阶段性测试题12(综合素质能力测试)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题　共60分)

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)

1．(文)(2011·辽宁省实验中学期末)已知全集U＝R，集合A＝{x|x＝2n，n∈N}与B＝{x|x＝2n，n∈N}，则正确表示集合A、B关系的韦恩(Venn)图是(　　)

[答案]　A

[解析]　A＝{1,2,4,8,16，…，2k，…，(k∈N)}，B＝{0,2,4,6,8，…，2k，…，(k∈N)}，

∴A⃘B，B⃘A，A∩B≠∅，故选A.

(理)(2011·合肥质检)集合A＝{1,2,3}，B＝{x∈R|x2－ax＋1＝0，a∈A}，则A∩B＝B时a的值是(　　)

A．2　　　　　　　　　    B．2或3

C．1或3      D．1或2

[答案]　D

[解析]　由A∩B＝B知B⊆A，a＝1时，B＝{x|x2－x＋1＝0}＝∅⊆A；a＝2时，B＝{x|x2－2x＋1＝0}＝{1}⊆A；a＝3时，B＝{x|x2－3x＋1＝0}＝{，}⃘A，故选D.

2．(2011·聊城一中期末)“a＝0”是“复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数”的(　　)

A．充分不必要条件      B．必要不充分条件

C．充要条件      D．既不充分也不必要条件

[答案]　B

[解析]　a＝0时，若b＝0，则复数z不是纯虚数，若z为纯虚数，则a＝0，故选B.

3．(文)(2011·福建龙岩质检)已知，某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的侧面积是(　　)

A.π      B.

C.      D.π

[答案]　D

[解析]　这个空间几何体是圆锥，母线长为，底半径为1，其侧面积为×2π×＝π，故选D.

(理)(2011·山东淄博一中期末)如图为一个几何体的三视图，左视图和主视图均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如图，则该几何体的全面积为(　　)

A.      B．12

C．24      D．24＋2

[答案]　D

[解析]　由三视图知，该几何体是底面边长为＝2，高为4的正三棱柱，故其全面积为3×(2×4)＋2××22＝24＋2.

4．(文)(2011·陕西宝鸡质检)双曲线－＝1(mn≠0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则mn的值为(　　)

A.      B.

C.      D.

[答案]　C

[解析]　抛物线焦点F(1,0)为双曲线一个焦点，

∴m＋n＝1，又双曲线离心率为2，∴1＋＝4，

解得，∴mn＝.

(理)(2011·鸡西一中期末)若椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，则双曲线－＝1的离心率为(　　)

A.      B.

C.      D.

[答案]　B

[解析]　设椭圆、双曲线的半焦距分别为c、c′，双曲线离心率为e′，则

由(3)得c2＝a2，代入(1)得b2＝a2(5)

将(4)、(5)代入(2)得a2＋a2＝a2e′2，

∴e′2＝，∴e′＝，故选B.

5．(2011·河南豫州九校联考)若A、B是平面内的两个定点，点P为该平面内动点，且满足向量与夹角为锐角θ，||||＋·＝0，则点P的轨迹是(　　)

A．直线(除去与直线AB的交点)

B．圆(除去与直线AB的交点)

C．椭圆(除去与直线AB的交点)

D．抛物线(除去与直线AB的交点)

[答案]　D

[解析]　以AB所在直线为x轴，线段AB中点为原点，建立平面直角坐标系，设A(－1,0)，则B(1,0)，设P(x，y)，则＝(1－x，－y)，＝(－1－x，－y)，＝(2,0)，

∵||·||＋·＝0，∴2＋2(－1－x)＝0，化简得y2＝4x，故选D.

6．(文)(2011·湖南张家界月考)已知曲线y＝－3lnx的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为(　　)

A．3　　　　    B．2　　　　

C．1　　　　    D.

[答案]　A

[解析]　y′＝x－，设切点P(x0，y0)，则x0－＝，∵x0>0，∴x0＝3.

(理)(2011·湖北荆门调研)已知函数f(x)＝3x＋cos2x＋sin2x，f ′(x)是f(x)的导函数，且a＝f ′，则过曲线C：y＝x3上一点P(a，b)的曲线C的切线方程为(　　)

A．3x－y－2＝0

B．4x－3y＋1＝0

C．3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0

D．3x－y－2＝0或4x－3y＋1＝0

[答案]　A

[解析]　f ′(x)＝3－2sin2x＋2cos2x，a＝f ′＝3－2sin＋2cos＝1，在曲线y＝x3上，∵a＝1，∴b＝1，

y′|x＝1＝3x2|x＝1＝3，∴切线方程为y－1＝3(x－1)，

即3x－y－2＝0.

