...上册第四章《相似三角形》练习题-浙教版(含答案)

一．选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）

温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！

1.如图，与位似，点O为位似中心，相似比为.若的周长为4，则的周长是(       )

A.4       B.6        C.9        D.16

2.若∽，，，则(          )

A.     B.        C.        D.

3．两个相似三角形的面积之比为1：4，较小的三角形的周长为4，则另一个三角形的周长为（　　）

A．16    B．8    C．2    D．1

4．设，则的值为（　　）

A．    B．    C．    D．

5.如图，矩形的四个顶点分别在菱形的四条边上，．将，分别沿边，折叠，当重叠部分为菱形且面积是菱形面积的时，则为（    ）

A．    B．2    C．    D．

6.如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，D为⊙O上一点（位于AB下方），CD交AB于点E，若∠BDC＝45°，BC＝6 ，CE＝2DE，则CE的长为（　  　）  

A．    B．    C．    D．

7.如图平行四边形ABCD中，F为BC中点，延长AD至E，使，连结EF交DC于点G，则（　  　）

A．2∶3    B．4∶9    C．9∶4    D．3∶2

8.如图，在四边形中，以为直径的恰好经过点，，交于点，已知平分，，，则的值为（    ）

A．              B．              C．           D．

9.由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示．过点D作DF的垂线交小正方形对角线EF的延长线于点G，连结CG，延长BE交CG于点H．若AE＝2BE，则的值为（　　）

A．    B．    C．       D．

10.将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD，其中，，，，，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是(   )

A.    B.    C.10    D.

二．填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）

温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！

11.如图，线段AB两个端点的坐标分别为，，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点D的坐标为　         　

12．如图，在梯形ABCD中，AD∥EF∥BC，且AE：EB＝2：3，CD＝15，则FC＝　      　

13．如图，M是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一定点，过M点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有______________

14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（－2，6）和（7，0）．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，平移的距离为_____________

15．如图，在锐角三角形中，，，动点从点出发到点停止，动点从点出发到点停止，点运动的速度为，点运动的速度为，如果两点同时开始运动，那么以点，，为顶点的三角形与相似时的运动时间为_______________

16.如图，四边形ABCD是正方形，点E在边AD上，是以E为直角顶点的等腰直角三角形，EF，BF分别交CD于点M，N，过点F作AD的垂线交AD的延长线于点G.连接DF，请完成下列问题：

（1）_______°；（2）若，，则________.

三．解答题（共6题，共66分）

温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！

17.（本题6分）如图，在△ABC中，D、E分别是AB，AC上的点，∠AED＝∠B，△ABC用平分线AF交DE于点G，交BC于点F．（1）求证：△AED∽△ABC．（2）设，求的值．

18.（本题8分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．M为AD中点，连接CM交BD于点N．（1）求DN：BN的值；（2）若△OCN的面积为2，求四边形AONM的面积．

19（本题8分）如图，在中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF，已知四边形BFED是平行四边形，.（1）若，求线段AD的长.（2）若的面积为1，求平行四边形BFED的面积.

20.（本题10分）如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AG交⊙O于点G，交BC边于点F，连接BG．（1）求证：△ABG∽△AFC．（2）已知AB＝a，AC＝AF＝b，求线段FG的长（用含a，b的代数式表示）．（3）已知点E在线段AF上（不与点A，点F重合），点D在线段AE上（不与点A，点E重合），∠ABD＝∠CBE，求证：BG2＝GE•GD．

21.（本题10分）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AC上一点，射线BE与CD的延长线交于点P，与边AD交于点F，连接FC．（1）若∠ABF＝∠ACF，求证：CE2＝EF•EP；

（2）若点D是CP中点，BE＝，求EF的长．

22（本题12分）．如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：

（1）当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；（2）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（3）作QR∥BA交AC于点R，连接PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ．

23（本题12分）如图，已知抛物线交轴于点，与直线交于点（非原点），过点作BC∥x轴交抛物线于点，．（1）求的值．（2）若是线段上一点，过点作轴的垂线分别交直线与抛物线于，．求线段的最大值．（3）若是射线上一点，作点关于直线的对称点，连结，．是否存在与相似，若不存在请说明理由，若存在请求出点的坐标．

参

一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）

温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！

1.答案：B

解析：由两个位似图形的周长比等于位似比可知，，

.

故选B.

2.答案：D

解析：，

，

，，

.

