2021-2022学年湖南师大附中教育集团八年级(上)期中数学试卷(解析版)

一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。请在答题卡中填涂符合题意的选项。本大题共10个小题，每小题3分，共30分）

1．下列防疫的图标中是轴对称图形的是（　　）

A．    B．    

C．    D．

2．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（　　）

A．2cm，5cm，8cm    B．3cm，6cm，9cm    

C．6cm，8cm，13cm    D．7cm，7cm，15cm

3．下列各方程组中，是二元一次方程组的为（　　）

A．    B．    

C．    D．

4．如图，盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条让其固定，其所运用的几何原理是（　　）

A．三角形的稳定性    B．垂线段最短    

C．两点确定一条直线    D．两点之间，线段最短

5．无理数在（　　）

A．1和2之间    B．2和3之间    C．3和4之间    D．4和5之间

6．在下列各图形中，分别画出了△ABC中BC边上的高AD，其中正确的是（　　）

A．    B．    

C．    D．

7．下列说法中，表示三角形的重心的是（　　）

A．三角形三条中线的交点    

B．三角形三条高所在的直线的交点    

C．三角形三条角平分线的交点    

D．三角形三条边的垂直平分线的交点

8．下列说法错误的是（　　）

A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形    

B．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等    

C．等腰三角形的角平分线，中线，高相互重合    

D．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上

9．如图，在△ABC中，AB边上的垂直平分线分别交边AC于点E，交边AB于点D，若AC长为16cm，BE长为12cm，则EC的长为（　　）

A．8cm    B．6cm    C．4cm    D．12cm

10．如图，已知△ABD和△BCE是等边三角形，且A、B、C三点共线，连接AE、CD，交于点H，AE交BD于点G，BE交CD于点F，下列说法中正确的有（　　）

（1）△ABE≌△DBC；（2）AE＝DC；（3）∠DHA＝60°；（4）连接GF，GF∥AC；（5）连接HB，HB平分∠AHC．

A．2个    B．3个    C．4个    D．5个

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11．八边形的外角和是　     　．

12．﹣5的相反数是　 　．

13．一个五边形共有　 　条对角线．

14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，交BC于点D，已知CD＝3，则D到AB的距离是　 　．

