数值分析课后习题答案

题12   给定节点，，，，试分别对下列函数导出拉格朗日插值余项： 

（1）（1）       

（2）（2）       

解　（1），

由拉格朗日插值余项得；

（2）

由拉格朗日插值余项得.

题15   证明：对于以，为节点的一次插值多项式，插值误差.

证　由拉格朗日插值余项得，其中，

.

题22   采用下列方法构造满足条件，的插值多项式：

（1）（1）       用待定系数法；

（2）（2）       利用承袭性，先考察插值条件，的插值多项式.

解　（1）有四个插值条件，故设，，代入得方程组

解之，得

；

（2）先求满足插值条件，的插值多项式，由0为二重零点，可设，代入，得，；

再求满足插值条件，的插值多项式，可设，，代入，得，.

题33   设分段多项式是以为节点的三次样条函数，试确定系数的值.

解　由得，；

，由得，；

联立两方程，得，

且此时，，

是以为节点的三次样条函数.

题35   用最小二乘法解下列超定方程组：.

解　记残差的平方和为

令，得，解之得.

题37   用最小二乘法求形如的多项式，使与下列数据相拟合：

解　拟合曲线中的基函数为，，

其法方程组为，

其中，，，，

，解之得，.

第二章

题3   确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量地高，并指明求积公式所具有的代数精度： 

（2）       

（2）从结论“在机械求积公式中，代数精度最高的是插值型的求积公式”出发，

，

，

，

，

当时，有 

左边＝，

右边＝，

左边＝右边，

当时，有 

左边＝，

右边＝，

左边≠右边，所以该求积公式的代数精度为3.

题8   已知数据表

解　辛甫生法

    ；

    复化梯形法  

    .

题17   用三点高斯公式求下列积分值.

解　先做变量代换，设，

则 ＝

.

第三章

  用欧拉方法求解初值问题，：

（1）       试导出近似解的显式表达式；

解　（1）其显示的Euler格式为：

故

将上组式子左右累加，得

题10   选取参数、，使下列差分格式具有二阶精度：.

解　将在点处作一次泰勒展开，得

代入，得

而

考虑其局部截断误差，设，比较上两式，当， 时，

.

第四章

题2   证明方程有且仅有一实根；试确定这样的区间，使迭代过程对一切均收敛.

解　设，则在区间上连续，

且，，

所以在上至少有一根；

又，所以单调递增，故在上仅有一根.

迭代过程，其迭代函数为，

，，；

，，

由压缩映像原理知，均收敛.

注  这里取为区间，也可取为区间等.

题5   考察求解方程的迭代法

（1）（１）   证明它对于任意初值均收敛；

（２）   证明它具有线性收敛性；

证　（1）迭代函数为，

，；

又 ，

由压缩映像原理知，均收敛；

（2）（否则，若，则，不满足方程），所以迭代具有线性收敛速度；

题7   求方程在附近的一个根，证明下列两种迭代过程在区间上均收敛： 

（1）（１）   改写方程为，相应的迭代公式为；

（2）（２）   改写方程为，相应的迭代公式为.

解　（1），迭代公式为，

其迭代函数为

，，

；

又 ，　，，

由大范围收敛定理知，均收敛；

（2），迭代公式为，

其迭代函数为

，，

；

又 ，

，

，

由大范围收敛定理知，均收敛.

题5   分别用雅可比迭代与高斯-塞德尔迭代求解下列方程组：

（2）其雅可比迭代格式为，取初始向量，迭代发散；

其高斯-塞德尔迭代格式为，取初始向量，迭代发散.

第六章

题2用主元消去法解下列方程组

）

解　

（2）对其增广矩阵进行列主元消元得

回代求解上三角方程组得，所以.