浙江省杭州市2022年中考数学模拟试卷汇编(含答案)

（含答案）

一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．下列各式中，不相等的是（　　）

A．（﹣3）2和﹣32 B．（﹣3）2和32 C．（﹣2）3和﹣23 D．|﹣2|3和|﹣23|

2．下列各式中，能用完全平方公式因式分解的是（　　）

A．y2﹣x2+2xy B．y2+x2+xy C．25y2+15y+9 D．4x2+9﹣12x

3．如图，等腰△ABC的面积为S，AB＝AC＝m，点D为BC边上任意一点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则DE+DF＝（　　）

A． B． C． D．

4．的相反数是（　　）

A．﹣ B． C． D．5

5．下列运算，结果正确的是（　　）

A．m2+m2＝m4 B．（m+）2＝m2+

C．（3mn2）2＝6m2n4 D．2m2n÷＝2mn2

6．已知不等边三角形中，有一条边长等于另两边长的平均值，则最大边上的高与最小边上的高的比值k的取值范围是（　　）

A． B． C．1＜k＜2 D．

7．根据数量关系：x2减去10不大于10，用不等式表示为（　　）

A．x2﹣10＞10 B．x﹣10≥10 C．x2﹣10≤10 D．x2﹣10＜10

8．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（A、B除外），∠AOD＝136°，则∠C的度数是（

A．44° B．22° C．46° D．36°

9．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中．点A，B，C，D都在这些小正方形的格点上，AB，CD相交于点E，则sin∠AEC的值为（　　）

A． B． C． D．

10．当a≤x≤a+1时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为4，则a的值为（　　）

A．﹣2 B．4 C．4或3 D．﹣2或3

二、填空題：本大题有6个小題，毎小题4分，共24分.

11．在一个不透明的布袋中装有4个白球和n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球，摸到白球的概率是，则n＝　   　．

12．如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C，D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B．如果∠C＝28°，那么∠A的度数为　   　．

13．若一组数据4，1，7，x，5的平均数为4，则这组数据的中位数为　   　

14．化简二次根式（x2﹣1），得出的结果是　   　．

15．如图，BD平分∠ABC，DE∥BC，过E作BD的垂线交BD于O，交BC于F，P是ED的中点．若OP＝15，BF的长为　   　．

16．若不等式（a﹣2）x＜1，两边除以a﹣2后变成x＜，则a的取值范围是　   　．

三、解答题：本大题有7个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（6分）《如果想毁掉一个孩子，就给他一部手机!》这是2017年微信圈一篇热传的文章．国际上，法国教育部宣布从2018年9月新学期起小学和初中禁止学生使用手机．为了解学生手机使用情况，某学校开展了“手机伴我健康行”主题活动，他们随机抽取部分学生进行“使用手机目的”和“每周使用手机的时间”的问卷调查，并绘制成如图①，②的统计图，已知“查资料”的人数是40人．

请你根据以上信息解答下列问题：

（1）在扇形统计图中，“玩游戏”对应的百分比为　   　，圆心角度数是　   　度；

（2）补全条形统计图；

（3）该校共有学生2100人，估计每周使用手机时间在2小时以上（不含2小时）的人数．

18．（8分）如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A（2，0），B（0，4）．

（1）求函数的表达式．

（2）在该一次函数图象上有一点P到x轴的距离为6，求点P的坐标．

19．（8分）如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠ABC＝∠ACD，

（1）求证：△ABC∽△ACD；

（2）若AD＝2，AB＝5．求AC的长．

20．（10分）某商人开始将进价为每件8元的某种商品按每件10元出售，每天售出100件；后来他利用提高售价的方法来增加利润，发现这种商品每提价1元，每天的销售量就会减少10件．

（1）他若想每天的利润达到350元，求此时的售价应为每件多少元？

（2）每天的利润能否达到380元？为什么？

21．（10分）如图，已知C是线段AE上一点，DC⊥AE，DC＝AC，B是CD上一点，CB＝CE．

（Ⅰ）求证：△ACB≌△DCE；

（Ⅱ）若∠E＝65°，求∠A的度数；

（Ⅲ）若AE＝11，BC＝3，求BD的长，（直接写出结果）

22．（12分）平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣3与y轴交于点A，过A作AB∥x轴与直线x＝4交于B点．