15．如图，已知∠A＝∠D＝90°，要使得△ABC≌△DCB，根据“HL”判定方法，需要再添加的一个条件是 　            　．

16．如图，等边△ABC中，AD是中线，AD＝AE，则∠ADE＝　    　．

三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分。解答应写出必要的文字说明，、证明过程或演算步骤）

17．计算：．

18．如图，∠CAE是△ABC的外角，AB＝AC，AD∥BC．求证：∠1＝∠2．

证明：∵AD∥BC，

∴∠1＝∠B（ 　            　），

∠2＝∠C．

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C（ 　            　），

∴∠1＝∠2（ 　            　）．

19．人教版初中数学教科书八年级上册第35﹣36页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法：

已知：△ABC．

求作：△A′B′C′，使得△A′B′C′≌△ABC．

作法：如图．

（1）画B'C′＝BC；

（2）分别以点B′，C′为圆心，线段AB，AC长为半径画弧，两弧相交于点A′；

（3）连接线段A′B′，A′C′，则△A′B′C′即为所求作的三角形．

（1）完成下面证明过程（将正确答案填在相应的空上）：

证明：由作图可知，在△A′B′C′和△ABC中，

∴△A'B'C′≌　          　．

（2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是 　          　．（填序号）

①AAS

②ASA

③SAS

④SSS

20．已知：如图，点B、F、C、E在一条直线上，BF＝CE，∠A＝∠D，且AB∥DE，求证：△ABC≌△DEF．

21．如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（0，﹣2），B（2，﹣4），C（4，﹣1）．

请回答下列问题：

（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1．并写出A1的坐标；

（2）求△A1B1C1的面积．

22．若a，b是△ABC的两边且|a﹣3|+（b﹣7）2＝0．

（1）试求a，b的值；

（2）若△ABC是等腰三角形，试求此三角形的周长．

23．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD＝ED，EF垂直平分线段AC．

（1）求证：∠B＝∠AEB；

（2）若△ABE的周长为16，AD＝4，BD＝3，AC＝9，求△ABC的周长和面积．

24．在平面直角坐标系中，若两点关于过原点的一条直线对称，则我们称这两点关于这条直线互为“镜面点”，这条直线叫“镜面直线”．

例如：M（﹣1，2）和M′（1，2）关于y轴对称，则我们称M和M′关于y轴互为“镜面点”，y轴为“镜面直线”．

若已知两点坐标P1（x1，y1）、P2（x2，y2），则P1、P2之间的距离为．

如M（﹣1，2）和N（3，5）的距离为．

实验与探究：

（1）直线l为∠AOA′角平分线所在的直线，由图观察易知A（0，2）关于直线l的镜面点A′的坐标为（2，0），在图中找出B（5，3）、C（﹣2，5）分别关于直线l的镜面点B′、C′的位置，请写出他们的坐标：B′

　      　、C′　      　；

归纳与发现：

（2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：平面直角坐标系内任一点P（a，b）关于直线l的镜面点P'的坐标为 　      　；（不必证明）

拓展与应用：

（3）已知两点D（1，﹣3）、E（﹣1，﹣4），试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小，并求出这个和的最小值．

25．如图1，△ABO为等边三角形，顶点坐标分别为A（0，2），B（﹣，b），O（0，0），动点Q、P分别从点O、B同时出发，点Q运动到B点停止，点P运动到A点停止．

（1）求b＝　 　；

（2）若点P，点Q运动速度相同，求证：AQ＝OP；

（3）如图2，动点C从点A开始，沿着y轴正方向运动，以CB为边长作等边△EBC，连接EA并延长，交x轴于点F．请问，当C点运动时，在y轴上是否存在点K，使得△AFK为等腰三角形，若存在，求出K点坐标，若不存在，请说明理由．

参

一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。请在答题卡中填涂符合题意的选项。本大题共10个小题，每小题3分，共30分）

1．下列防疫的图标中是轴对称图形的是（　　）

A．    B．    

C．    D．

【分析】直接根据轴对称图形的概念分别解答得出答案．

解：A、不是轴对称图形，不合题意；

B、不是轴对称图形，不合题意；

C、是轴对称图形，符合题意；

D、不是轴对称图形，不合题意．

故选：C．

2．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（　　）

A．2cm，5cm，8cm    B．3cm，6cm，9cm    

C．6cm，8cm，13cm    D．7cm，7cm，15cm

【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析即可求解．

解：A、2+5＜8，不能组成三角形，不符合题意；

B、3+6＝9，不能组成三角形，不符合题意；

C、6+8＞13，能够组成三角形，符合题意；

D、7+7＜15，不能组成三角形，不符合题意．

故选：C．

3．下列各方程组中，是二元一次方程组的为（　　）

A．    B．    

C．    D．

【分析】组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个相同的未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程．

