2020-2021中考数学压轴题专题复习——圆的综合的综合及详细答案

一、圆的综合

1．如图，⊙O的半径为6cm，经过⊙O上一点C作⊙O的切线交半径OA的延长于点B，作∠ACO的平分线交⊙O于点D，交OA于点F，延长DA交BC于点E．

（1）求证：AC∥OD；

（2）如果DE⊥BC，求»AC的长度．

【答案】（1）证明见解析；（2）2π．

【解析】

试题分析：（1）由OC=OD，CD平分∠ACO，易证得∠ACD=∠ODC，即可证得AC∥OD；（2）BC切⊙O于点C，DE⊥BC，易证得平行四边形ADOC是菱形，继而可证得△AOC是等边三角形，则可得：∠AOC=60°，继而求得弧AC的长度．

试题解析：（1）证明：∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC．∵CD平分∠ACO，

∴∠OCD=∠ACD，∴∠ACD=∠ODC，∴AC∥OD；

（2）∵BC切⊙O于点C，∴BC⊥OC．∵DE⊥BC，∴OC∥DE．∵AC∥OD，∴四边形ADOC 是平行四边形．∵OC=OD，∴平行四边形ADOC是菱形，∴OC=AC=OA，∴△AOC是等边三

角形，∴∠AOC=60°，∴弧AC的长度=606

180

π⨯

=2π．

点睛：本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、菱形的判定与性质以及弧长公式．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．

2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连结AC，过»BD上一点E作EG∥AC 交CD的延长线于点G，连结AE交CD于点F，且EG=FG，连结CE．

（1）求证：∠G=∠CEF；

（2）求证：EG是⊙O的切线；

（3）延长AB交GE的延长线于点M，若tanG =3

4

，AH=33，求EM的值．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）253 8

.

【解析】

试题分析：（1）由AC∥EG，推出∠G=∠ACG，由AB⊥CD推出»»

AD AC

=，推出∠CEF=∠ACD，推出∠G=∠CEF，由此即可证明；

（2）欲证明EG是⊙O的切线只要证明EG⊥OE即可；

（3）连接OC．设⊙O的半径为r．在Rt△OCH中，利用勾股定理求出r，证明

△AHC∽△MEO，可得AH HC

EM OE

=，由此即可解决问题；

试题解析：（1）证明：如图1．∵AC∥EG，∴∠G=∠ACG，∵AB⊥CD，∴»»

AD AC

=，∴∠CEF=∠ACD，∴∠G=∠CEF，∵∠ECF=∠ECG，∴△ECF∽△GCE．

（2）证明：如图2中，连接OE．∵GF=GE，∴∠GFE=∠GEF=∠AFH，∵OA=OE，

∴∠OAE=∠OEA，∵∠AFH+∠FAH=90°，∴∠GEF+∠AEO=90°，∴∠GEO=90°，∴GE⊥OE，∴EG是⊙O的切线．

（3）解：如图3中，连接OC．设⊙O的半径为r．

在Rt△AHC中，tan∠ACH=tan∠G=AH

HC

=

3

4

，∵AH=33∴HC=3Rt△HOC中，

∵OC=r，OH=r﹣33HC=43∴222

(33)(43)

r r

-+=，∴r=253

6

，∵GM∥AC，∴∠CAH=∠M，∵∠OEM=∠AHC，∴△AHC∽△MEO，∴AH HC

EM OE

=，

∴3343

253

6

EM

=

，∴EM=

253

8

．

点睛：本题考查圆综合题、垂径定理、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，正确寻找相似三角形，构建方程解决问题吗，属于中考压轴题．

3．图1和图2，半圆O的直径AB=2，点P（不与点A，B重合）为半圆上一点，将图形延BP折叠，分别得到点A，O的对称点A′，O′，设∠ABP=α．

（1）当α=15°时，过点A′作A′C∥AB，如图1，判断A′C与半圆O的位置关系，并说明理由．

（2）如图2，当α= °时，BA′与半圆O相切．当α= °时，点O′落在上．

（3）当线段BO′与半圆O只有一个公共点B时，求α的取值范围．

【答案】（1）A′C与半圆O相切；理由见解析；（2）45；30；（3）0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．