（1）抛物线的对称轴为x＝　   　（用含m的代数式表示）；

（2）当抛物线经过点A，B时，求此时抛物线的表达式；

（3）记抛物线在线段AB下方的部分图象为G（包含A，B两点），点P（m，0）是x轴上一动点，过P作PD⊥x轴于P，交图象G于点D，交AB于点C，若CD≤1，求m的取值范围．

23．（12分）如图，菱形ABCD中，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，作CF⊥AD，交AD的延长线于点F．

（1）求证：△CBE≌△CDF；

（2）若∠CAE＝30°，CE＝3，求菱形ABCD的面积．

参与试题解析

一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．【分析】根据有理数的乘方、绝对值和负整数指数幂的知识点进行解答，即可判断．

【解答】解：A、（﹣3）2＝9，﹣32＝﹣9，故（﹣3）2≠﹣32；

B、（﹣3）2＝9，32＝9，故（﹣3）2＝32；

C、（﹣2）3＝﹣8，﹣23＝﹣8，则（﹣2）3＝﹣23；

D、|﹣2|3＝23＝8，|﹣23|＝|﹣8|＝8，则|﹣2|3＝|﹣23|．

故选：A．

【点评】此题确定底数是关键，要特别注意﹣32和（﹣3）2的区别．

2．【分析】根据完全平方公式即可求出答案．

【解答】解：由完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2

4x2+9﹣12x＝（2x﹣3）2

故选：D．

【点评】本题考查了公式法分解因式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．

3．【分析】首先画出几何图形，连接AD，根据三角形的面积公式即可得到AB•DE+AC•DF＝S，进而求得DE+DF的值．

【解答】解：如图所示：连接AD，

∵AB＝AC＝m，△ABC的面积是S，

∴AB•DE+AC•DF＝S，

∵AB＝AC＝m，

∴DE+DF＝，

故选：B．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的面积，有利于培养同学们钻研和探索问题的精神．

4．【分析】根据相反数的意义求解即可．

【解答】解：的相反数是﹣，

故选：A．

【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．

5．【分析】A：根据整式的混合运算方法计算即可．

B：根据完全平方公式的计算方法判断即可．

C：根据积的乘方的运算方法计算即可．

D：根据分式的混合运算方法计算即可．

【解答】解：∵m2+m2＝2m2，

∴选项A错误；

∵（m+）2＝m2++2，

∴选项B错误；

∵（3mn2）2＝9m2n4，

∴选项C错误；

∵2m2n÷＝2mn2，

∴选项D正确．

故选：D．

【点评】（1）此题主要考查了分式的混合运算，要注意运算顺序，分式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．

（2）此题还考查了整式的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．

（3）此题还考查了幂的乘方和积的乘方，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①（am）n＝amn（m，n是正整数）；②（ab）n＝anbn（n是正整数）．

6．【分析】可设三角形三边a＞b＞c，根据三角形的面积公式可知最大边上的高与最小边上的高的比为c：a＜1，再根据已知和三角形三边关系可知c：a＞，则最大边上的高与最小边上的高的比值k的取值范围可求．