解：A、第一个方程是三次方程，故该选项不符合题意；

B、第一个方程与第二个方程所含未知数不同，故该选项不符合题意；

C、符合二元一次方程组的定义，故该选项符合题意；

D、该方程组中第一个方程是分式方程，故该选项不符合题意．

故选：C．

4．如图，盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条让其固定，其所运用的几何原理是（　　）

A．三角形的稳定性    B．垂线段最短    

C．两点确定一条直线    D．两点之间，线段最短

【分析】用木条固定矩形门框，即是组成三角形，故可用三角形的稳定性解释．

解：加上木条后，原不稳定的四边形中具有了稳定的三角形，故其所运用的几何原理是三角形的稳定性．

故选：A．

5．无理数在（　　）

A．1和2之间    B．2和3之间    C．3和4之间    D．4和5之间

【分析】根据算术平方根估算无理数的大小即可．

解：∵＜＜，

∴1＜＜2，

即在1和2之间，

故选：A．

6．在下列各图形中，分别画出了△ABC中BC边上的高AD，其中正确的是（　　）

A．    B．    

C．    D．

【分析】从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，根据概念判断．

解：过点A作直线BC的垂线段，即画BC边上的高AD，

所以画法正确的是B选项．

故选：B．

7．下列说法中，表示三角形的重心的是（　　）

A．三角形三条中线的交点    

B．三角形三条高所在的直线的交点    

C．三角形三条角平分线的交点    

D．三角形三条边的垂直平分线的交点

【分析】根据三角形的重心的概念：三角形的重心是三角形三条中线的交点答题．

解：A、三角形三条中线交于一点，这一点是三角形的重心，符合题意；

B、三角形三条高所在直线交于一点，这一点是三角形的垂心，不符合题意；

C、三角形三条角平分线交于一点，这一点是三角形的内心，不符合题意；

D、三角形三边垂直平分线交于一点，这一点是三角形的外心，不符合题意．

故选：A．

8．下列说法错误的是（　　）

A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形    

B．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等    

C．等腰三角形的角平分线，中线，高相互重合    

D．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上

【分析】利用等腰三角形、等边三角形的判定方法判断A、B，利用等腰三角形的性质判断C，利用线段垂直平分线的性质判断D．

解：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，说法正确，故选项A不合题意；

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，说法正确，故选项B不合题意；

等腰三角形顶角的角平分线，中线，高相互重合，而其底角的角平分线，中线，高不相互重合，

所以等腰三角形的角平分线，中线，高相互重合说法错误，故选项C符合题意．

与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，说法正确，故选项D不合题意．

故选：C．

9．如图，在△ABC中，AB边上的垂直平分线分别交边AC于点E，交边AB于点D，若AC长为16cm，BE长为12cm，则EC的长为（　　）

A．8cm    B．6cm    C．4cm    D．12cm

【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可以得到AE＝BE，进而即可求得EC的长．

解：∵DE是AB的垂直平分线，

∴AE＝BE，

∵AC＝16cm，BE＝12cm，

∴EC＝AC﹣AE＝AC﹣BE＝16﹣12＝4（cm），

故选：C．

10．如图，已知△ABD和△BCE是等边三角形，且A、B、C三点共线，连接AE、CD，交于点H，AE交BD于点G，BE交CD于点F，下列说法中正确的有（　　）

（1）△ABE≌△DBC；（2）AE＝DC；（3）∠DHA＝60°；（4）连接GF，GF∥AC；（5）连接HB，HB平分∠AHC．

A．2个    B．3个    C．4个    D．5个

【分析】根据等边三角形的性质得出AB＝BD，BC＝CE，∠EBC＝60°，∠ABD＝∠CBE＝60°，求出∠ABE＝∠DBC，根据全等三角形的判定得出△ABE≌△DBC，根据全等三角形的性质得出∠AEB＝∠DCB，AE＝DC，根据三角形的外角性质得出∠DHA＝∠DCB+∠EAB＝∠EBC＝60°，求出∠GBE＝∠EBC，根据全等三角形的判定定理得出△EBG≌△CBF，根据全等三角形的性质得出BF＝BG，求出△GBF是等边三角形，过B作BM⊥AE于M，BN⊥DC于N，根据全等三角形的判定得出△EMB≌△CNB，根据全等三角形的性质得出BM＝BN，根据角平分线性质的逆定理得出HB平分∠AHC，再得出选项即可．

