上海市建平中学2020-2021学年高一上学期12月月考数学试卷 含答案

一、填空题

1．设()10

2,0

x x f x x ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩，则()()2f f -=___________．

2．不等式2

33log log 2x x ->（）

的解集为___________．3．幂函数k

y x =的图像，当01x ∈（，）时在直线y x =的上方，当1x ∈+∞（，）

时在直线y x =下方，则实数k 的取值范围是___________．

4．函数10y x =

-≤（）

的反函数是___________．5．函数22413[]x x f x x x -+=∈（）（，）的值域为___________．

6方程73292

x

x ⋅=-的解是___________．

7．设f x （）为定义在R 上的奇函数当0x ≥时，22x

f x x b =++（）（b 为常数）则1f -=（）___________．8．设a 为常数，函数2

43f x x x =-+（），若f x a +（）在[0+∞，）上是增函数，则a 的取值范围是___________．9．已知y f x =（）

是定义在[],a b 上的连续函数，下列命题正确的是___________．①若函数f x （）在,a b （）上有零点，则0f a f b <（）（）；②若函数f x （）在[],a b 上有零点，则0f a f b ≤（）（）；③若0f a f b ⋅>（）（），则函数f x （）在,a b （）内没有零点；④若0f a f b ⋅<（）（）且函数f x （）在[],a b 上严格增，则其在,a b （）

内有且只有一个零点．10．若函数2

21y mx x =--在[22]-，内恰有一个零点，则实数m 的取值范围为___________．11．已知关于x 方程

()

lg 22lg x

x a =+无解，则a 的取值范围是___________．

12．设函数f x （）是定义在0+∞（，）上的单调函数，若对任意的20,2log 4x f f x x ∈

+∞-=（，）（（））恒成立，则不等式的6f x <（）解集是___________．

二、选择题

13．与方程1 1 g f x g g x =（）（）

同解的方程是（）

B ．()

()

10

10f x g x =C

=D ．()()1

1

2

2

f x

g x --

=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦

14．已知y f x =（）的定义域为R ，则“对于任意1x R f x f x ∈+>，（）（）恒成立”是“f x （）为增函数”的（

）

A ．充分非必要条件

B ．必要非充分条件

C ．充要条件

D ．非充分非必要条件

15．若f x （）是R 上的奇函数，且f x （）在[0+∞，）上严格递增，则下列结论：①y f x =（）是偶函数；②对任意的x R ∈都有0f x f x -+=（）（）；③y f x =-（）在0]-∞（，上严格递增；④y f x f x =-（）（）

在0]-∞（，上严格递增．其中正确结论的个数为（

）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

16．我们把形如0,0b

y a b x a

=

>>-（）的函数称为“囧函数”，因其函数图像类似于汉字“囧”字，并把其与y 轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”，以“固点”为圆心凡是与“囧函数”有公共点的圆，皆称之为“囧圆”，则当1,1a b ==时，所有的“囧圆”中，面积的最小值为（）

A ．2π

B ．3π

C ．4π

D ．5π

三、解答题

17．判断及证明函数21log 1x y x +⎛⎫

=

⎪-⎝⎭

．在定义域上的单调性．18．已知()11312

x f x =

+-（1）判断并证明()f x 的奇偶性；

（2）已知函数()g x 和()f x 的图像关于y 轴对称，求函数()g x 的解析式，并直接写出()g x 的单调区间．19．学生群体的人均通勤时间，是指单日内学生从居住地到学校的平均用时，某地学生群体S 中的成员仅以私家车或公共交通通勤，分析显示：当S 中%0100x x <<（）

的学生乘坐私家车上学时私家车群体的人均通勤时间为()30,030

1800

290,30100x f x x x x <≤⎧⎪

=⎨+-<<⎪⎩

（单位：分钟）；而公共交通群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟．根据上述分析结果：

（1）当x 在什么范围内时，公共交通群体的人均通勤时间少于私家车群体的人均通勤时间？

（2）求该地学生群体S 的人均通勤时间g x （）的表达式，并求得x 取值多少时g x （）最小，以及最小值为多少？

20．设a 为实数，函数2

2f x x x a x a =+--（

）（）．（1）若关于x 的不等式1f x ≥（）在区间a +∞（，）上恒成立，求a 的取值范围；（2）求f x （）

的最小值．21．已知函数2

210g x ax ax b a =-++>（），在区间[2]3，上的最大值为4，最小值为1，记

f x

g x x R =∈（）（）,．（本题18分）

（1）求实数a ，b 的值；

（2）若不等式222log 2log 3f x g x k k +≥--（）（）对任意x R ∈恒成立，求实数k 的取值范围；

（3）对于定义在[],p q 上的函数m x （），设0,n x p x q ==，用任意的11

21x i n =⋯-（，）将[],p q 划分成n 个小区间，其中1

1t t t x x x -+<<，若存在一个常数0M >，

使得01121n n m x m x m x m x m x m x M --+-+⋯+-≤（）（）（）（）（）（）恒成立，则称函数m x （）

为在[],p q 上的有界变差函数．

（i ）试证明函数f x （）是在[1]3，上的有界变差函数，并求出M 的最小值；

（i i ）写出f x （）

是在[],p q 上的有界变差函数的一个充分条件，使上述结论成为其特例（不要求证明）．2020学年上海市建平中学第一学期高一年级数学十二月月考卷

一、填空题

1．【答案】

1

2

2．【答案】(1)(2,+)-∞-⋃∞3．【答案】(,1)-∞

4．【答案】)