【解答】解：设a＞b＞c

k＝：＝c：a

∴c：a＜1

又因为a+c＝2b①

又∵a﹣c＜b②

2a＜3b，a＜b

c＞b

c：a＞

所以，＜k＜1．

故选：D．

【点评】本题综合考查了三角形的面积公式和三角形三边关系及解不等式，有一定的难度，解题的关键是得出三角形最大边上的高与最小边上的高的比等于最小边与最大边的比．

7．【分析】根据题意，可以用不等式表示出x2减去10不大于10，本题得以解决．

【解答】解：由题意可得，

x2减去10不大于10，用不等式表示为：x2﹣10≤10，

故选：C．

【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式．

8．【分析】根据圆周角定理进行解答即可．

【解答】解，∵∠AOD＝136°，

∴∠BOD＝44°，

∴∠C＝22°，

故选：B．

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．

9．【分析】根据勾股定理求出各个边的长度，求出AF和AE，解直角三角形求出即可．

【解答】解：

过A作AF⊥CD于F，

在Rt△ADB中，BD＝3，AD＝3，由勾股定理得：AB＝＝3，

在Rt△CAD中，AC＝11，AD＝3，由勾股定理得：CD＝＝，

由三角形的面积公式得：＝，

×AF＝1×3，

解得：AF＝，

∵AC∥BD，

∴△CEA∽△DEB，

∴＝，

∴＝，

∴AE＝，

∴sin∠AEC＝＝＝，

故选：B．

【点评】本题考查了勾股定理、相似三角形的性质和判定、解直角三角形等知识点，能够正确作出辅助线是解此题的关键．

10．【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y＝4时x的值，结合当a≤x≤a+1时函数有最小值1，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．

【解答】解：当y＝4时，有x2﹣2x+1＝4，

解得：x1＝﹣1，x2＝3．

∵当a≤x≤a+1时，函数有最小值4，

∴a＝3或a+1＝﹣1，

∴a＝3或a＝﹣2，

故选：D．

【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y＝4时x的值是解题的关键．

二、填空題：本大题有6个小題，毎小题4分，共24分.

11．【分析】根据白球的概率公式＝列出方程求解即可．

【解答】解：不透明的布袋中的球除颜色不同外，其余均相同，共有n+4个球，其中白球4个，

根据古典型概率公式知：P（白球）＝＝，

解得：n＝8，

故答案为：8．

【点评】此题主要考查了概率公式的应用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．

12．【分析】连接OB，由题意可得∠OBA＝90°，因为∠AOB＝2∠C＝56°，在Rt△AOB中，即可得出∠A的度数．

【解答】解：如图，连接OB，

∵边AB与⊙O相切，切点为B，

∴∠OBA＝90°，

∵∠C＝28°，

∴∠AOB＝2∠C＝56°，

∴∠A＝90°﹣56°＝34°．

故答案为：34°．

【点评】本题考查圆的切线的性质，直角三角形的性质．解题的关键是掌握圆的切线的性质．

13．【分析】先根据平均数为4求出x的值，然后根据中位数的概念求解．

【解答】解：∵数据4，1，7，x，5的平均数为4，

∴＝4，

解得：x＝3，

则将数据重新排列为1、3、4、5、7，

所以这组数据的中位数为4，

故答案为：4．

【点评】本题考查了中位数的概念：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．

14．【分析】原式利用二次根式性质化简，整理即可得到结果．

【解答】解：原式＝（x+1）（x﹣1）＝＝﹣（x﹣1），

故答案为：﹣（x﹣1）

【点评】此题考查了二次根式的性质与化简，以及绝对值的代数意义，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

15．【分析】根据已知条件，可得EB＝ED，由EF⊥BD得BO＝DO，可证得△DOE≌△BOF，求得DE的长即为BF的长．

【解答】解：∵DE∥BC，∴∠D＝∠CBD，

∵BD平分∠ABC，∴∠EBD＝∠CBD，∴∠D＝∠EBD，∴EB＝ED，

∵EF⊥BD，∴BO＝DO，∠DOE＝∠BOF＝90°，

∴△DOE≌△BOF，∴BF＝DE，

∵P是ED的中点，OP＝15，

∴BE＝30，∴BF＝30．

故答案为30．

【点评】本题考查了平行线的性质、等角对等边及三角形的中位线．

16．【分析】根据不等式的性质得出不等式，求出不等式的解集即可．

【解答】解：∵不等式（a﹣2）x＜1，两边除以a﹣2后变成x＜，

∴a﹣2＞0，

∴a＞2，

故答案为：a＞2．

【点评】本题考查了不等式的性质和解一元一次不等式，能根据不等式的性质得出关于a的不等式是解此题的关键．

三、解答题：本大题有7个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．【分析】（1）由扇形统计图其他的百分比求出“玩游戏”的百分比，乘以360即可得到结果；