解：∵△ABC和△BCE是等边三角形，

∴AB＝BD，BC＝CE，∠EBC＝60°，∠ABD＝∠CBE＝60°，

∴∠ABD+∠DBE＝∠CBE+∠DBE，

即∠ABE＝∠DBC，

在△ABE和△DBC中，

，

∴△ABE≌△DBC（SAS），故①正确；

∴∠AEB＝∠DCB，AE＝DC，故②正确；

∴∠DHA＝∠DCB+∠EAB＝∠AEB+∠EAB＝∠EBC＝60°，故③正确；

∵∠ABD＝∠EBC＝60°，

∴∠GBE＝180°﹣∠ABD﹣∠EBC＝60°＝∠EBC，

在△EBG和△CBF中，

，

∴△EBG≌△CBF（ASA），

∴BF＝BG，

∵∠GBE＝60°，

∴△GBF是等边三角形，

∴∠GFB＝60°＝∠EBC，

∴GF∥AC，故④正确；

过B作BM⊥AE于M，BN⊥DC于N，则∠EMB＝∠BNC＝90°，

在△EMB和△CNB中，

，

∴△EMB≌△CNB（AAS），

∴BM＝BN，

∵BM⊥AE，BN⊥CD，

∴HB平分∠AHC，故⑤正确；

即正确的个数是5，

故选：D．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11．八边形的外角和是　360°　．

【分析】任何凸多边形的外角和都是360度．

解：八边形的外角和是360度．

故答案为：360°．

12．﹣5的相反数是　5　．

【分析】根据相反数的定义直接求得结果．

解：﹣5的相反数是5．

故答案为：5．

13．一个五边形共有　5　条对角线．

【分析】可根据多边形的对角线与边的关系求解．

解：n边形共有条对角线，

∴五边形共有＝5条对角线．

14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，交BC于点D，已知CD＝3，则D到AB的距离是　3　．

【分析】过点D作DE⊥AB于点E，然后根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝CD，即可得解．

