2018年中考数学专题训练 圆专题复习

◆知识讲解

一．圆的定义

1、在一个平面内，线段OA绕着它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。

2、圆是到定点的距离等于定长的所有点的集合。

3、确定一个圆需要两个要素：一是位置二是大小，圆心确定其位置，半径确定其大小。

4、连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以A、B为端点的弦记作“圆弧AB”，或者“弧AB”。大于半圆的弧叫作优弧（用三个字母表示，如ABC）叫优弧；小于半圆的弧（如AB）叫做劣弧。

二、垂直于弦的直径、弧、弦、圆心角

1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弦。

2、垂径定理逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。

3、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。

   在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等。

   在等圆中，弦心距相等的弦相等。

三、圆周角

1、定义：顶点在圆上，并且角的两边和圆相交的角。

2、定理：一条弧所以的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半。

3、推论：（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所以的圆周角相等。

         （2）直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

四、点和圆的位置关系

1、设⊙O的半径为r，点到圆心的距离为d。

   则d>r  点在圆外，d=r  点在圆上，d2、确定圆条件：不在一条直线上的三个点。

3、经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫这个圆的内接三角形。外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，外心到三角形三个顶点的距离相等。

4、反证法证题的步骤

（1）假设命题的结论不成立；（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。

5、锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形的外部。

五、直线和圆的位置关系（一）

1、直线与圆的三种位置关系

  （1）从公共点个数来判断

直线与圆有两个公共点时，直线与圆相交；直线与圆有唯一公共点时，直线与圆相交；直线与圆没有公共点时，直线与圆相离。

（2）从点到直线的距离d与半径r的大小关系来判断

dr时，直线与圆相离；

2、切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径。

六、直线和圆的位置关系（二）

1、切线的判定定理：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线。

2、切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等。这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

3、与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。内心到三角形三边距离相等。

七、圆与圆的位置关系

1、位置关系

（1）从公共点的个数和一个圆上的点在另一个圆的外部还是内部来考虑，两个圆的位置关系有五种，外离、外切、相交、内切、内含。

（2）从公共点的个数来考虑分三种：相离、相切、相交，并且相离（外离、内含），相切（外切、内切）。

八、正多边形的有关概念及计算

1、正多边形的有关概念：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径。正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。

2、正多边形的计算：

（1）正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形。

（2）边长（an）、半径（R）、边心距（rn）、中心角（an）、周长（Pn）、面积（Sn）之间的关系为：

①中心角an=；②周长Pn=nan；③面积Sn =n rn an =Pn rn..

   （3）作正多边形：利用、规等分圆周。

九、弧长和扇形面积

1、弧长计算公式：在半径为R的圆中，n的圆心角所对的弧长为l=

   2、扇形面积计算公式：S扇形=  (其中R为扇形半径，n为圆心角)；

   3、弧长和扇形面积的关系：S扇形=R

   十、圆锥的侧面积和全面积

   1、圆锥的侧面展开图形状:扇形

   2、侧面积计算公式：S侧 =

      全面积的计算公式：S全 = +（其中l 为圆锥母线长，r为底面圆的半径）

◆例题解析

【例1】在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，5为半径作⊙O，已知A、B、C三点的坐标分别为A（3，4），B（－3，－3），C（4，）。试判断A、B、C三点与⊙O的位置关系。