【解析】

试题分析：（1）过O作OD⊥A′C于点D，交A′B于点E，利用含30°角的直角三角形的性质可求得DE+OE=A′B=AB=OA，可判定A′C与半圆相切；

（2）当BA′与半圆相切时，可知OB⊥A′B，则可知α=45°，当O′在上时，连接AO′，则

可知BO′=AB，可求得∠O′BA=60°，可求得α=30°；

（3）利用（2）可知当α=30°时，线段O′B与圆交于O′，当α=45°时交于点B，结合题意可得出满足条件的α的范围．

试题解析：（1）相切，理由如下：

如图1，过O作OD过O作OD⊥A′C于点D，交A′B于点E，

∵α=15°，A′C∥AB，

∴∠ABA′=∠CA′B=30°，

∴DE=A′E，OE=BE，

∴DO=DE+OE=（A′E+BE）=AB=OA，

∴A′C与半圆O相切；

（2）当BA′与半圆O相切时，则OB⊥BA′，

∴∠OBA′=2α=90°，

∴α=45°，

当O′在上时，如图2，

连接AO′，则可知BO′=AB，

∴∠O′AB=30°，

∴∠ABO′=60°，

∴α=30°，

（3）∵点P，A不重合，∴α＞0，

由（2）可知当α增大到30°时，点O′在半圆上，

∴当0°＜α＜30°时点O′在半圆内，线段BO′与半圆只有一个公共点B；当α增大到45°时BA′与半圆相切，即线段BO′与半圆只有一个公共点B．当α继续增大时，点P逐渐靠近点B，但是点P，B不重合，

∴α＜90°，

∴当45°≤α＜90°线段BO′与半圆只有一个公共点B．

综上所述0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．考点：圆的综合题．

4．如图，在△ABP中,C是BP边上一点,∠PAC=∠PBA,⊙O是△ABC的外接圆,AD是⊙O的直径,且交BP于点E.

（1）求证：PA是⊙O的切线；

（2）过点C作CF⊥AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AG•AB=12，求AC的长．【答案】（1）证明见解析（2）23

【解析】

试题分析：（1）根据圆周角定理得出∠ACD=90°以及利用∠PAC=∠PBA得出

∠CAD+∠PAC=90°进而得出答案；

（2）首先得出△CAG∽△BAC，进而得出AC2=AG·AB，求出AC即可.

试题解析：（1）连接CD,如图,

∵AD是⊙O的直径,

∴∠ACD=90°,

∴∠CAD+∠D=90°，

∵∠PAC=∠PBA，∠D=∠PBA，

∴∠CAD+∠PAC=90°，

即∠PAD=90°，

∴PA⊥AD，

∴PA是⊙O的切线；

（2）∵CF⊥AD，

∴∠ACF+∠CAF=90°，∠CAD+∠D=90°，

∴∠ACF=∠D，

∴∠ACF=∠B，

而∠CAG=∠BAC，

∴△ACG∽△ABC，

∴AC：AB=AG：AC，

∴AC 2=AG •AB =12，

∴AC =23．

5．如图，CD 为⊙O 的直径，点B 在⊙O 上，连接BC 、BD ，过点B 的切线AE 与CD 的延长线交于点A ，AEO C =∠∠，OE 交BC 于点F .

（1）求证：OE ∥BD ；

（2）当⊙O 的半径为5，2sin 5

DBA ∠=时，求EF 的长.

【答案】（1）证明见解析；（2）EF 的长为

212

【解析】 试题分析：（1）连接OB ，利用已知条件和切线的性质证明；

（2）根据锐角三角函数和相似三角形的性质，直接求解即可.

试题解析：（1）连接OB ， ∵CD 为⊙O 的直径 ， ∴ 90CBD CBO OBD ∠=∠+∠=︒. ∵AE 是⊙O 的切线，∴ 90ABO ABD OBD ∠=∠+∠=︒. ∴ ABD CBO ∠=∠. ∵OB 、OC 是⊙O 的半径，∴OB=OC . ∴C CBO ∠=∠. ∴C ABD ∠=∠.

∵E C ∠=∠，∴E ABD ∠=∠. ∴ OE ∥BD .

