【新教材】2020-2021学年人教A版(2019)高一数学下

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.若(其中为虚数单位)，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限    B．第二象限

C．第三象限    D．第四象限

【答案】D

【解析】由可得，

所以的的共轭复数，根据复数的几何意义可知，在复平面内对应的点为，位于第四象限.    故选：D

2.在内角，，的对边分别是，，，已知，，，则的大小为（    ）

A. 或    B. 或    C.     D. 

【答案】C

【解析】由正弦定理得，得，

因，所以，

所以.   故选：C.

3.在某中学举行环保知识竞赛中，将三个年级参赛的学生的成绩进行整理后分为5组，绘制出如图所示的频率分布直方图，图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五小组，已知第二小组的频数是40，则成绩在80-100分的学生人数是（    ）

A. 15    B. 18    C. 20    D. 25

【答案】A

【解析】第二组的频率是，所有参赛的学生人数为 ，那么80-100分的频率是 ，所以人数为 ，故选：A.

4.已知AD，BE分别为△ABC的边BC，AC上的中线，设，则等于（    ）

A．    B．

C．    D．

【答案】B

【解析】由题意

所以2，①

同理得2

即2.②

①×2＋②得4+2，

即3，

所以.    故选：B.

5.在中，内角，，的对边分别为，，.若，则的形状是（    ）

A．锐角三角形    B．直角三角形    C．钝角三角形    D．不确定

【答案】C

【解析】因为，所以，设，，，则角为的最大角，由余弦定理可得，即，故是钝角三角形.  故选：C.

6.在四棱锥中，平面，四边形是正方形，，，分别为，的中点，则与所成角的余弦值是（    ）

A．    B．    C．    D．

【答案】D

【解析】如图，不妨设.

取的中点为Q，连接，

则且，

故四边形为平行四边形，∴，

∴即为所求异面直线所成的角.

在中，，，

则.    故选：D.

（    ）

【答案】D

，

，解得，故选：D.

8.在三棱锥中，，，，且二面角等于，则三棱锥的内切球的表面积为（    ）

A.     B.     C.     D. 

【答案】A

【解析】依题意得：

，，

则，，

分别过点、作、交于点，则，作交于点，则平面

即为二面角所成平面角，则

，

连接

四边形是矩形

在中，

平面

在中，，

过点作交于点，

设内切球的半径为，则

即

    故选：A

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9.若复数满足，则关于复数的说法正确的是（    ）

A．复数的实部为    B．复数的虚部为

C．复数的模长为    D．复数对应的复平面上的点在第四象限

【答案】AD

【解析】设()，则，

化简得，

根据对应相等得：，

解得，∴，，

复数对应的复平面上的点在第四象限，   故选：AD.

10.我国是世界第一产粮大国，我国粮食产量很高，整体很安全按照14亿人口计算，中国人均粮食产量约为950斤﹣比全球人均粮食产量高了约250斤．如图是中国国家统计局网站中2010﹣2019年，我国粮食产量（千万吨）与年末总人口（千万人）的条形图，根据如图可知在2010﹣2019年中（    ）

A. 我国粮食年产量与年末总人口均逐年递增

B. 2011年我国粮食年产量的年增长率最大

C. 2015年﹣2019年我国粮食年产量相对稳定

D. 2015年我国人均粮食年产量达到了最高峰

【答案】BCD

【解析】由中国国家统计局网站中2010﹣2019年，我国粮食产量（千万吨）与年末总人口（千万人）的条形图，知：

对于A，我国粮食年产量在2010年至2015年逐年递增，在2015年至2019年基本稳定在66千万吨左右，2016年，2018年略低；而我国年末总人口均逐年递增，故A错误；

对于B，由粮食产量条形图得2011年我国粮食年产量的年增长率最大，约为5%，故B正确；

对于C，在2015年至2019年基本稳定在66千万吨以上，故C正确；

对于D，2015年我国人均粮食年产量达到了最高峰，约为0.48吨/人，故D正确．故选：BCD

为两个平面，则下列说法正确的是（    ）

【答案】C

，相当于两平面的法向量垂直，两个平面垂直，A正确；

，B正确；

可能相交，可能平行，C错；

，D正确．  故选：C．

12.对于给定的，垂心为，则下列结论正确的是（    ）

共线

【答案】ACD

【解析】

,故A正确；

，

不一定与中，

若与不垂直.故B错误；

设的中点为,

，

,故C正确；

,

与共线，故D正确.

故选：ACD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

的等边三角形，则该圆锥的表面积为__________．

【解析】设圆锥轴截面正三角形的边长是，

， 

，

，

，

这个圆锥表面积是：．

.

【解析】由图可知，正八边形分割成8个全等的等腰三角形，

，

设等腰三角形的腰长为，

，

，

，

.

.

__________.

【答案】12

【解析】根据题意，如图，

，

，

，

，

，

   故答案为：12.

16.已如三棱锥D-ABC的四个顶点在球O的球面上，若，当三棱锥D-ABC的体积取到最大值时，球O的表面积为_______________

【答案】

【解析】如图所示，当三棱锥的体积取到最大值时，则平面与平面垂直，

取的中点，连接，则，

分别取与的外心，分别过作平面与平面的垂线，相交于，则为四面体的球心，

由，可得正方形的边长为，则

所以四面体的外接球的半径

所以球的表面积为.     故答案为：

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.已知复数，其中是虚数单位.

（1）求复数的共轭复数；

的取值范围.

.

，

18.某市为了解疫情过后制造业企业复工复产情况，随机调查了100家企业，得到这些企业4月份较3月份产值增长率x的频率分布表如下：

（2）求制造业企业产值增长率的平均数与方差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.

，方差估计值为.

，

，

.

（2）100家制造业企业产值增长率的平均数为

， 

.

为等边三角形，四边形为矩形，的中点.

.

，求大的部分体积与小的部分体积之比.

.

为等边三角形，.

且相交于，

.

.

.

（2）设为

，

.

20.某工厂的,,三个不同车间生产同一产品的数量(单位:件)如下表所示.质检人员用分层抽样的方法从这些产品抽取6件样品进行检测:

(2)若在这6件样品中随机抽取2件进行进一步检测,求这2件产品来自相同车间的概率.

.

,

所以,

,

.

(2)设6件自､､三个车间的样品分别为:.

则从6件样品中抽取的这2件产品构成的所有基本事件为:

,

,共15个. 

每个样品被抽到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的.

记事件:“抽取的这2件产品来自相同车间”,

则事件,共4个

.

这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.

已知的内角，，所对的边分别是，，，若______.

（1）求角；

，求周长的最小值，并求出此时的面积.

.

，

，

，

.

，

，

，

.

，

，

，

.

，

时取等号，

.

22.在四棱锥中，侧面⊥底面，底面为直角梯形，//，，，，为的中点．

（Ⅰ）求证：PA//平面BEF；

（Ⅱ）若PC与AB所成角为，求的长；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求二面角F-BE-A的余弦值．

【答案】(Ⅰ)见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）二面角的余弦值为.

【解析】（Ⅰ）证明：连接AC交BE于O，并连接EC，FO，

,为中点

AE//BC，且AE=BC

四边形ABCE为平行四边形

O为AC中点

又F为AD中点

，

，

//平面

（Ⅱ）由BCDE为正方形可得

由ABCE为平行四边形可得//

为即

，

侧面底面侧面底面平面

，

，

.

（Ⅲ）取中点，连，

，，

平面，

的平面角，

又，

，

所以二面角的余弦值为．