故选择：D

3.答案：B

解析：设另一个三角形的周长为x，则

4：x＝，

解得：x＝8．

故另一个三角形的周长为8，

故选：B．

4.答案：C

解析：∵

∴，

∴．

故选：C．

5.答案：D

解析：设重叠的菱形边长为x，BE=BF=y，

由矩形和菱形的对称性以及折叠的性质得：四边形AHME、四边形BENF是菱形，

∴AE=EM，EN=BE=y，EM=x+y，

∵当重叠部分为菱形且面积是菱形ABCD面积的，且两个菱形相似，

∴AB=4MN=4x，

∴AE=AB-BE=4x-y，

∴4x-y=x+y，

解得：x=y，

∴AE=y，

∴，

∴，

故选：D．

6.答案：D

解析：连接CO，过点D作DG⊥AB于点G，连接AD，

∵∠BDC＝45°，

∴∠CAO＝∠CDB＝45°，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB＝∠ADB＝90°，

∴∠CAB＝∠CBA＝45°，

∵BC＝6，

∴AB＝ BC＝12，

∵OA＝OB，

∴CO⊥AB，

∴∠COA＝∠DGE＝90°，

∵∠DEG＝∠CEO，

∴△DGE∽△COE，

∴，

∵CE＝2DE，

设GE＝x，则OE＝2x，DG＝3，

∴AG＝6﹣3x，BG＝6＋3x，

∵∠ADB＝∠AGD＝90°，

∠DAG＝∠BAD，

∴△AGD∽△ADB，

∴DG2＝AG•BG，

∴9＝（6﹣3x）（6＋3x），

∵x＞0，

∴x＝，

∴OE＝2 ，

在Rt△OCE中，由勾股定理得：

CE＝，

故答案为：D．

7.答案：B

解析：∵

∴设，

∴，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴，

∵点F是BC的中点，

∴△DEG∽△CFG,

故答案为：B．

8.答案：D

解析：如图所示，连接OC

∵AB是圆的直径，

∴∠ACB=∠ADC=90°，

∵AC平分∠BAD，

∴∠DAC=∠CAB，∠DAB=2∠CAB，

∴△ADC∽△ACB，

∴，

∴，

∴，

∴，

又∵∠BOC=2∠CAB，

∴∠BOC=∠DAB，

∴AD∥OC，

∴△OCE∽△DAE，

∴，

故选D．

9.答案：C

解析：如图，过点G作GT⊥CF交CF的延长线于T，设BH交CF于M，AE交DF于N．设BE＝AN＝CM＝DF＝a，则AE＝BM＝CF＝DN＝2a，

∴EN＝EM＝MF＝FN＝a，

∵四边形ENFM是正方形，

∴∠EFH＝∠TFG＝45°，∠NFE＝∠DFG＝45°，

∵GT⊥TF，DF⊥DG，

∴∠TGF＝∠TFG＝∠DFG＝∠DGF＝45°，

∴TG＝FT＝DF＝DG＝a，

∴CT＝3a，CG＝，

∵MH∥TG，

∴△CMH∽△CTG，

∴CM：CT＝MH：TG＝1：3，

∴MH＝，

∴BH＝，

∴，

故选：C．

10.答案：A

解析：如图1所示，

由已知可得，，

则，

设，，

则，

解得，

，故选项B不符合题意；

，故选项D不符合题意；

如图2所示，

由已知可得，，

则，

设，，

则，

解得，

，故选项C不符合题意；

，

如图3所示：

此时两个直角三角形的斜边长为6和7；

故选A.

二、填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）

温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！

11.答案：（8，2）

解析：∵线段AB端点B的坐标分别为B（16，4），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，

∴端点D的横坐标和纵坐标都变为B点的一半，

∴端点D的坐标为：（8，2）．

故答案是：（8，2）．

12.答案：9

解析：∵AD∥BC∥EF，AE：EB＝2：3，

∴，

∴，

∵CD＝15，

∴FC＝9．

故答案为：9．

13.答案：三条

解析：过点M作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形有一个公共角，只要再作一个直角就可以．因此，

∵截得的三角形与△ABC相似，

∴过点M作AB的垂线，或作AC的垂线，或作BC的垂线，所得三角形满足题意

∴过点M作直线l共有三条．

15.答案：4

解：如图，设正方形D′C′O′E′是正方形OCDE沿x轴向右平移后的正方形，

∵顶点A，B的坐标分别为（-2，6）和（7，0），

∴AC=6，OC=2，OB=7，

∴BC=9，

∵四边形OCDE是正方形，

∴DE=OC=OE=2，

∴O′E′=O′C′=2，

∵E′O′⊥BC，

∴∠BO′E′=∠BCA=90°，

∴E′O′∥AC，

∴△BO′E′∽△BCA，

∴，

∴，

∴BO′=3，

∴OO′=7-3=4，

15.答案：或．

解析：设以点，，为顶点的三角形与相似时的运动时间为 ，

根据题意得： ， ，则 ，

当 ，即 时，

∴，解得： ；

当 ，即 时，

∴，解得： ，

综上所述，以点 ，，为顶点的三角形与相似时的运动时间为或．

16.答案：      

解析：（1），，

易证，

，，

，

是等腰直角三角形，

.

（2）由（1）可知是等腰直角三角形.

又，

，

.

如图，分别延长GF，BC，两线交于点H，

则，，，

，，

，，

即，，

，，

.