（2）求出3小时以上的人数，补全条形统计图即可；

（3）由每周使用手机时间在2小时以上（不含2小时）的百分比乘以2100即可得到结果．

【解答】解：（1）根据题意得：1﹣（40%+18%+7%）＝35%，

则“玩游戏”对应的圆心角度数是360°×35%＝126°，

故答案为：35%，126；

（2）根据题意得：40÷40%＝100（人），

∴3小时以上的人数为100﹣（2+16+18+32）＝32（人），

补全图形如下：

；

（3）根据题意得：2100×＝1344（人），

则每周使用手机时间在2小时以上（不含2小时）的人数约有1344人．

【点评】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题中的数据是解本题的关键．

18．【分析】（1）点A（2，0），B（0，4）带入一次函数，就可求出函数的表达式；

（2）一次函数图象上P到x轴的距离为6，即可求出P的坐标．

【解答】解：（1）点A（2，0），B（0，4）带入y＝kx+b中，，可得b＝4，k＝﹣2．

∴一次函数的表达式：y＝﹣2x+4．

（2）点P为一次函数图象上一点，设P（x，﹣2x+4），

∵有一点P到x轴的距离为6，∴分两种情况讨论．

①﹣2x+4＝6，解得x＝﹣1，此时P（﹣1，6）．

②﹣2x+4＝﹣6，解得x＝5，此时P（5，﹣6）．

故点P的坐标（﹣1，6）；（5，﹣6）．

【点评】本题主要考察了用代入法求一次函数表达式，以及求一次函数上点的特点来求坐标．

19．【分析】（1）根据相似三角形的判定即可求出答案．

（2）根据相似三角形的性质即可求出答案．

【解答】解：（1）∵∠ABC＝∠ACD，∠A＝∠A，

∴△ABC∽△ACD

（2）解：△ABC∽△ACD

∴，

∵AD＝2，AB＝5，

∴，

∴AC＝．

【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．

20．【分析】（1）设每件这种商品的售价提升x元，则每天可售出（100﹣10x）件，根据每日利润＝每件的利润×日销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之就可得出x的值，再将其代入10+x即可得出结论；

（2）假设能，设每件这种商品的售价提升y元，则每天可售出（100﹣10y）件，根据每日利润＝每件的利润×日销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，由该方程根的判别式△＝﹣8＜0，可得出该方程无解，进而可得出每天的利润不能达到380元．