【分析】要判断点与圆的位置关系就是要比较点到圆心的距离与半径的大小关系。

解：∵OA＝

        ∴点A在⊙O上，点B在⊙O内，点C在⊙O外。

【例2】如图，△ABC中，∠A＝700，⊙O截△ABC的三条边所截得的弦长都相等，则∠BOC＝          。

【分析】由于⊙O截△ABC的三条边所截得的弦长都相等，则点O到三边的距离也相等，即O是△ABC角平分线的交点，问题就容易解决了。

解：作OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，则OD＝OE＝OF

    ∴O为△ABC角平分线的交点

    ∵∠A＝700

    ∴∠ABC＋∠ACB＝1100

    ∴∠OBC＋∠OCB＝×1100＝550

    ∴∠BOC＝1800－550＝1250

【例3】如图1，在⊙O中，AB＝2CD，那么（    ）

A、              B、

C、              D、与的大小关系不能确定

【分析】如图1，把作出来，变成一段弧，然后比较与的大小。

解：如图1，作，则

    ∵在△CDE中，CD＋DE＞CE

    ∴2CD＞CE

    ∵AB＝2CD

    ∴AB＞CE

    ∴，即

变式：如图，在⊙O中，，问AB与2CD的大小关系？

略解：取的中点E，则

      ∴AB＝BE＝CD

      ∵在△AEB中，AE＋BE＞AB

      ∴2CD＞AB，即AB＜2CD

探索与创新：

【问题】已知点M（，）在抛物线上，若以M为圆心的圆与轴有两个交点A、B，且A、B两点的横坐标是关于的方程的两根（如上图）。

（1）当M在抛物线上运动时，⊙M在轴上截得的弦长是否变化？为什么？

（2）若⊙M与轴的两个交点和抛物线的顶点C构成一个等腰三角形，试求、的值。

【分析】（1）设A、B两点的横坐标分别是、，由根与系数的关系知，，那么：，又因为M在抛物线上，所以。故AB＝2，即⊙M在轴上截得的弦长不变。

（2）C（0，－1），，

①当AC＝BC，即时，，；

②当AC＝AB时，，，，或，

③当BC＝AB时，，，或，

◆强化训练

一、选择题：

1、两个圆的圆心都是O，半径分别为、，且＜OA＜，那么点A在（    ）

A、⊙内      B、⊙外        C、⊙外，⊙内    D、⊙内，⊙外

2、一个点到圆的最小距离为4cm，最大距离为9cm，则该圆的半径是（    ）

    A、2.5 cm或6.5 cm      B、2.5 cm       C、6.5 cm       D、5 cm或13cm

3、三角形的外心恰在它的一条边上，那么这个三角形是（    ）

A、锐角三角形        B、直角三角形      C、钝角三角形      D、不能确定

4、如图，AB为⊙O的一固定直径，它把⊙O分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆（不包括A、B两点）上移动时，点P（    ）

    A、到CD的距离保持不变      B、位置不变

C、等分                  D、随C点移动而移动

二、填空题：

1、若为⊙O的直径，为⊙O的一条弦长，则与的大小关系是        。

2、△ABC的三边分别为5 cm、12 cm、13 cm，则△ABC的外心和垂心的距离是      。

3、如图，⊙O中两弦AB＞CD，AB、CD相交于E，ON⊥CD于N，OM⊥AB于M，连结OM、ON、MN，则∠MNE与∠NME的大小关系是∠MNE        ∠NME。

4、如图，⊙O中，半径CO垂直于直径AB，D为OC的中点，过D作弦EF∥AB，则∠CBE＝        。

5、在半径为1的⊙O中，弦AB、AC的长分别为和，则∠BAC的度数为      。

三、计算或证明：

1、如图，的度数为900，点C和点D将三等分，半径OC、OD分别和弦AB交于E、F。求证：AE＝CD＝FB。

2、如图，在⊙O中，两弦AB与CD的中点分别是P、Q，且，连结PQ，求证：∠APQ＝∠CQP。

3、如图，在⊙O中，两弦AC、BD垂直相交于M，若AB＝6，CD＝8，求⊙O的半径。

4、如图，已知A、B、C、D四点顺次在⊙O上，且，BM⊥AC于M，求证：AM＝DC＋CM。

参

一、选择题：CABB

二、填空题：

    1、≥；2、6.5cm；3、＞；4、300；5、150或750

三、计算或证明：

1、提示：连结AC、BD，先证AC＝CD＝BD，再利用角证AC＝AE，BD＝DF即可；

2、提示：连结OP、OQ

   ∵P、Q是AB、CD的中点，∴OP⊥AB，OQ⊥CD

   ∵，∴OP＝OQ

   ∴∠OPQ＝∠OQP，∴∠APQ＝∠CQP

3、提示：连结CO并延长交⊙O于E，连结ED、AE，设⊙O的半径为R，则∠EDC＝∠EAC＝900，∴。∵AC⊥BD，∴AE∥BD，∴，∴AB＝ED，∴，而AB＝6，CD＝8，∴R＝5

4、提示：延长DC至N，使CN＝CM，连结NB，则∠BCN＝∠BAD＝∠BDA＝∠BCA，可证得△BCN≌△BCM，Rt△BAM≌Rt△BDN。