三．解答题（共6题，共66分）

温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！

17.解析：（1）∵∠AED＝∠B，∠BAC＝∠DAE，

∴△AED∽△ABC；

（2）∵△AED∽△ABC，

∴∠ADE＝∠ACB，

∵AF平分∠BAC，

∴∠DAG＝∠CAF，

∴△ADG∽△ACF，

∴．

18.解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，且AD＝BC，

∴∠MDN＝∠CBN，

又∵∠BNC＝∠DNM，

∴△MND∽△CNB，

∴，

∵M为AD的中点，

∴，

∴DN：BN＝1：2；

（2）连接OM，

∵△MND∽△CNB，DN：BN＝1：2；

∴MN：CN＝1：2，

∴MC：CN＝3：2，

∴S△OCM：S△OCN＝3：2，

∵S△OCN＝2，

∴S△OCM＝3，

∴S△ACM＝2S△OCM＝6，

∴S四边形AONM＝S△ACM﹣S△OCN＝6﹣2＝4．

19.解析：（1）由题意，得，

所以，

所以.

因为，

所以.

（2）设的面积为S，的面积为，的面积为.

因为,

所以.

因为,

所以.

因为,

所以同理可得，

所以平行四边形BFED的面积.

20.解析：（1）证明：∵AG平分∠BAC，

∴∠BAG＝∠FAC，

又∵∠G＝∠C，

∴△ABG∽△AFC；

（2）由（1）知，△ABG∽△AFC，

∴，

∵AC＝AF＝b，

∴AB＝AG＝a，

∴FG＝AG﹣AF＝a﹣b；

（3）∵∠CAG＝∠CBG，∠BAG＝∠CAG，

∴∠BAG＝∠CBG，

∵∠ABD＝∠CBE，

∴∠BDG＝∠BAG+∠ABD＝∠CBG+∠CBE＝∠EBG，

又∵∠DGB＝∠BGE，

∴△DGB∽△BGE，

∴，

∴．

21.解析：（1）∵平行四边形ABCD，射线BE与CD的延长线交于点P，

∴AB∥CD，

∴∠ABF＝∠P，

∵∠ABF＝∠ACF，

∴∠ACF＝∠P，

∵∠CEF＝∠PEC，

∴△CEF∽△PEC，

∴，

即CE2＝EF•PE；

（2））∵平行四边形ABCD，射线BE与CD的延长线交于点P，

∴AB∥CD，AB＝CD，AD∥BC，

∴∠ABF＝∠P，

∵∠AEB＝∠CEP，

∴△BEA∽△PEC，

∴，

∵点D是CP的中点，

∴CP＝2CD＝2AB，点F是BP的中点，

∴

解得：，

∴PF＝BP＝（BE+PE）＝

∴EF＝PE﹣PF＝

22.解析：（1）△BPQ是等边三角形

当t＝2时

AP＝2×1＝2，BQ＝2×2＝4

∴BP＝AB﹣AP＝6﹣2＝4

∴BQ＝BP

又∵∠B＝60°

∴△BPQ是等边三角形；

（2）过Q作QE⊥AB，垂足为E

在Rt△BEQ中，∠BQE＝90°﹣∠B＝30°，QB＝2t，

∴BE＝t，QE＝t

由AP＝t，得PB＝6﹣t

∴S△BPQ＝×BP×QE＝（6﹣t）×t＝

∴；

（3）∵QR∥BA

∴∠QRC＝∠A＝60°，∠RQC＝∠B＝60°

∴△QRC是等边三角形

∴QR＝RC＝QC＝6﹣2t

∵BE＝BQ•cos60°＝×2t＝t

∴EP＝AB﹣AP﹣BE＝6﹣t﹣t＝6﹣2t

∴EP∥QR，EP＝QR

∴四边形EPRQ是平行四边形

∴PR＝EQ＝t

又∵∠PEQ＝90°，

∴∠APR＝∠PRQ＝90°

∵△APR∽△PRQ，

∴，

∴

解得t＝

∴当t＝时，△APR∽△PRQ．

23.解析：（1）抛物线，令 ，

抛物线对称轴为 ，

∵B点在抛物线上，且BC=6，

∴B点横坐标为 ，

∵B点在直线上，

∴代入B点横坐标求得 ，即 ，

将代入，得：，解得 ；

（2）由（1）知，所以抛物线为 ，

∵是线段上一点，轴，

∴E、F的横坐标 ，

设EF的最大值为M，E、F横坐标相同，

则 ，为开口向下的抛物线，有最大值，，

∴EF的最大值为；

（3）存在，

如图：EF交x轴于点M

∵轴，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∵P在射线BC上且可形成△GPB，，

设P点横坐标为x，

∴P点横坐标 ,

∴ ，G点、E点、F点横坐标都为x，

∵E在直线上，

∴ ，

∵G为点F 关于直线BC的对称点，且F在抛物线上，

∴ ，

即 ，

∴ ，

∴ ，

∴ 

解得： ，

∵，

∴取 ，

∴ ，

∴G点纵坐标为 ，

∴ ．