（2）由（1）可得sin ∠C = ∠DBA= 25，在Rt △OBE 中, sin ∠C =25

BD CD =,OC =5， 4BD =∴90CBD EBO ∠=∠=︒

∵E C ∠=∠，∴△CBD ∽△EBO .

∴

BD CD BO EO

= ∴252EO =. ∵OE ∥BD ，CO =OD ，

∴CF =FB .

∴122

OF BD ==. ∴212EF OE OF =-=

6．已知：如图，△ABC中，AC=3，∠ABC=30°．

（1）尺规作图：求作△ABC的外接圆，保留作图痕迹，不写作法；

（2）求（1）中所求作的圆的面积．

【答案】（1）作图见解析；（2）圆的面积是9π．

【解析】

试题分析：（1）按如下步骤作图：①作线段AB的垂直平分线；②作线段BC的垂直平分线；③以两条垂直平分线的交点O为圆心，OA长为半圆画圆，则圆O即为所求作的圆．如图所示（2）要求外接圆的面积，需求出圆的半径，已知AC＝3，如图弦AC所对的圆周角是∠ABC=30°，所以圆心角∠AOC=60°，所以∆AOC是等边三角形，所以外接圆的半径是3故可求得外接圆的面积．

（2）连接OA，OB．

∵AC=3，∠ABC=30°，

∴∠AOC=60°，

∴△AOC是等边三角形，

∴圆的半径是3，

∴圆的面积是S=πr2=9π．

7．已知：如图1，∠ACG=90°，AC=2，点B为CG边上的一个动点，连接AB，将△ACB沿AB边所在的直线翻折得到△ADB，过点D作DF⊥CG于点F．

（1）当23

时，判断直线FD与以AB为直径的⊙O的位置关系，并加以证明；

（2）如图2，点B在CG上向点C运动，直线FD与以AB为直径的⊙O交于D、H两点，连接AH，当∠CAB=∠BAD=∠DAH时，求BC的长．

【答案】（1）直线FD与以AB为直径的⊙O相切，理由见解析；（2）222

.【解析】

试题分析：（1）根据已知及切线的判定证明得，直线FD与以AB为直径的⊙O相切；（2）根据圆内接四边形的性质及直角三角形的性质进行分析，从而求得BC的长．

试题解析：

（1）判断：直线FD与以AB为直径的⊙O相切．

证明：如图，

作以AB为直径的⊙O；

∵△ADB是将△ACB沿AB边所在的直线翻折得到的，

∴△ADB≌△ACB，

∴∠ADB=∠ACB=90°．

∵O为AB的中点，连接DO，

∴OD=OB=AB，

∴点D在⊙O上．

在Rt△ACB中，BC=，AC=2；

∴tan∠CAB==，

∴∠CAB=∠BAD=30°，

∴∠ABC=∠ABD=60°，

∴△BOD是等边三角形．

∴∠BOD=60°．

∴∠ABC=∠BOD，

∴FC∥DO．

∵DF⊥CG，

∴∠ODF=∠BFD=90°，

∴OD⊥FD，

∴FD为⊙O的切线．

（2）延长AD交CG于点E，

同（1）中的方法，可证点C在⊙O上；∴四边形ADBC是圆内接四边形．

∴∠FBD=∠1+∠2．

同理∠FDB=∠2+∠3．

∵∠1=∠2=∠3，

∴∠FBD=∠FDB，

又∠DFB=90°．

∴EC=AC=2．

设BC=x，则BD=BC=x，

∵∠EDB=90°，

∴EB=x ．

∵EB+BC=EC，

∴x+x=2，

解得x=2﹣2，

∴BC=2﹣2．

8．如图1，等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点A，C的圆交AB于点D，交BC 于点E，连结DE

（1）若AD=7，BD=1，分别求DE，CE的长

（2）如图2，连结CD，若CE=3，△ACD的面积为10，求tan∠BCD

（3）如图3，在圆上取点P使得∠PCD=∠BCD（点P与点E不重合），连结PD，且点D 是△CPF的内心

①请你画出△CPF，说明画图过程并求∠CDF的度数

②设PC=a，PF=b，PD=c，若（2）（2c）=8，求△CPF的内切圆半径长．

【答案】（1）DE=1，CE=32；（2）tan ∠BCD=

14

；（3）①135°；②2. 【解析】

【分析】 （1）由A 、C 、E 、D 四点共圆对角互补为突破口求解；

（2）找∠BDF 与∠ODA 为对顶角，在⊙O 中，∠COD=2∠CAD ，证明△OCD 为等腰直角三角形，从而得到∠EDC+∠ODA=45°，即可证明∠CDF=135°；

