一组力学创新题妙解

陈龙法

（福建省石狮一中  362700）

下面这组力学创新题，情景设置独特，对于很多高中生来说具有一定的挑战性，作者通过恰当地选择变量，或者独到的思维方式，作出了精妙的解答。如果读者先经过深入思考并动手尝试解题后，再去看作者的解答，相信会有更多的启发和兴奋，对培养和提高创新思维能力将很有帮助。

1．三只蜗牛所在的位置形成一个等边三角形，三角形的边长为。第一只蜗牛出发向第二只爬去，同时，第二只向第三只爬去，第三只向第一只爬去，每只蜗牛爬行速度都是。在爬行的过程中，每只蜗牛都始终保持对准自己的目标。问经过多长时间蜗牛们会相遇？相遇的时候它们各自爬过多少路程？

解法一：如图，将蜗牛2的速度在指向蜗牛1的方向上和与之垂直的方向上分解，则两只蜗牛彼此靠近的相对速度为

两只蜗牛的相对距离为         

经过t时间蜗牛们会相遇,      

由于它们的实际速度为,因而各自爬过的路程为

解法二：以蜗牛为原点，指向三角形的中心为一个坐标轴，其垂直方向为另一个坐标轴，如图。很明显，最终蜗牛们将在中心点相遇，而在此坐标系中的速度矢量的分解可以得到蜗牛将以恒定的速度爬向中心点。同时围绕中心点的爬行速度为。

蜗牛在初始位置距离中心点的距离为

因此它们将在       后相遇。

2．如果透过两把互相叠在一起，而又有不同齿距的梳子看亮光，则可以看到亮段和暗段相互交替出现。如果其中一把梳子以1cm/s的速度移动，问：亮的部位将以多大的速度移动？（已知不动的梳子每厘米有5个齿，而移动的梳子每厘米有6个齿）

解：我们让两把梳子的某个齿重叠在一起，那么下一对齿相互错开的距离为

把可移动的梳子移动一个S的距离，则亮带和暗带的图像将以不动的梳子的齿距（即）移动。

当梳子移动的速度为时，那么亮带和暗带的移动速度为

3．一根粗细均匀的蜡烛底部固定一小铁块，竖直平衡在水面上时，露出水面部分的蜡烛长为h0 ，若将其露出水面部分剪下，平衡时又有一部分蜡烛露出水面，再将其剪下，……，一直到再没有蜡烛露出水面为止。问一共剪下多长的蜡烛？（设蜡烛密度为ρ1，水的密度为ρ2）

解：将剪去的蜡烛连成整体记为B，最后剪剩下的蜡烛连同小铁块记为A，如图。将B竖直放入水中，其露出水面部分的长度令为，因为A在水中是随遇平衡，我们可以设想将其移到B的下方，则AB间无相互作用力且不影响B的平衡情况，这便是题目中给出的初始情况。于是知

设剪下的那部分蜡烛总长为L，则

4．将水槽支于O点，当木块A浮于右侧时，水槽恰好平衡，如图。回答下列问题：

（1）下面说法正确的是

A．用手压A使之稍许下沉，水槽右侧下倾

B．用手压A使之稍许下沉，水槽左侧下倾

C．A向左缓慢漂移至左侧，水槽左侧下倾

D．A向左缓慢漂移至左侧，水槽保持平衡

（2）若将木块取走，换成一手指插入水中，在手指插在水槽右侧时水槽平衡，则缓慢提起手指水槽是否平衡？再将手指缓慢插入水槽左侧，水槽是否平衡？

（3）若将本题中的水槽放在天平的一端，在天平的另一端放置砝码，使天平平衡。那么，当木块A从右侧缓慢漂移到左侧，天平是否保持平衡？将木块取走，重新调节砝码，使天平平衡，再用一手指缓慢插入水中，天平是否平衡？如果将手指插入水中时，调节天平使之平衡，则当保持手指插入水中的深度不变，将手指缓慢地向左侧移动，天平能否平衡？

