D 的坐标为（x ，-x 2+2x+3），则点E 的坐标为（x ，-x+

54）， ∴DE=-x 2+2x+3-（-x+

54）=-x 2+3x+74， ∴S △DPQ =12

DE•（x Q -x P ）=-2x 2+6x+72=-2（x-32）2+8． ∵-2＜0，

∴当x=32时，△DPQ 的面积取最大值，最大值为8，此时点D 的坐标为（32

，154）． （II ）假设存在，设点P 的横坐标为t ，则点Q 的横坐标为4+t ，

∴点P 的坐标为（t ，-t 2+2t+3），点Q 的坐标为（4+t ，-（4+t ）2+2（4+t ）+3）， 利用待定系数法易知，直线PQ 的表达式为y=-2（t+1）x+t 2+4t+3．

设点D 的坐标为（x ，-x 2+2x+3），则点E 的坐标为（x ，-2（t+1）x+t 2+4t+3）， ∴DE=-x 2+2x+3-[-2（t+1）x+t 2+4t+3]=-x 2+2（t+2）x-t 2-4t ，

∴S △DPQ =

12

DE•（x Q -x P ）=-2x 2+4（t+2）x-2t 2-8t=-2[x-（t+2）]2+8． ∵-2＜0，

∴当x=t+2时，△DPQ 的面积取最大值，最大值为8． ∴假设成立，即直尺在平移过程中，△DPQ 面积有最大值，面积的最大值为8．

点睛：本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及二次函数的最值，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）（I ）利用三角形的面积公式找出S △DPQ =-

2x 2+6x+72；（II ）利用三角形的面积公式找出S △DPQ =-2x 2+4（t+2）x-2t 2-8t ．

10．综合与探究

如图，抛物线y=211433

x x --与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．点P 是第四象限内抛物线上的一个动点，点P 的横坐标为m ，过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q ，过点P 作PE ∥AC 交x 轴于点E ，交BC 于点F ．

（1）求A ，B ，C 三点的坐标；

（2）试探究在点P 运动的过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请直接写出此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）请用含m 的代数式表示线段QF 的长，并求出m 为何值时QF 有最大值．

【答案】（1）C （0，﹣4）；（2）Q 点坐标为（

522，522﹣4）或（1，﹣3）； （3）当m=2时，QF 有最大值．

【解析】

【分析】

（1）解方程

13x 2−13

x-4=0得A （-3，0），B （4，0），计算自变量为0时的二次函数值得C 点坐标； （2）利用勾股定理计算出AC=5，利用待定系数法可求得直线BC 的解析式为y=x-4，则可设Q （m ，m-4）（0＜m ＜4），讨论：当CQ=CA 时，则m 2+（m-4+4）2=52，

当AQ=AC 时，（m+3）2+（m-4）2=52；当QA=QC 时，（m+3）2+（m-4）2=52，然后分别解方程求出m 即可得到对应的Q 点坐标；

（3）过点F 作FG ⊥PQ 于点G ，如图，由△OBC 为等腰直角三角形．可判断△FQG 为等腰直角三角形，则FG=QG=22

FQ ，再证明△FGP ～△AOC 得到34FG PG =，则22FQ ，所以72FQ ，于是得到32，设P （m ，13m 2-13m-4）（0＜m

3

m2+

4

3

m得到FQ=

32

7

（-

1

3

m2+

4

3

m），然后利用

二次函数的性质解决问题．【详解】

（1）当y=0，1

3

x2−

1

3

x-4=0，解得x1=-3，x2=4，

∴A（-3，0），B（4，0），

当x=0，y=1

3

x2−

1

3

x-4=-4，

∴C（0，-4）；

（2）AC=22

34=5

，

易得直线BC的解析式为y=x-4，设Q（m，m-4）（0＜m＜4），

当CQ=CA时，m2+（m-4+4）2=52，解得m1=52

2

，m2=-

52

2

（舍去），此时Q点坐标为

（52

2

，

52

2

-4）；

当AQ=AC时，（m+3）2+（m-4）2=52，解得m1=1，m2=0（舍去），此时Q点坐标为（1，-3）；

当QA=QC时，（m+3）2+（m-4）2=52，解得m=25

2

（舍去），

综上所述，满足条件的Q点坐标为（52

2

，

52

2

-4）或（1，-3）；

（3）解：过点F作FG⊥PQ于点G，如图，

则FG∥x轴．由B（4，0），C（0，-4）得△OBC为等腰直角三角形∴∠OBC=∠QFG=45

∴△FQG为等腰直角三角形，

∴FG=QG=2

2

FQ，

∵PE∥AC，PG∥CO，

∴∠FPG=∠ACO ，

∵∠FGP=∠AOC=90°，

∴△FGP ～△AOC ． ∴FG PG OA CO =，即34

FG PG =，

∴PG=43FG=43•2FQ=3

FQ ，

∴FQ ，

∴PQ ， 设P （m ，13m 2-13

m-4）（0＜m ＜4），则Q （m ，m-4）， ∴PQ=m-4-（

13m 2-13m-4）=-13m 2+43m ，

∴FQ=

7（-13m 2+43m ）=-7（m-2）2+7

∵-7

＜0， ∴QF 有最大值．

∴当m=2时，QF 有最大值．

【点睛】

本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，会利用相似比表示线段之间的关系；会运用分类讨论的思想解决数学问题．