7．(2011·湖南师大附中月考)给出下列四个命题：

①命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”；

②命题“∃x∈R，x2＋x－1<0”的否定是“∀x∈R，x2＋x－1>0”；

③命题“若x＝y，则sinx＝siny”的逆否命题为真命题；

④“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件．

其中真命题的个数是(　　)

A．1个      B．2个

C．3个      D．4个

[答案]　A

[解析]　否命题既否定条件也否定结论，故①错；“<”的否定应为“≥”，故②错；∵x＝y时，sinx＝siny为真命题，故其逆否命题为真命题；x＝－1时，x2－5x－6＝0，但x2－5x－6＝0时，x＝－1或x＝6，故④错，故选A.

8．(文)(2011·山东济南调研)下面给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是(　　)

A．①y＝x，②y＝x2，③y＝x，④y＝x－1

B．①y＝x3，②y＝x2，③y＝x，④y＝x－1

C．①y＝x2，②y＝x3，③y＝x，④y＝x－1

D．①y＝x，②y＝x，③y＝x2，④y＝x－1

[答案]　B

[解析]　y＝x2为偶函数，对应②；y＝x定义域x≥0，对应③；y＝x－1为奇函数，且图象与坐标轴不相交，对应④；y＝x3与y＝x均为奇函数，但y＝x3比y＝x增长率大，故①对应y＝x3.

(理)(2011·丰台区期末)用max{a，b}表示a，b两个数中的最大数，设f(x)＝max{x2，}(x≥)，那么由函数y＝f(x)的图象、x轴、直线x＝和直线x＝2所围成的封闭图形的面积是(　　)

A.      B.

C.      D.

[答案]　A

[解析]　如图，平面区域的面积为

9．(2011·北京丰台区期末)下面程序框图运行后，如果输出的函数值在区间[－2，]内，则输入的实数x的取值范围是(　　)

A．(－∞，－1]      B．[，]

C．(－∞，0)∪[，]      D．(－∞，－1]∪[，]

[答案]　D

[解析]　∵x<0时，f(x)＝2x∈(0,1)，

由0<2x≤得，x≤－1；

由得，≤x≤，故选D.

10．(文)(2011·山东济宁一中质检)已知函数f(x)＝x2－bx的图象在点A(1，f(1))处的切线l与直线3x－y＋2＝0平行，若数列的前n项和为Sn，则S2011的值为(　　)

A.      B.

C.      D.

[答案]　A

[解析]　由题意可知，f ′(1)＝(2x－b)|x＝1＝2－b＝3，∴b＝－1，

∴f(x)＝x2＋x，∴f(k)＝，∴Sn＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝1－＝，∴S2011＝，故选A.

(理)(2011·四川广元诊断)已知函数f(n)满足f(n＋1)＝(n∈N*)，且f(1)＝1，则f(18)＝(　　)

A．52　　 　    B．38　　 　

C．35　　 　    D．20

[答案]　A

[解析]　由条件得，f(n＋1)－f(n)＝，∴f(18)＝(f(18)－f(17))＋(f(17)－f(16))＋…＋(f(2)－f(1))＋f(1)＝(17＋16＋…＋1)＋1＝52.

11．(2011·吉林实验中学模拟)一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人．为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则从上述各层中依次抽取的人数分别是(　　)

A．12,24,15,9      B．9,12,12,7

C．8,15,12,5      D．8,16,10,6

[答案]　D

[解析]　抽样比为40 800＝1 20，∴160×＝8,320×＝16,200×＝10,120×＝6，故选D.

12．(文)(2011·安溪一中、养正中考)如图，某国在A岛上进行过一次核试验，距A岛40海里范围内部受到核污染．一船正在向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°，航行30海里后，在C处测得小岛在船的南偏东45°，如果不改变方向，继续航行，则船可能(　　)

A．要在污染区航行约1海里

B．要在污染区航行约2海里

C．与污染区的最近距离约1海里

D．与污染区的最近距离约2海里

[答案]　C

[解析]　如图，设AD＝x，则AB＝2x，BC＝x＋30，

∴4x2－x2＝(x＋30)2，∵x>0，∴x＝15＋15，

∵40<15＋15<41，∴选C.