解答：（1）D；（2）缓慢提起手指，水槽仍平衡；手指缓慢插入水槽左侧，水槽仍平衡；（3）当木块A从右侧缓慢漂移到左侧，天平保持平衡；手指缓慢插入水中，天平右端下倾；手指缓慢地向左侧移动，天平保持平衡。

5．将甲、乙两物体分别以v1、v2先后竖直上抛（v2>v1），若适当选取先后抛出的间隔时间t，可使乙物体在上抛后经过Δt时间两物体相遇，求Δt的最大值和甲比乙先抛出的时间t。

解：如图（1），根据题意，设甲物体上抛至A点时，乙物体起抛。经Δt时间两者在B处相遇，相遇时甲、乙的速度分别为、。

将上述过程进行时间反演（相当于将上述实际过程拍成录相后再倒放），则为两者同时从B点相向出发，经Δt时间，乙物体着地，甲物体至A点，如图（2）所示。因此

故                    

上式中仅可变，其最小值为0，因此Δt的最大值为

即两者相遇在甲上抛至最高点时，才有。

甲比乙先抛出的时间为

6．走私犯的船从海岸出发，沿着与笔直的海岸线垂直的方向以恒定的速度v行驶，海岸警卫队的快艇在距离走私船a处同时离开海岸。快艇始终以恒定速度朝走私船追击，最终在距离海岸线为a处时抓住走私船。问：海岸警卫队的船速是走私船速度多少倍？

解：如图，设快艇速度为kv，任意时刻t两船的距离（初始值为a）在时间内的减少量为

    ①

同时快艇距离海岸线的增加量为

          ②

其中为快艇的瞬时速度与海岸线之间的夹角。

由①②式得             ③

对③式中的小位移量进行累加

因为

于是得到

其正根为

7．足球运动员在离球门处的罚球点，将球准确地从横梁正中下边沿踢进球门，球在进门时离地高度为，足球质量为，空气阻力不计。问该运动员传给足球的最小能量是多少？

解：足球飞行可视为斜抛

   　　　  ①

　　　②

将代入①②式

　　　　　　③

　　　④

将式③、④分别平方后相加，得

注意到    为恒定值

因而，当    时，有最小值，其值为  

故运动员传给足球的最小能量为

代入已知数据，求得。

8．肥皂泡中充满了氦气,，飘浮在空气中。问肥皂泡的壁和其中充的氦气哪个更重？

解：肥皂泡飘浮在空气中，这时肥皂泡以及其中的氦气的总质量等于它排开的空气的质量。因为氦气的密度小于空气密度的一半，所以氦气的质量小于它排开的空气的质量的一半，因此肥皂泡壁要比其中充的氦气重。

9．如图所示，质量均为m的两个小球，用长为2L的细线连接起来，放在光滑的水平地面上，现用一水平恒力F作用于线的中点，F的方向与线互相垂直，连线柔软但不伸缩，质量忽略不计。两小球开始静止，运动后经过若干次碰撞，最后一直处于接触状态下运动，求碰撞过程中的能量损失。