1y x =≥-5．【答案】[]2,36．【答案】32log 27．【答案】3-8．【答案】[)

2,+∞9．【答案】④

10．【答案】13,88⎡⎫

-⎪

⎢⎣⎭

11．【答案】1

2

a >

12．【答案】

“整体换元思想”

设

22log f x x t

-=（）∴22log f x t x =+（

）∵22log [4]f f x x -=（

）∴4f t =（

）当x t =时，22log 4f t t t =+=（

）∴2t =∴222log f x x =+（

）由6f x <（）得222log 6

x +<∴2log 2

x <∴04

x <<∴6f x <（）的解集为0,4（），综上所述为，答案0,4（）

二、选择题

13．D

14．D

15．B

16．B

三、解答题

17．证：∴

101x x

+>-∴()

1,1x ∈

-任取()()()()()()

1212122

211111,log 11x x x x f x f x x x +--<

<<-=+-∵1221

011,011x x x x <+<+<-<-∴()()()()211201111x x x x <-+<++．∴()()()()

1221110111x x x x +-<

<+-．∴()()(

)()()()

12122

2111log 011x x f x f x x x +--=<+-．

∴1f x f x f x <⋅2（）（）（）在定义域上是严格增函数．

18．证：（1）00D =-∞⋃+∞（，）（，）

关于原点对称．()()113131,,312132213x x x x

x x x D f x -+∀-∈-=+=+=---()()

1131

312231x x x f x +=+=

--.

∴f x f x -=-（）（）∴f x （）

是奇函数．（2）()()()

113131312132213x x x x x g x f x -+=-=+=+=

---严格增区间为00-∞+∞（，）,（，）

．19．（1）当030x <≤时，3040f x =<（），不满足题意；当30100x <<时，

1800

29040,45f x x x x

=+

->>（）．所以，当45100x <<时，公共交通群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间．

（2）()()

()()230401004000,030,030100100

180012904010032.536.875,30100

,3010050100x x x x x g x x x x x x x x +-⎧-<≤⎧⎪<≤⎪⎪⎪==⎨⎨⎛⎫

+-+- ⎪⎪⎪-+<<⎝⎭⎪⎪<<⎩⎩

．所以当()()min 32.5,36.875min x g x ==．

20．（1）由1f x ≥（）得2

21x x a x a +

--≥（），即223210x ax a -+-≥区间a +∞（，）上恒成立，当0≤

时，得到2a ≤-

或者，2

a ≥；当0> 时，由()0

3

a

a f a ⎧>⎪

⎪≤⎨⎪⎪≥⎩

得到22a ≤≤

综上可得，a

的取值范围是,,22a ⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭（2）当x a ≥时，()()()222

2min ,0

2,032,2,0,033f

a a a a f x x ax a f x a a f a a ≥⎧⎧≥⎪⎪=-+==⎨

⎨⎛⎫<< ⎪⎪⎪

⎩⎝⎭

⎩

当x a ≤时，()()()()

222

min 2,02,02,,02,0

f a a a a f x x ax a f x f a a a a -≥⎧⎧≥⎪⎪=+-==⎨

⎨<<⎪⎪⎩⎩综上()22min

2,0

2,03

a a f x a a ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩．

21．（1）22

2110g x ax ax b a x b a =-++=-+>（）（）（）在[2]3，上单调递增，

∴()()21

1,034

g a b g =⎧⎪⇒==⎨

=⎪⎩；（2）依题意，()

221

f x

g x x x ==-+（）∴()2

2

2

21022222 2 0

x x f x g x x x x x x ⎧-≥⎪+=--+=⎨+<⎪⎩（）（）于是当0x ≥时，0f x g x +≥（）（）；当0x <时，2

f x

g x +>（）（）∴不等式222log 2log 3f x g x k k +≥--（）（）对任意x R ∈恒成立，等价于2

22log 2log 30k k --≤，解得

1

82

k ≤≤；（3）①证明：依题意，2

21f x g x x x ==-+（）（）在[1]3，上单调递增，且对任意划分

01213n x x x x =<<<⋯<=有

012(1)3n f f x f x f x f x f =<<<⋯<=（）（）（）（）（）

于是01121n n f x f x f x f x f x f x --+-+⋯+-（

）（）（）（）（）（）1021104

n n n f x f x f x f x f x f x f x f x -=-+-+⋯+-=-=（）（）（）（）（）（）（）（）∴存在4M ≥，使01121n n f x f x f x f x f x f x M --+-+⋯+-≤（

）（）（）（）（）（）恒成立，∴函数f x （）是在[1]3，上的有界变差函数，且M 的最小值是4；

②f x （）是在[],p q 上的有界变差函数的一个充分条件可以是：f x （）

是在[],p q 上是单调函数．