(理)(2011·福建福州市期末)设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<)的部分图象如图所示，直线x＝是它的一条对称轴，则函数f(x)的解析式为(　　)

A．f(x)＝sin

B．f(x)＝sin

C．f(x)＝sin

D．f(x)＝sin

[答案]　D

[解析]　由题意知，周期T＝4＝π，∴ω＝2，

∴f(x)＝sin(2x＋φ)，

∵过点，∴sin＝1，

∵0<φ<，∴φ＝，选D.

第Ⅱ卷(非选择题　共90分)

二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．)

13．(2011·山东日照调研)若函数f(x)＝，则函数g(x)＝f(4x)－x的零点是________．

[答案]　

[解析]　g(x)＝f(4x)－x＝－x＝

＝，

令g(x)＝0得x＝.

14．(2011·浙江宁波八校联考)点(a，b)为第一象限内的点，且在圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝8上，ab的最大值为________．

[答案]　1

[解析]　由条件知a>0，b>0，(a＋1)2＋(b＋1)2＝8，∴a2＋b2＋2a＋2b＝6，∴2ab＋4≤6，∵ab>0，

∴0[点评]　作出图形可见，点(a，b)为⊙C在第一象限的一段弧，由对称性可知，当点(a，b)为直线y＝x与⊙C的交点(1,1)时，ab取最大值1.

15．(2011·江苏常州七校联考)△ABC中，三内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知B＝60°，不等式－x2＋6x－8>0的解集为{x|a[答案]　2

[解析]　∵－x2＋6x－8>0，∴2∵B＝60°，∴b2＝a2＋c2－2accosB＝4＋16－2×2×4×cos60°＝12，∴b＝2.

16．(文)(2011·北京学普教育中心)设函数f(x)的定义域为D，若存在非零实数l，使得对于任意x∈M(M⊆D)，有x＋l∈D，且f(x＋l)≥f(x)，则称f(x)为M上的l高调函数．如果定义域为[－1，＋∞)的函数f(x)＝x2为[－1，＋∞)上的m高调函数，那么实数m的取值范围是________．

[答案]　[2，＋∞)

[解析]　f(x)＝x2(x≥－1)的图象如图所示，要使得f(－1＋m)≥f(－1)＝1，应有m≥2；故x≥－1时，恒有f(x＋m)≥f(x)，只须m≥2即可．

(理)(2011·四川资阳模拟)下图展示了一个由区间(0,1)到实数集R的映射过程：区间(0,1)中的实数m对应数轴上的点M，如图①；将线段AB围成一个圆，使两端点A、B恰好重合，如图②；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为(0,1)，在图形变化过程中，图①中线段AM的长度对应于图③中的弧ADM的长度，如图③.图③中直线AM与x轴交于点N(n,0)，则m的象就是n，记作f(m)＝n.

给出下列命题：①f＝1；②f(x)是奇函数；③f(x)在定义域上单调递增，则所有真命题的序号是________．(填出所有真命题的序号)

[答案]　③

[解析]　由m的象是n的定义知，f<0，故①假，随着m的增大，点N沿x轴向右平移，故n增大，∴③为真命题；由于m是线段AM的长度，故f(x)为非奇非偶函数，∴②假．

三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)

17．(本小题满分12分)(文)(2011·淄博一中期末)已知a＝(cosx－sinx,2sinx)，b＝(cosx＋sinx，cosx)，若a·b＝，且x∈，求sin2x的值．

[解析]　∵a·b＝cos2x－sin2x＋2sinxcosx

＝cos2x＋sin2x＝2sin＝，

∴sin＝，

∵x∈，∴2x＋∈，

∴cos＝，

∴sin2x＝sin＝sincos－cossin＝·－·＝.

(理)(2011·四川广元诊断)在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，向量m＝(2a－c，b)，n＝(cosC，cosB)，且m∥n.

(1)求角B的大小；

(2)若b＝，求a＋c的最大值．

[解析]　(1)由题意知(2a－c)cosB＝bcosC，

(2a－c)·＝b·，

∴a2＋c2－b2＝ac，

∴cosB＝＝，∴B＝.

(2)由(1)知a2＋c2－b2＝ac，b＝，

∴a2＋c2－ac＝3，(a＋c)2－3ac＝3，

(a＋c)2－3·2≤3，

(a＋c)2≤3，

∴a＋c≤2，

即a＋c的最大值为2.