解：设两球第一次碰撞时，方向有速度，y方向有速度，方向有位移，y方向有位移L，那么，力F的位移是。

所以         ……（1）

由牛顿运动定律可知，  ……（2）

将（2）代入（1）式得出   

而恰好就是在以后碰撞中消耗的动能，因为最后只有x方向有速度。故碰撞过程中的能量损失大小是FL。

10．一架直升飞机质量为，悬停在空中，桨翼下风速为，求它的发动机的输出功率。

错解：由于飞机在空中静止，因此它受到的向上的作用力与其受到的重力相等，即

所以发动机的输出功率为

正确解：设发动机在时间内把质量为的空气从静止加速到，发动机对这部分空气的作用力为，根据动量定理，有

如果发动机的输出功率为，则发动机对时间内的这部分空气做功为PΔt，根据动能定理得

    考虑到飞机处于静止状态，有      

得发动机的输出功率为              

11．地球的地壳岩石的熔化潜热L的值约为，问在地球上，可能的最高的山脉能够有多高？

解：考虑一座平均密度为ρ的“盒子形状”的山脉，其底部面积为S，高度为h。要使其底部厚度为d的岩石层（熔化潜热为L）熔化，所需的能量为。

山脉的总质量近似为，如果山脉下降一定的距离d，所释放的能量为，山脉的底层不会熔化，必须，即    

于是，我们可以估计出地球上的山脉可能达到的最大高度为20～30km。

12．一根粗细均匀的绳子一段固定在竖直的墙面上，另一端施以F=20N的水平拉力。绳子的形状如图所示，固定端的切线与墙面的夹角为300。求绳子的质量。

解：绳子受力如图所示。

13．如图所示，一条长度为L，质量为m的均匀绳子两端分别挂在A和B的两点上，A、B两点的高度差为h。若已知绳子在A点的张力等于TA，求绳子在B点的张力。

解法一：假设绳子在A点有一定余量，我们在A点放出很小的一段，而在B点把这一小段绳子收起来，很明显，在这个过程中外界对绳子所作的功为

这个功使得长度为，质量为的一小段绳子的重力势能增加了（相当于将这一小段绳子从A点移到B点），因而

解得                        

解法二：我们用一块长度为S的光滑板将A和B两点相连，再用绳子沿板面围起来。很明显，整根绳子应处于平衡状态，而位于板面上的那段绳子之所以处于平衡状态，是由于绳子在A、B两点有张力差。所以

故                    

14．一帆船在静水中顺风飘行，风速为v0，问船速多大时，风供给船的功率最大？最大功率为多大？（设风垂直吹向帆面，且以原相对帆面的速率返回）

解：如图，设在Δt时间内有质量为m的空气与帆碰撞，碰前空气的速度为，方向向左，碰后空气按原来相对帆的速率返回，故碰后空气对地的速度为

方向向右。根据动量定理，有

在Δt时间内，与帆碰撞的空气是在截面积为S，长度为的体积内，若空气的密度为，则                

所以帆对空气的冲力为

故风供给船的功率为  

由于     

而        

为一常数。所以，当     

即     时，P有最大值    

15．将一根粗细均匀的长木棒，竖直且匀速地按入水中。从木棒开始进入水面开始计时，如果第1秒内浮力对木棒的冲量为I0，则在第n秒内及前n秒内，浮力对木棒的冲量分别为多少？（设木棒始终未完全浸入水中）

解：设木棒的横截面积为S，速度为v，则t时刻

令   ，则  

作出如图所示。某段时间内浮力的冲量即为图中对应区间图线下方的面积。

第1秒内   ，    

第2秒内   ，   ，  ， 

第3秒内   ，   ，  ， 

……　　　……　，　　　　……　　，　　　　……

第n秒内   

前n秒内    

16．将温度为T的完全相同气体，分别装入初始温度为T1、T2的两个相同的容器中，已知T1>T，T2解：气体分子的平均动能与它们的速度平方成正比，而气体的内能与温度成正比。如果T1>T，容器壁的温度比气体温度高，容器壁温暖气体，则与容器壁碰撞弹回的气体分子的平均速度会因为碰撞而增加；如果T217．老鼠离开洞穴沿直线前进，它的速度与到洞穴的距离成反比，当它行进到离洞穴距离为ｄ１的甲处时的速度为v１，则它行进到离洞穴为d２的乙处时速度为多少？从甲处到乙处用去的时间为多少?

【解法一】以洞穴为原点，建立坐标如图所示。

由题意有，故：.

现采取分割求和的办法求时间t。将d1到d2之间的距离分成n等份，如图所示，每份长为

　　　　.

每一等份端点对应的速度为v1，v1′，v2′，v3′，…，vn－1′和v2，且有

速度的倒数：

由以上各式可看出，当n取一定整数时，是一等差数列。

当n很大时，每一小段变速运动可以看成是匀速运动，其速度分别为：

v1，v1′，v2′，v3′，…，vn－1′。从甲处到乙处用的总时间

当n很大时，vn－1′≈v2，有

【解法二】(1)因老鼠离洞穴距离与它的速度成反比，故可设，依题意，，又。故它行进到离洞穴距离为d2的乙处速度。

　(2)为了求出从甲到乙所用时间，可以采用图像法。分别以和d为直角坐标系的横轴和纵轴，由知老鼠行进的图像是过原点的一条射线，式中k为射线的斜率，如图所示。因图象与横轴所夹面积的单位与的单位“秒”相同，故从甲到乙用去的时间t可用图中梯形阴影面积表示。故