（3）过点D 做DH CB ⊥于点H ，以D 为圆心，DH 为半径画圆，过点P 做D e 切线PF 交CB 的延长线于点F ，结合圆周角定理得出∠CPD=∠CAD=45°，再根据圆的内心是三角形三个内角角平分线的交点，得出∠CPF=90°，然后根据角平分线性质得出

114522

DCF CFD PCF PFC ∠+∠=∠+∠=︒，最后再根据三角形内角和定理即可求解；证明∠DCF+∠CFD=45°，从而证明∠CPF 是直角，再求证四边形PKDN 是正方形，最后以△PCF 面积不变性建立等量关系，结合已知（a-2c ）（b-2c ）=8，消去字母a ，b 求出c 值，即求出△CPF 的内切圆半径长为

22

c ． 【详解】

（1）由图可知：

设BC=x ．在Rt △ABC 中，AC=BC ．由勾股定理得：

AC 2+BC 2=AB 2，

∵AB=AD+BD ，AD=7，BD=1，

∴x 2+x 2=82，

解得：x=2．

∵⊙O 内接四边形，∠ACD=90°，

∴∠ADE=90°，

∴∠EDB=90°，

∵∠B=45°，

∴△BDE 是等腰直角三形．

∴DE=DB ，

又∵DB=1，

∴DE=1，

又∵CE=BC-BE ，

∴CE=42232-=．

（2）如图所示：

在△DCB 中过点D 作DM ⊥BE ，设BE=y ，则DM=

12

y ， 又∵CE=3，∴BC=3+y ，

∵S △ACB =S ACD +S DCB ， ∴

()1114242103y y 222

⨯=+⨯+⨯， 解得：y=2或y=-11（舍去）．

∴EM=1，

CM=CE+ME=1+3=4，

又∵∠BCD=∠MCD ，

∴tan ∠BCD=tan ∠MCD ， 在Rt △DCM 中，tan ∠MCD=

DM CM =14， ∴tan ∠BCD=14

． （3）①如下图所示：

过点D 做DH CB ⊥于点H ，以D 为圆心，DH 为半径画圆，过点P 做D e 切线PF 交CB 的延长线于点F ．

∵∠CAD=45°，

∴∠CPD=∠CAD=45°，

又∵点D 是CPF ∆的内心，

∴PD 、CD 、DF 都是角平分线，

∴∠FPD=∠CPD =45°，∠PCD=∠DCF ，∠PFD=∠CFD

∴∠CPF=90°

∴∠PCF+∠PFC=90° ∴114522

DCF CFD PCF PFC ∠+∠=

∠+∠=︒ ∴∠CDF=180°-∠DCF-∠CFD F=90°+45°=135°，

即∠CDF 的度数为135°．

②如下图所示

过点D 分别作DK ⊥PC ，DM ⊥CF ，DN ⊥PF 于直线PC ，CF 和PF 于点K ，M ，N 三点， 设△PCF 内切圆的半径为m ，则DN=m ，