【解答】解：（1）设每件这种商品的售价提升x元，则每天可售出（100﹣10x）件，

根据题意得：（10+x﹣8）（100﹣10x）＝350，

整理得：x2﹣8x+15＝0，

解得：x1＝3，x2＝5，

∴10+x＝13或15．

答：此时的售价应为每件13元或15元．

（2）假设能，设每件这种商品的售价提升y元，则每天可售出（100﹣10y）件，

根据题意得：（10+y﹣8）（100﹣10y）＝380，

整理得：y2﹣8x+18＝0．

∵△＝（﹣8）2﹣4×1×18＝﹣8＜0，

∴该方程无解，

∴假设不成立，

∴每天的利润不能达到380元．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

21．【分析】（Ⅰ）由“SAS”可证△ACB≌△DCE；

（Ⅱ）由全等三角形的性质和直角三角形的性质可得∠A的度数；

（Ⅲ）由全等三角形的性质可求AC＝DC，BC＝CE＝3，即可求BD的长．

【解答】证明：（Ⅰ）∵DC＝AC，∠ACB＝∠DCE＝90°，BC＝CE

∴△ACB≌△DCE（SAS）

（Ⅱ）∵△ACB≌△DCE，

∴∠E＝∠ABC＝65°

∴∠A＝90°﹣∠ABC＝25°

（Ⅲ）∵△ACB≌△DCE

∴AC＝DC，BC＝CE＝3，

∴AC＝AE﹣CE＝11﹣3＝8＝CD

∴BD＝CD﹣BC＝8﹣3＝5

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的性质是本题的关键．

22．【分析】利用二次函数对称轴和顶点即可求解（1）（2）问；

（3）求出函数与x轴两个交点，由于CD≤1，所有C要在x轴上方的G区域，结合图象，即可求出m的范围．

【解答】解：（1）根据抛物线的对称轴x＝﹣，代入得到x＝m；

故答案为m；

（2）∵y＝x2﹣2mx+m2﹣3＝（x﹣m）2﹣3，

∴抛物线顶点坐标为（m，﹣3）．

∵抛物线经过点A，B时，且AB∥x轴，

∴抛物线对称轴为x＝m＝2．

∴抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+1；

（3）y＝x2﹣4x+1与x轴两个交点为（2﹣，0），（2+，0），

∵CD≤1，

∴0≤m≤2﹣或2+≤m≤4．

【点评】本题主要考查二次函数与一次函数的综合，在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中求得D点坐标是解题的关键，在（3）中注意数形结合思想的应用．

23．【分析】（1）本题需根据菱形的性质和直角三角形全等的判定方法即可证出结论．

（2）本题需利用解直角三角形求出菱形的边长，再根据菱形的面积公式即可求出结果．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴BC＝CD，∠ABC＝∠ADC，

∵∠ABC+∠CBE＝180°，∠ADC+∠CDF＝180°，

∴∠CBE＝∠CDF，

∵CE⊥AB，CF⊥AD，

∴∠CEB＝∠CFD＝90°，

∴△CBE≌△CDF；

（2）解：∵四边形ABCD是菱形，

∴∠BAD＝2∠CAE＝60°，BC∥AD，

∴∠CBE＝∠BAD＝60°，

∵sin∠CBE＝，

∴BC＝，

∴S菱形ABCD＝AB×CE＝BC×CE＝．

【点评】本题主要考查了菱形的性质，解题时要注意解直角三角形和三角形全等的判定的综合应用．

浙江省中考数学模拟检测试卷

（含答案）

一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不绐分）

1．在﹣3，﹣1，0，1四个数中，比﹣2小的数是（　　）

A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．1

2.如图是由长方体和圆柱组成的几何体，它的俯视图是（　　）

A． B．

C． D．

3.下列说法正确的是（　　）

A．“打开电视机，正在播放《新闻联播》”是必然事件

B．天气预报“明天降水概率50%”，是指明天有一半的时间会下雨

C．数据6，6，7，7，8的中位数与众数均为7

D．甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是S甲2＝0.3，S乙2＝0.4，则甲的成绩更稳定

4.下列计算中正确的是（　　）

A．（a+b）2＝a2+b2 B．a2•a3＝a5

C．a8÷a2＝a2 D．a2+a3＝a5

5.如图，△ABC和△DBC均为等腰三角形，∠A＝60°，∠D＝90°，AB＝12，若点E、F、G、H分别为边AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的面积为（　　）

A．36（+1） B．18（+1） C．12（+1） D．9（+1）

6.关于x的一元二次方程x2+2x+3m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　）

A．m＜ B．m≤ C．m＞﹣ D．m≤

7.我国古代数学著作《增删算法统宗》记载”绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．“其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是（　　）

A． B．

C． D．

8.下列命题为假命题的是（　　）

A．若a＝b，则a﹣2019＝b﹣2019

B．若a＝b，则

C．若a＞b，则 a2＞ab

D．若a＜b，则a﹣2c＜b﹣2c

9.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：

①ab＜0；②b2＞4ac；③a+b+c＜0；④3a+c＜0．其中正确的是（　　）

A．①④ B．②④ C．①②③ D．①②③④

10.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，点D在BC上，以AC为对角线的所有▱ADCE中，DE的最小值是（　　）

A．4 B．6 C．8 D．10

二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）

11．因式分解：（2a+1）a﹣4a﹣2＝　   　．

12.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点D；再分别以点B和点D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线CE交AB于点F，则AF的长为　   　．

13.如图，▱ABCD中，∠B＝70°，BC＝6，以AD为直径的⊙O交CD于点E，则弧DE的长为　   　．

14.如图，曲线l是由函数y＝在第一象限内的图象绕坐标原点O逆时针旋转90°得到的，且过点A （m，6），B （﹣6，n），则△OAB的面积为　   　．

15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，E为斜边AB的中点，点P是射线BC上的一个动点，连接AP、PE，将△AEP沿着边PE折叠，折叠后得到△EPA′，当折叠后△EPA′与△BEP的重叠部分的面积恰好为△ABP面积的四分之一，则此时BP的长为　   　．