18．(本小题满分12分)(文)(2011·皖南八校联考)已知向量a＝(x，y)，b＝(1，－2)，从6张大小相同、分别标有号码1、2、3、4、5、6的卡片中，有放回地抽取两张，x、y分别表示第一次、第二次抽取的卡片上的号码．

(1)求满足a·b＝－1的概率；

(2)求满足a·b>0的概率．

[解析]　(1)设(x，y)表示一个基本事件，则两次抽取卡片的所有基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(6,5)，(6,6)，共36个．

用A表示事件“a·b＝－1”，即x－2y＝－1，则A包含的基本事件有(1,1)，(3,2)，(5,3)，共3个，

∴P(A)＝＝.

(2)a·b>0，即x－2y>0，在(1)中的36个基本事件中，满足x－2y>0的事件有(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(5,2)，(6,2)，共6个，

所以所求概率P＝＝.

(理)(2011·山东潍坊期末)甲、乙两人准备参加电视台组织的奥运志愿者选拔测试．已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道，乙能答对其中的8道．规定每次考试都从备选题中随机抽出3道进行测试，至少答对2道才能入选．

(1)求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望．

(2)求甲、乙两人至少有一人入选的概率．

[解析]　(1)依题意，甲答对试题数ξ的可能取值为0、1、2、3，则

P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，

P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，

其分布列如下：

E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.

(2)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B，则

P(A)＝＝＝，

P(B)＝＝＝.

因为事件A、B相互，

∴甲、乙两人考试均不合格的概率为P(·)＝P()·P()＝＝，

∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为

P＝1－P(·)＝1－＝.

答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为.

[点评]　第(2)问求出P(A)、P(B)后，可如下求解：甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为

P＝P(A·)＋P(·B)＋P(A·B)

＝×＋×＋×＝.

19．(本小题满分12分)(文)(2011·重庆南开中学期末)设函数f(x)＝－x2＋2ax＋m，g(x)＝.

(1)若函数f(x)，g(x)在[1,2]上都是减函数，求实数a的取值范围；

(2)当a＝1时，设函数h(x)＝f(x)g(x)，若h(x)在(0，＋∞)内的最大值为－4，求实数m的值．

[解析]　(1)∵f(x)，g(x)在[1,2]上都是减函数，

，∴0(2)当a＝1时，

h(x)＝f(x)g(x)＝＝－x＋＋2；

当m≥0时，显然h(x)在(0，＋∞)上单调递减，

∴h(x)无最大值；

当m<0时，h(x)＝－x＋＋2＝－＋2

≤－2＋2.

当且仅当x＝时，等号成立．

∴h(x)max＝－2＋2，

∴－2＋2＝－4⇒m＝－9.

(理)(2011·黑龙江哈六中期末)已知函数f(x)＝lnx＋2x，g(x)＝a(x2＋x)．

(1)若a＝，求F(x)＝f(x)－g(x)的单调区间；

(2)当a≥1时，求证：f(x)≤g(x)．

[解析]　(1)a＝，F(x)＝lnx＋2x－(x2＋x)　(x>0)

F′(x)＝－x＋＝＝，

∵x>0，

∴当00，当x>2时，F′(x)<0，

∴F(x)的增区间为(0,2)，减区间为(2，＋∞)．

(2)令h(x)＝f(x)－g(x)　(x>0)

则由h′(x)＝f ′(x)－g′(x)＝＋2－2ax－a

＝＝0，解得x＝，

∵h(x)在上增，在上减，∴当x＝时，h(x)有最大值h＝ln＋－a＝ln＋－1，

∵a≥1，∴ln≤0，－1≤0，∴h(x)≤h≤0，

所以f(x)≤g(x)．

20．(本小题满分12分)(文)一个多面体的三视图及直观图如图所示，M、N分别是A1B、B1C1的中点．

(1)求证：MN∥平面ACC1A1；

(2)求证：MN⊥平面A1BC.

[证明]　由题意，这个几何体是直三棱柱，且AC⊥BC，AC＝BC＝CC1.

(1)由直三棱柱的性质知，四边形ABB1A1为矩形，对角线交点M为A1B的中点，

又∵N为B1C1的中点，

∴△AB1C1中，MN∥AC1.

又∵AC1⊂平面ACC1A1，MN⊄平面ACC1A1.

∴MN∥平面ACC1A1.

(2)∵直三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ACC1A1⊥平面ABC，交线为AC，又AC⊥BC，

∴BC⊥平面ACC1A1，

又∵AC1⊂平面ACC1A1，∴BC⊥AC1.

在正方形ACC1A1中，AC1⊥A1C.

又BC∩A1C＝C，∴AC1⊥平面A1BC，

∵MN∥AC1，∴MN⊥平面A1BC.