∵点D 是△PCF 的内心，

∴DM=DN=DK ，

又∵∠DCF+∠CFD+∠FDC=180°，∠FDC=45°，

∴∠DCF+∠CFD=45°，

又∵DC ，DF 分别是∠PCF 和∠PFC 的角平分线，

∴∠PCF=2∠DCF ，∠PFC=2∠DFC ，

∴∠PCF+∠PFC=90°，

∴∠CPF=90°．

在四边形PKDN 中，∠PND=∠NPK=∠PKD=90°，

∴四边形PKDN 是矩形，

又∵KD=ND ，

∴四边形PKDN 是正方形．

又∵∠MBD=∠BDM=45°，

∠BDM=∠KDP ，

∴∠KDP=45°．

∵PC=a ，PF=b ，PD=c ，

∴PN=PK=

C 2，

∴NF=b c 2-，CK=a c 2

-， 又∵CK=CM ，FM=FN ，CF=CM+FM ，

∴CF=

a b +，

又∵S △PCF =S △PDF +S △PDC +S △DCF ，

∴1111

ab a c b c (a b 222222=⨯+⨯++-）×c 2

，

化简得：)2a b c c +-------（Ⅰ），

又∵若（c ）（c ）=8

化简得：()2

ab a b 2c 8++=------（Ⅱ）， 将（Ⅰ）代入（Ⅱ）得：c 2=8，

解得：c =c =-

∴

2==， 即△CPF 的内切圆半径长为2．

【点睛】

本题考查圆的内接四边形性质，圆的内心，圆心角、圆周角，同弧（或等弧）之间的相互关系，同时也考查直角三角形，勾股定理，同角或等角的三角函数值相等和三角形的面积公式，正方形，对顶角和整式的运算等知识点；难点是作辅助线和利用等式求△CPF 的内切圆半径长．

9．如图1，AB 为半圆O 的直径，半径OP ⊥AB ，过劣弧AP 上一点D 作DC ⊥AB 于点C ．连接DB ，交OP 于点E ，∠DBA ＝22.5°．

⑴ 若OC ＝2，则AC 的长为 ；

⑵ 试写出AC 与PE 之间的数量关系，并说明理由；

⑶ 连接AD 并延长，交OP 的延长线于点G ，设DC ＝x ，GP ＝y ，请求出x 与y 之间的等量关系式. （请先补全图形，再解答）

【答案】⑴ 222-；⑵ 见解析；⑶ y =2x

【解析】

【分析】

（1）如图，连接OD ，则有∠AOD=45°，所以△DOC 为等腰直角三角形，又OC=2，所以DO=AO=22,故可求出AC 的长；

（2）连接AD ，DP ，过点D 作DF ⊥OP ，垂足为点F . 证AC=PF 或AC=EF ，证DP=DE

证PF=EF=12

PE ，故可证出PE =2AC ； （3）首先求出22OD CD x ==，再求AB=22x ,再证△DGE ≌△DBA,得

GE =AB =22x ，由PE=2AC 得PE =2(2)x x -，再根据GP =GE －PE 可求结论.

【详解】

（1）连接OD ，如图，

∵∠B=22.5°，

∴∠DOC=45°,

∵DC ⊥AB

∴△DOC 为等腰直角三角形，

∵OC=2，

∴2

∴2，

2.

⑵连接AD，DP，过点D作DF⊥OP，垂足为点F.

∵OP⊥AB,

∴∠POD=∠DOC=45°，

∴AD=PD，

∵△DOC为等腰直角三角形，

∴DC=CO,

易证DF=CO，

∴DC=DF，

∴Rt△DAC≌Rt△DPF,

∴PF=AC,

∵DO=AO,∠DOA=45°

∴∠DAC=67.5°

∴∠DPE=67.5°,

∵OD=OB，∠B=22.5°，

∴∠ODE=22.5°

∴∠DEP=22.5°+45°=67.5°

∴∠DEP=∠DPE

∴PF=EF=1

PE

2

∴PE=2AC

（3）如图2，由∠DCO=90°，∠DOC=45°得OD==

∴AB=2OD=

∵AB是直径，

∴∠ADB=∠EDG=90°，

由（2）得AD=ED,∠DEG=∠DAC

∴△DGE≌△DBA

∴GE=AB=

∵PE=2AC

∴PE=2)x-

-

∴GP=GE－PE=-)x

即：y=2x

【点睛】

本题是一道圆的综合题，涵盖的知识点较多，难度较大，主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握并运用这些知识是解题的关键.

10．如图,在Rt△ABC中,∠ACB=60°,☉O是△ABC的外接圆,BC是☉O的直径,过点B作☉O 的切线BD,与CA的延长线交于点D,与半径AO的延长线交于点E,过点A作☉O的切线AF,与直径BC的延长线交于点F.(1)连接EF,求证:EF是☉O的切线;

(2)在圆上是否存在一点P,使点P与点A,B,F构成一个菱形?若存在,请说明理由.