将                          

代入上式，即得从甲到乙所用的时间为

【解法三】设，第(1)问与解法二的(1)相同。

第(2)问为了求出从甲到乙所用的时间，可建立以和v为直角坐标系的横轴和纵轴。由知老鼠行进的图象是一过原点的射线，k为其斜率，如图所示。因图像与横轴所夹面积的单位与的单位“秒分之一”相同，故老鼠从甲到乙所用的时间t可图中梯形阴影面积的倒数来表示。故

将                           

代入上式即得从甲到乙所用时间

上述两种解法，由于坐标轴选取的差别而导致同一问题产生截然不同的两种答案。到底哪种解法是对的呢？不少学生苦思冥想，找不出任何差错，坚持说两种答案都是对的。其实，根本原因却在于不同坐标轴中的图像所围面积的物理意义不同，因而对行进过程中时间积累效应的认识出现了错误。试想，如果在解法二中把大梯形分成一系列小梯形，如图，那么每个小梯形的面积(即对应时间)为S1=t1，S2=t2，…，而S总=S1+S2+…，即t总=t1+t2+…，显然此解法是对的。

在解法三中，如果也把从到围成的梯形分成一系列的小梯形，那么每一个小梯形的面积的倒数(即对应时间)为，，…，由图可知，显然有S总=S1+S2+…，但是并不等于，即总时间的倒数等于各时间的倒数之和，而总时间是并不等于各时间之和的。因此，解法三是错误的。

从以上分析可以知道，时间是一个积累效应，并不满足倒数的累加。如果只看整体而不细析过程定然是要出错的，这也充分体现了坐标的准确选取对解题的重要性。

【解法四】由题目中的老鼠的速度与位移成反比，联想到汽车的运动，假如汽车以恒定功率行驶，由Ｐ＝Ｆｖ，得ｖ＝Ｐ／Ｆ，此式说明汽车功率恒定时，其速度ｖ与牵引力Ｆ成反比．如何才能使速度与位移成反比呢?只要使牵引力与位移成正比即可满足这一条件，而弹簧的受力情况正是如此，因此，该题中老鼠的运动可等效为一外力以恒定的功率牵引一弹簧的运动．其运动速度一定与位移成反比．由此分析，得

当时，，将其代入上式求解，得

再根据外力做的功等于弹性势能的增加，得

这个解法将老鼠、汽车、弹簧似乎不相关的问题联系在一起，实现了能力的迁移，独具创新性。

18．小球以初速V0上抛，已知小球在运动过程中受到的空气阻力与其速率成正比，且落回抛出点时的速度为V。求小球从抛出到落回抛出点的时间。

解：此题小球所受的阻力与速率成正比，无论在上抛阶段还是下落阶段，小球所受的合外力是变力，加速度为变量， 所以无法用匀加速直线运动的公式求解。但我们可以画出全过程的υ-t 图。

   因为速度-时间图线与t 轴间所围的面积表示小球在对应时间内经过的位移大小，而且上抛与下落阶段所经过的位移大小相同，所以，图中区域Ⅰ与Ⅱ面积相等。

由已知条件可知，小球运动过程中受到空气的阻力与其速率成正比。设阻力f= - kυ。由此可画f - t图。图2 中区域Ⅰ′和区域Ⅱ′的面积一定分别是图1中区域Ⅰ和区域Ⅱ面积的k倍。

由此可知，Ⅰ′的面积与Ⅱ′的面积亦相等。 

因为冲量I=F·t ，所以图2 中曲线与t 轴所围面积表示对应时间内阻力f 的冲量值。可见，在小球上抛和下落过程中阻力的冲量等大反向，全过程阻力的合冲量为零。

全过程应用质点动量定理，设向上为正方向 

故小球全过程所需时间     

欢迎访问 http://www.k12zy.com