[点评]　将几何体的三视图与线面平行垂直的位置关系判断融合在一起是立体几何新的命题方向．解答这类问题首先要通过其三视图确定几何体的形状和主要几何量，然后利用几何体的性质进行推理或计算．请再练习下题：

已知四棱锥P－ABCD的三视图如图，E是侧棱PC上的动点．

(1)求四棱锥P－ABCD的体积；

(2)若点F在线段BD上，且DF＝3BF，则当等于多少时，有EF∥平面PAB？并证明你的结论；

(3)试证明P、A、B、C、D五个点在同一球面上．

[解析]　(1)由四棱锥的三视图可知，四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，

侧棱PC⊥底面ABCD，且PC＝2.

∴VP－ABCD＝S正方形ABCD·PC＝.

(2)当＝时，有EF∥平面PAB.

连结CF延长交AB于G，连结PG，在正方形ABCD中，DF＝3BF.

由△BFG∽△DFC得，＝＝.

在△PCG中，＝＝，

∴EF∥PG.

又PG⊂平面PAB，EF⊄平面PAB，

∴EF∥平面PAB.

(3)证明：取PA的中点O.

在四棱锥P－ABCD中，侧棱PC⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，

可知△PCA、△PBA、△PDA均是直角三角形，

又O为PA中点，∴OA＝OP＝OB＝OC＝OD.

∴点P、A、B、C、D在以点O为球心的球面上．

(理)(2011·湖南长沙一中期末)如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，沿对角线BD把△ABD折起，使A移到A1点，过点A1作A1O⊥平面BCD，垂足O恰好落在CD上．

(1)求证：BC⊥A1D；

(2)求直线A1B与平面BCD所成角的正弦值．

[解析]　(1)因为A1O⊥平面BCD，BC⊂平面BCD，

∴BC⊥A1O，

因为BC⊥CD，A1O∩CD＝O，∴BC⊥平面A1CD.

因为A1D⊂平面A1CD，∴BC⊥A1D.

(2)连结BO，则∠A1BO是直线A1B与平面BCD所成的角．

因为A1D⊥BC，A1D⊥A1B，A1B∩BC＝B，

∴A1D⊥平面A1BC，∵A1C⊂平面A1BC，∴A1D⊥A1C.

在Rt△DA1C中，A1D＝3，CD＝5，∴A1C＝4.

根据S△A1CD＝A1D·A1C＝A1O·CD，得到A1O＝，

在Rt△A1OB中，sin∠A1BO＝＝＝.

所以直线A1B与平面BCD所成角的正弦值为.

21．(本小题满分12分)(2011·东北育才学校、辽宁省实验中学、大连期末联考)甲乙两个学校高三年级分别为1100人，1000人，为了统计两个学校在地区二模考试的数学科目成绩，采用分层抽样抽取了105名学生的成绩，并作出了部分频率分布表如下：(规定考试成绩在[120,150]内为优秀)

甲校：

(2)由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断是否有97.5%的把握认为两个学校的数学成绩有差异.

故x＝6，y＝7，

估计甲校优秀率为≈18.2%，

乙校优秀率为＝40%.

(2)

又因为6.109>5.024,1－0.025＝0.975，

故有97.5%的把握认为两个学校的数学成绩有差异．

22．(本小题满分12分)(2011·安徽百校论坛联考)已知数列{an}的首项是a1＝1，前n项和为Sn，且Sn＋1＝2Sn＋3n＋1(n∈N*)．

(1)设bn＝an＋3(n∈N*)，求数列{bn}的通项公式；

(2)设cn＝log2bn，若存在常数k，使不等式k≥(n∈N*)恒成立，求k的最小值．

[解析]　(1)∵Sn＋1＝2Sn＋3n＋1，∴当n≥2时，Sn＝2Sn－1＋3(n－1)＋1，

两式相减得an＋1＝2an＋3，

从而bn＋1＝an＋1＋3＝2(an＋3)＝2bn(n≥2)，

∵S2＝2S1＋3＋1，∴a2＝a1＋4＝5，可知b2≠0，∴bn≠0(n≥2)．

∴＝2(n≥2)，又＝＝＝2.

∴数列{bn}是首项为4，公比为2的等比数列，

∴bn＝4·2n－1＝2n＋1(n∈N*)．

(2)据(1)cn＝log2bn＝log22n＋1＝n＋1，

∴＝＝＝≤＝

(当且仅当n＝5时取等号)．

故不等式k≥(n∈N*)恒成立⇔k≥，所以k的最小值为.