【答案】（1）见解析；（2）存在，理由见解析

【解析】

【分析】

（1）过O作OM⊥EF于M,根据SAS证明△OAF≌△OBE，从而得到OE=OF,再证明EO平分∠BEF，从而得到结论;

（2）存在，先证明△OAC为等边三角形，从而得出∠OAC=∠AOC=60°,再得到AB=AF，再证明AB=AF=FP=BP，从而得到结论.

【详解】

(1)证明:如图,过O作OM⊥EF于M,

∵OA=OB,∠OAF=∠OBE=90°,∠BOE=∠AOF,

∴△OAF≌△OBE,

∴OE=OF,

∵∠EOF=∠AOB=120°,

∴∠OEM=∠OFM=30°,

∴∠OEB=∠OEM=30°,即EO平分∠BEF,

又∠OBE=∠OME=90°,

∴OM=OB,

∴EF为☉O的切线.

(2)存在.

∵BC为☉O的直径,

∴∠BAC=90°,

∵∠ACB=60°,

∴∠ABC=30°,又∵∠ACB=60°,OA=OC,

∴△OAC为等边三角形,即∠OAC=∠AOC=60°,

∵AF为☉O的切线,

∴∠OAF=90°,

∴∠CAF=∠AFC=30°,

∴∠ABC=∠AFC,

∴AB=AF.

当点P在(1)中的点M位置时,此时∠OPF=90°,

∴∠OAF=∠OPF=90°,

又∵OA=OP,OF为公共边,

∴△OAF≌△OPF,

∴AF=PF,

∠BFE=∠AFC=30°.

又∵∠FOP=∠OBP=∠OPB=30°,

∴BP=FP,

∴AB=AF=FP=BP,

∴四边形AFPB是菱形.

【点睛】

考查了切线的判定定理和菱形的判定，经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．

11．如图，在中，以为直径作，交边于点，交边于点，过点作的切线，交的延长线于点，交于点．

（1）求证：；

（2）若，求的半径．

【答案】（1）证明见解析；

（2）4．

【解析】

试题分析：（1）连接AD，根据等腰三角形三线合一即可证明．

（2）设⊙O的半径为R，则FO=4+R，FA=4+2R，OD=R，连接OD，由△FOD∽△FAE，得列出方程即可解决问题．

试题解析：（1）连接AD，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，

∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC．

（2）设⊙O的半径为R，则FO=4+R，FA=4+2R，OD=R，连接OD、

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C，

∵OB=OD，

∴∠ABC=∠ODB，

∴∠ODB=∠C，

∴OD∥AC，

∴△FOD∽△FAE，

∴，

∴，

整理得R2﹣R﹣12=0，

∴R=4或（﹣3舍弃）．

∴⊙O的半径为4．

考点：切线的性质、等腰三角形的性质等知识．

12．如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，点F是DA延长线上的一点，过⊙O上一点C作⊙O的切线交DF于点E，CE⊥DF．

(1)求证：AC平分∠FAB；

(2)若AE＝1，CE＝2，求⊙O的半径．

【答案】（1）证明见解析；（2）5 2

【解析】

试题分析：（1）连接OC ，根据切线的性质和圆周角定理，得出∠OCA =∠OAC 与∠CAE =∠OCA ，然后根据角平分线的定义可证明；

（2）由圆周角定理得到∠BCA=90°，由垂直的定义，可求出∠CEA=90°，从而根据两角对应相等的两三角形相似可证明△ACB ∽△AEC ，再根据相似三角形的对应边成比例求得AB 的长，从而得到圆的半径.

试题解析：(1)证明：连接OC .

∵CE 是⊙O 的切线，∴∠OCE =90°

∵CE ⊥DF ，∴∠CEA =90°，

∴∠ACE +∠CAE =∠ACE +∠OCA =90°，∴∠CAE =∠OCA

∵OC ＝OA ，∴∠OCA =∠OAC .

∴∠CAE =∠OAC ，即AC 平分∠FAB

(2)连接BC .

∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =∠AEC =90°.