16.如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝45°，AB＝4，点P为线段AB上一动点，过点P作PE⊥AB交AD于点E，沿PE将∠A折叠，点A的对称点为点F，连接EF、DF、CF，当△CDF为等腰三角形时，AP的长为　   　．

三、解答题（本题有8小题，共80分）

17.（10分）（1）计算：|﹣|+2﹣1﹣3tan45°

（2）先化简，再求值：2（a+）（a﹣）﹣a（a﹣6）+6，其中a＝﹣1．

18.（8分）如图，正方形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE，过B点作BH⊥AE，垂足为点H，延长BH交CD于点F，连接AF．

（1）求证：AE＝BF．

（2）若正方形边长是5，BE＝2，求AF的长．

19．（8分）某品牌牛奶供应商提供A，B，C，D四种不同口味的牛奶供学生饮用．某校为了了解学生对不同口味的牛奶的喜好，对全校订牛奶的学生进行了随机调查，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．

根据统计图的信息解决下列问题：

（1）本次调查的学生有多少人？

（2）补全上面的条形统计图；

（3）扇形统计图中C对应的中心角度数是　   　；

（4）若该校有600名学生订了该品牌的牛奶，每名学生每天只订一盒牛奶，要使学生能喝到自己喜欢的牛奶，则该牛奶供应商送往该校的牛奶中，A，B口味的牛奶共约多少盒？

20．（8分）地铁10号线某站点出口横截面平面图如图所示，电梯AB的两端分别距顶部9.9米和2.4米，在距电梯起点A端6米的P处，用1.5米的测角仪测得电梯终端B处的仰角为14°，求电梯AB的坡度与长度．

参考数据：sin14°≈0.24，tan14°≈0.25，cos14°≈0.97．

21．（10分）某景区在同一线路上顺次有三个景点A，B，C，甲、乙两名游客从景点A出发，甲步行到景点C；乙花20分钟时间排队后乘观光车先到景点B，在B处停留一段时间后，再步行到景点C．甲、乙两人离景点A的路程s（米）关于时间t（分钟）的函数图象如图所示．

（1）甲的速度是　   　米/分钟；

（2）当20≤t≤30时，求乙离景点A的路程s与t的函数表达式；

（3）乙出发后多长时间与甲在途中相遇？

（4）若当甲到达景点C时，乙与景点C的路程为360米，则乙从景点B步行到景点C的速度是多少？

22．（10分）某五金商店准备从机械厂购进甲、乙两种零件进行销售．若每个甲种零件的进价比每个乙种零件的进价少2元，且用900元正好可以购进50个甲种零件和50个乙种零件．

（1）求每个甲种零件、每个乙种零件的进价分别为多少元？

（2）若该五金商店本次购进甲种零件的数量比购进乙种零件的数量的3倍还少5个，购进两种零件的总数量不超过95个，该五金商店每个甲种零件的销售价格为12元，每个乙种零件的销售价格为15元，则将本次购进的甲、乙两种零件全部售出后，可使销售两种零件的总利润（利润＝售价﹣进价）超过371元，通过计算求出该五金商店本次从机械厂购进甲、乙两种零件有哪几种方案？

23.（10分）如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交弧AC于点D，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E．

（1）求证：AC∥DE；

（2）连接AD、CD、OC．填空

①当∠OAC的度数为　   　时，四边形AOCD为菱形；

②当OA＝AE＝2时，四边形ACDE的面积为　   　．

24．（14分）已知：直线与y轴交于A，与x轴交于D，抛物线y＝x2+bx+c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为 （1，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是直线AE上一动点，当△PBC周长最小时，求点P坐标；

（3）动点Q在x轴上移动，当△QAE是直角三角形时，求点Q的坐标；

（4）在y轴上是否存在一点M，使得点M到C点的距离与到直线AD的距离恰好相等？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