解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，

∵AD是∠BAC的平分线，

∴DE＝CD，

∵CD＝3，

∴DE＝3．

故答案为：3．

15．如图，已知∠A＝∠D＝90°，要使得△ABC≌△DCB，根据“HL”判定方法，需要再添加的一个条件是 　AB＝DC或AC＝BD　．

【分析】根据两直角三角形全等的判定定理HL得出即可．

解：AB＝DC或AC＝BD，

理由是：①在Rt△ABC和Rt△DCB中，

，

∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）；

②在Rt△ABC和Rt△DCB中，

，

∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）；

故答案为：AB＝DC或AC＝BD．

16．如图，等边△ABC中，AD是中线，AD＝AE，则∠ADE＝　75°　．

【分析】利用等边三角形的性质先求出∠DAC，再利用三角形的内角和定理和等腰三角形的性质求出∠ADE．

解：∵△ABC是等边三角形，

∴∠BAC＝60°．

∵AD是中线，

∴∠DAC＝∠BAC＝30°．

∵AD＝AE，

∴∠ADE＝

＝

＝75°．

故答案为：75°．

三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分。解答应写出必要的文字说明，、证明过程或演算步骤）

17．计算：．

【分析】化简有理数的乘方，算术平方根，绝对值，然后再算加减．

解：原式＝1﹣2+3﹣+﹣1

＝1．

18．如图，∠CAE是△ABC的外角，AB＝AC，AD∥BC．求证：∠1＝∠2．

证明：∵AD∥BC，

∴∠1＝∠B（ 　两直线平行，同位角相等　），

∠2＝∠C．

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C（ 　等边对等角　），

∴∠1＝∠2（ 　等量代换　）．

【分析】先由平行线的性质得∠1＝∠B，∠2＝∠C，再由等腰三角形的性质和等量关系得到∠1＝∠2．

【解答】证明：∵AD∥BC，

∴∠1＝∠B（两直线平行，同位角相等），

∠2＝∠C．

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C（等边对等角），

∴∠1＝∠2（等量代换）．

故答案为：两直线平行，同位角相等；等边对等角；等量代换．

19．人教版初中数学教科书八年级上册第35﹣36页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法：

已知：△ABC．

求作：△A′B′C′，使得△A′B′C′≌△ABC．

作法：如图．

（1）画B'C′＝BC；

（2）分别以点B′，C′为圆心，线段AB，AC长为半径画弧，两弧相交于点A′；

（3）连接线段A′B′，A′C′，则△A′B′C′即为所求作的三角形．

（1）完成下面证明过程（将正确答案填在相应的空上）：

证明：由作图可知，在△A′B′C′和△ABC中，

∴△A'B'C′≌　△ABC（SSS）　．

（2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是 　④　．（填序号）

①AAS

②ASA

③SAS

④SSS

【分析】（1）根据SSS证明三角形全等即可．

（2）根据SSS证明三角形全等．

解：（1）由作图可知，在△A′B′C′和△ABC中，

，

∴△A'B'C′≌△ABC（SSS）．

故答案为：AB，AC，△ABC（SSS）．

（2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是SSS，

故答案为：④．

20．已知：如图，点B、F、C、E在一条直线上，BF＝CE，∠A＝∠D，且AB∥DE，求证：△ABC≌△DEF．

【分析】根据平行线的性质得出∠B＝∠E，根据BF＝CE求出BC＝EF，再根据全等三角形的判定定理AAS推出即可．

【解答】证明：∵AB∥DE，

∴∠B＝∠E，

∵BF＝CE，

∴BF+FC＝CE+FC

即BC＝EF，

在△ABC与△DEF中，

，

∴△ABC≌△DEF（AAS）；

21．如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（0，﹣2），B（2，﹣4），C（4，﹣1）．

请回答下列问题：

（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1．并写出A1的坐标；

（2）求△A1B1C1的面积．

【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；

（2）把三角形的面积看成矩形面积减去周围三个三角形面积即可．

解：（1）如图所示

A1的坐标为（0，2）；

（2）＝3×4﹣×2×2﹣×1×4﹣×2×3＝5．

22．若a，b是△ABC的两边且|a﹣3|+（b﹣7）2＝0．

（1）试求a，b的值；

（2）若△ABC是等腰三角形，试求此三角形的周长．

【分析】（1）利用非负数的性质可求得a、b的值；

（2）分腰长为3或7两种情况进行计算．

解：（1）∵|a﹣3|+（b﹣7）2＝0，

∴a﹣3＝0，b﹣7＝0，

解得a＝3，b＝7；

（2）当腰长为3时，

此时三角形的三边为3、3、7，不满足三角形三边关系；

当腰长为7时，

此时三角形的三边长为7、7、3，满足三角形三边关系，周长为7+7+3＝17；

综上可知，等此三角形的周长为17．

23．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD＝ED，EF垂直平分线段AC．

（1）求证：∠B＝∠AEB；

（2）若△ABE的周长为16，AD＝4，BD＝3，AC＝9，求△ABC的周长和面积．

【分析】（1）利用SAS即可证明△ADB≌△ADE；

（2）由勾股定理求出AB的长，再利用SAS证出△AFE≌△CFE，得AE＝CE＝AB＝5，即可求出△ABC的周长，再根据三角形的面积计算公式即可求出△ABC的面积．

【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，

∴∠ADB＝∠ADE＝90°，

在△ADB与△ADE中，

，

∴△ADB≌△ADE（SAS），

∴∠B＝∠AEB；

（2）解：由（1）知，△ADB≌△ADE，

∴AB＝AE，

∵AD⊥BC，AD＝4，BD＝3，

∴由勾股定理得：AB＝5，

∵EF垂直平分线段AC，

∴∠AFE＝∠CFE＝90°，AF＝CF，

在△AFE与△CFE中，

，

∴△AFE≌△CFE（SAS），

∴AE＝CE＝AB＝5，

∴C△ABC＝AB+AC+BD+DE+CE

＝5+9+3+3+5

＝25，

S

＝

＝22．

24．在平面直角坐标系中，若两点关于过原点的一条直线对称，则我们称这两点关于这条直线互为“镜面点”，这条直线叫“镜面直线”．

例如：M（﹣1，2）和M′（1，2）关于y轴对称，则我们称M和M′关于y轴互为“镜面点”，y轴为“镜面直线”．

若已知两点坐标P1（x1，y1）、P2（x2，y2），则P1、P2之间的距离为．

如M（﹣1，2）和N（3，5）的距离为．

实验与探究：

（1）直线l为∠AOA′角平分线所在的直线，由图观察易知A（0，2）关于直线l的镜面点A′的坐标为（2，0），在图中找出B（5，3）、C（﹣2，5）分别关于直线l的镜面点B′、C′的位置，请写出他们的坐标：B′

　（3，5）　、C′　（5，﹣2）　；

归纳与发现：

（2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：平面直角坐标系内任一点P（a，b）关于直线l的镜面点P'的坐标为 　（b，a）　；（不必证明）

拓展与应用：

（3）已知两点D（1，﹣3）、E（﹣1，﹣4），试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小，并求出这个和的最小值．