又∵∠CAE =∠OAC ，∴△ACB ∽△AEC ,∴AB AC AC AE =. ∵AE ＝1，CE ＝2，∠AEC =90°，∴2222125AC AE CE =

+=+= ∴()22551AC AB AE ===，∴⊙O 的半径为

52．

13．如图，已知,,BAC AB AC O ∆=为ABC ∆外心，D 为O e 上一点，BD 与AC 的交点为E ，且2·BC AC CE =．

①求证：CD CB =；

②若030A ∠=，且O e 的半径为33+，I 为BCD ∆内心，求OI 的长．

【答案】①证明见解析； ②3【解析】

【分析】

①先求出BC CE AC BC

=，然后求出△BCE 和△ACB 相似，根据相似三角形对应角相等可得

∠D=∠CBE，然后根据等角对等边即可得证；

②连接OB、OC，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出

∠BOC=60°，然后判定△OBC是等边三角形，再根据等腰三角形三线合一的性质以及三角形的内心的性质可得OC经过点I，设OC与BD相交于点F，然后求出CF，再根据I是三角形的内心，利用三角形的面积求出IF，然后求出CI，最后根据OI=OC﹣CI计算即可得解．【详解】

①∵BC2=AC•CE，∴BC CE AC BC

=．

∵∠BCE=∠ECB，∴△BCE∽△ACB，∴∠CBE=∠A．

∵∠A=∠D，∴∠D=∠CBE，∴CD=CB；

②连接OB、OC．

∵∠A=30°，∴∠BOC=2∠A=2×30°=60°．

∵OB=OC，∴△OBC是等边三角形．

∵CD=CB，I是△BCD的内心，∴OC经过点I，设OC与BD相交于点F，则

CF=BC×sin30°

1

2

=BC，BF=BC•cos30°3

=BC，所以，BD=2BF=2

3

⨯BC3

=BC，设△BCD

内切圆的半径为r，则S△BCD

1

2

=BD•CF

1

2

=（BD+CD+BC）•r，即

1

2

•3BC•

1

2

BC

1

2

=

（3BC+BC+BC）•r，解得：r

3

223

=

+

（）

BC

233

2

-

=BC，即IF

233

2

-

=BC，所以，

CI=CF﹣IF

1

2

=BC233

-

-BC=（23

-）BC，OI=OC﹣CI=BC﹣（23

-）BC=（3-1）

BC．

∵⊙O的半径为33

+，∴BC=33

+，∴OI=（3-1）（33

+）=33+3﹣

3323

-=．

【点睛】

本题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，三角形的内心的性质，（2）作辅助线构造出等边三角形并证明得到OC经过△BCD的内心I是解题的关键．

14．对于平面内的⊙C 和⊙C 外一点Q ，给出如下定义：若过点Q 的直线与⊙C 存在公共点，记为点A ，B ，设AQ BQ k CQ +=，则称点A （或点B ）是⊙C 的“K 相关依附点”，特别地，当点A 和点B 重合时，规定AQ=BQ ，2AQ k CQ =

（或2BQ CQ ）． 已知在平面直角坐标系xoy 中，Q(-1,0)，C(1,0)，⊙C 的半径为r ．

（1）如图1，当2r =时，

①若A 1(0,1)是⊙C 的“k 相关依附点”，求k 的值．

②A 2(1+2，0)是否为⊙C 的“2相关依附点”．

（2）若⊙C 上存在“k 相关依附点”点M ，

①当r=1，直线QM 与⊙C 相切时，求k 的值．

②当3k =时，求r 的取值范围．

（3）若存在r 的值使得直线3y x b =-+与⊙C 有公共点，且公共点时⊙C 的“3相关依附点”，直接写出b 的取值范围．

【答案】（1）2．②是；（2）①3k =

②r 的取值范围是12r <≤；（3）

333b -<． 【解析】

【分析】

（1）①如图1中，连接AC 、1QA ．首先证明1QA 是切线，根据2AQ k CQ =

计算即可解决问题；

②根据定义求出k 的值即可判断；

（2）①如图，当1r =时，不妨设直线QM 与C e 相切的切点M 在x 轴上方（切点M 在x 轴下方时同理），连接CM ，则QM CM ⊥，根据定义计算即可；

②如图3中，若直线QM 与C e 不相切，设直线QM 与C e 的另一个交点为N （不妨设QN QM <，点N ，M 在x 轴下方时同理），作CD QM ⊥于点D ，则MD ND =，可得()222MQ NQ MN NQ NQ ND NQ DQ +=++=+=，2CQ =，推出