【分析】（1）求得线段AA′的中点，然后根据待定系数法求得镜面直线，进而即可求得B（5，3）、C（﹣2，5）分别关于直线l的镜面点；

（2）结合图形观察以上三组点的坐标即可得出结论；

（3）求得E点关于直线l的镜面点E′，连接DE′，交直线l于点Q，Q点即为所求．

解：（1）设镜面直线的解析式为y＝kx，

∵A（0，2），A′（2，0），

∴线段AA′的中点为（1，1），

∵镜面直线经过原点和（1，1），

∴镜面直线为y＝x，

∵B（5，3）、C（﹣2，5），

∴B（5，3）、C（﹣2，5）分别关于直线l的镜面点B′（3，5）、C′（5，﹣2），

故答案为：B′（3，5）、C′（5，﹣2）；

（2）结合图形观察以上三组点的坐标，会发现：平面直角坐标系内任一点P（a，b）关于直线l的镜面点P'的坐标为（b，a）；

故答案为：（b，a）；

拓展与应用：

（3）∵E（﹣1，﹣4），

∴E′（﹣4，﹣1），

∵D（1，﹣3），

∴DE′＝＝，

∴点Q到D、E两点的距离之和的最小值为：．

25．如图1，△ABO为等边三角形，顶点坐标分别为A（0，2），B（﹣，b），O（0，0），动点Q、P分别从点O、B同时出发，点Q运动到B点停止，点P运动到A点停止．

（1）求b＝　1　；

（2）若点P，点Q运动速度相同，求证：AQ＝OP；

（3）如图2，动点C从点A开始，沿着y轴正方向运动，以CB为边长作等边△EBC，连接EA并延长，交x轴于点F．请问，当C点运动时，在y轴上是否存在点K，使得△AFK为等腰三角形，若存在，求出K点坐标，若不存在，请说明理由．

【分析】（1）过点B作BH⊥y轴于H，根据等边三角形的性质即可求解；

（2）当点P，点O运动速度相同时，可得BP＝OQ，根据等边三角形的性质得∠AOQ＝∠OBP＝∠BAO＝60°，AO＝BO，利用SAS证明△AOQ≌△OBP，即可得出结论；

（3）证明△ABE≌△OBC（SAS），根据全等三角形的性质得∠BAE＝∠BOA＝60°，可得∠OAF＝60°，则∠OFA＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质得AF＝2OA＝4，分两种情况，①点K在y轴上点A上方时；②点K在y轴上点A下方时，求出K点坐标即可．

解：（1）过点B作BH⊥y轴于H，

∵△ABO为等边三角形，BH⊥y轴，

∴AH＝OH＝OA，

∵A（0，2），B（﹣，b），

∴OH＝OA＝1，

∴b＝1．

故答案为：1；

（2）证明：当点P，点O运动速度相同时，可得BP＝OQ，

∵△ABO为等边三角形，

∴∠AOQ＝∠OBP＝∠BAO＝60°，AO＝BO，

在△AOQ与△OBP中，

，

∴△AOQ≌△OBP（SAS）；

∴AQ＝OP；

（3）∵△EBC为等边三角形，

∴∠BEC＝∠EBC＝60°，

∵△ABO为等边三角形，

∴∠BAO＝∠ABO＝60°，

∴∠EBC+∠ABC＝∠ABO+∠ABC＝60°+∠ABC，

∴∠ABE＝∠OBC，

∵AB＝OB，BE＝BC，

∴△ABE≌△OBC（SAS），

∴∠BAE＝∠AOB＝60°，

∴∠OAF＝180°﹣∠BAO﹣∠BAE＝60°，

∴∠OFA＝30°，

在Rt△AOF中，OA⊥OF，∠OFA＝30°，

∴AF＝2OA＝4，

①点K在y轴上点A上方时，

∵△AFK为等腰三角形，

∴AK＝AF＝4，

∴OK＝OA+AK＝2+4＝6，

∴K（0，6）；

②点K在y轴上点A下方时，

∵OAF＝60°，△AFK为等腰三角形，

∴△AFK为等边三角形，

∴AK＝AF＝4，

∵OA＝2，

∴OK＝AK﹣OA＝4﹣2＝2，

∴K点坐标（0，﹣2）．

综上，K点坐标为（0，6）或（0，﹣2）．