2MQ NQ DQ k DQ CQ CQ +===，可得当3k =时，3DQ =，此时221CD CQ DQ =-=，假设C e 经过点Q ，此时2r =，因为点Q 早C e 外，推出r 的取值范围是12r <…； （3）如图4中，由（2）可知：当3k =时，12r <…．当2r =时，C e 经过点(1,0)Q -或(3,0)E ，当直线3y x b =-+经过点Q 时，3b =-，当直线3y x b =-+经过点E 时，33b =，即可推出满足条件的b 的取值范围为333b -<<．

【详解】

（1）①如图1中，连接AC 、1QA ．

由题意：1OC OQ OA ==，∴△1QA C 是直角三角形，190CA Q ∴∠=︒，即

11CA QA ⊥，1QA ∴是C e 的切线，122222QA k QC ∴=

== ②Q 2(12,0)A +在C e 上，221212k -+++∴=

=，2A ∴是C e 的“2相关依附点”．

2 （2）①如图2，当1r =时，不妨设直线QM 与C e 相切的切点M 在x 轴上方（切点M 在x 轴下方时同理），连接CM ，则QM CM ⊥．

(1,0)Q -Q ，(1,0)C ，1r =，2CQ ∴=，1CM =，∴3MQ =，此时

23MQ k CQ

= ②如图3中，若直线QM 与C e 不相切，设直线QM 与C e 的另一个交点为N （不妨设QN QM <，点N ，M 在x 轴下方时同理），作CD QM ⊥于点D ，则MD ND =，()222MQ NQ MN NQ NQ ND NQ DQ ∴+=++=+=，2CQ =Q ，

∴2MQ NQ DQ k DQ CQ CQ +===，∴当3k =3DQ =221CD CQ DQ =-，假设C e 经过点Q ，此时2r =，Q 点Q 早C e 外，r ∴的取值范围是12r <…．

（3）如图4中，由（2）可知：当3k =时，12r <…．

当2r =时，C e 经过点(1,0)Q -或(3,0)E ，当直线3y x b =-+经过点Q 时，3b =-，当直线3y x b =-+经过点E 时，33b =，∴满足条件的b 的取值范围为333b -<<．

【点睛】

本题考查了一次函数综合题、圆的有关知识、勾股定理、切线的判定和性质、点A （或点

)B 是C e 的“k 相关依附点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会考虑特殊位置解决问题，属于中考压轴题．

15．如图1，⊙O 的直径AB =12，P 是弦BC 上一动点（与点B ，C 不重合），∠ABC =30°，过点P 作PD ⊥OP 交⊙O 于点D ．

（1）如图2，当PD ∥AB 时，求PD 的长；

（2）如图3，当弧DC =弧AC 时，延长AB 至点E ，使BE =12

AB ，连接DE ．

②求PC的长．

【答案】（1）26；（2）①证明见解析；②33﹣3．

【解析】

试题分析：（1）根据题意首先得出半径长，再利用锐角三角三角函数关系得出OP，PD的长；

（2）①首先得出△OBD是等边三角形，进而得出∠ODE=∠OFB=90°，求出答案即可；

②首先求出CF的长，进而利用直角三角形的性质得出PF的长，进而得出答案．

试题解析：（1）如图2，连接OD，

∵OP⊥PD，PD∥AB，

∴∠POB=90°，

∵⊙O的直径AB=12，

∴OB=OD=6，

在Rt△POB中，∠ABC=30°，

∴OP=OB•tan30°=6×=2，

在Rt△POD中，

PD===；

（2）①如图3，连接OD，交CB于点F，连接BD，

∵，

∴∠DBC=∠ABC=30°，

∴∠ABD=60°，

∵OB=OD，

∴△OBD是等边三角形，

∴OD⊥FB，

∵BE=AB，

∴OB=BE，

∴BF∥ED，

∴∠ODE=∠OFB=90°，

∴DE是⊙O的切线；

②由①知，OD⊥BC，

∴CF=FB=OB•cos30°=6×=3，

在Rt△POD中，OF=DF，

∴PF=DO=3（直角三角形斜边上的中线，等于斜边的一半），

∴CP=CF﹣PF=3﹣3．

考点：圆的综合题