浙江省中考数学押题卷

一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不绐分）

1．在﹣3，﹣1，0，1四个数中，比﹣2小的数是（　　）

A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．1

【分析】利用两个负数，绝对值大的其值反而小，进而得出答案．

【解答】解：∵|﹣3|＝3，|﹣2|＝2，

∴比﹣2小的数是：﹣3．

故选：A．

【点评】此题主要考查了有理数比较大小，正确把握两负数比较大小的方法是解题关键．

2.如图是由长方体和圆柱组成的几何体，它的俯视图是（　　）

A． B．

C． D．

【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．

【解答】解：从上边看外面是正方形，里面是没有圆心的圆，

故选：A．

【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．

3.下列说法正确的是（　　）

A．“打开电视机，正在播放《新闻联播》”是必然事件

B．天气预报“明天降水概率50%”，是指明天有一半的时间会下雨

C．数据6，6，7，7，8的中位数与众数均为7

D．甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是S甲2＝0.3，S乙2＝0.4，则甲的成绩更稳定

【分析】根据必然事件的概念、可能性的意义、众数和中位数及方差的定义逐一判断即可得．

【解答】解：A．“打开电视机，正在播放《新闻联播》”是随机事件，此选项错误；

B．天气预报“明天降水概率50%”，是指明天有一半的可能性会下雨，此选项错误；

C．数据6，6，7，7，8的中位数是7，众数是6和7，此选项错误；

D．甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是S甲2＝0.3，S乙2＝0.4，由甲的方差小值甲的成绩更稳定，此选项正确；

故选：D．

【点评】本题主要考查概率的意义，解题的关键是掌握必然事件的概念、可能性的意义、众数和中位数及方差的定义与意义．

4.下列计算中正确的是（　　）

A．（a+b）2＝a2+b2 B．a2•a3＝a5

C．a8÷a2＝a2 D．a2+a3＝a5

【分析】分别利用完全平方公式以及同底数幂的乘除法运算法则化简求出即可．

【解答】解：A、（a+b）2＝a2+b2+2ab，故此选项错误；

B、a2•a3＝a5，正确；

C、a8÷a2＝a6，故此选项错误；

D、a2+a3无法计算，故此选项错误；

故选：B．

【点评】此题主要考查了完全平方公式以及同底数幂的乘除法运算法则等知识，正确掌握运算法则是解题关键．

5.如图，△ABC和△DBC均为等腰三角形，∠A＝60°，∠D＝90°，AB＝12，若点E、F、G、H分别为边AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的面积为（　　）

A．36（+1） B．18（+1） C．12（+1） D．9（+1）

【分析】由已知条件得到△ABC是等边三角形，△DBC等腰直角三角形，求得BD＝6，连接AD交BC于O，推出四边形EFGH是平行四边形，得到四边形EFGH是矩形，根据三角形的中位线的性质得到EH＝AD＝3+3，HG＝BC＝6，于是得到结论．

【解答】解：∵△ABC和△DBC均为等腰三角形，∠A＝60°，∠D＝90°，

∴△ABC是等边三角形，△DBC等腰直角三角形，

∵AB＝12，

∴BC＝12，

∴BD＝6，

连接AD交BC于O，

∵AB＝AC，BD＝CD，

∴AD⊥BC，BO＝CO，

∴AD＝AO+OD＝6+6，

∵点E、F、G、H分别为边AB、AC、CD、BD的中点，

∴EH∥AD，EH＝AD，FG∥AD，FG＝AD，

∴EH∥FG，EH＝FG，

∴四边形EFGH是平行四边形，

∵AD⊥BC，

∴EH⊥BD，HG⊥AD，

∴EH⊥HG，

∴∠EHG＝90°，

∴四边形EFGH是矩形，

∵EH＝AD＝3+3，HG＝BC＝6，

∴四边形EFGH的面积＝18（+1），

故选：B．

【点评】本题考查的是三角形的中位线的性质，等腰三角形的性质，中点四边形．解题时，利用了矩形的判定以及矩形的定理，矩形的判定定理有：

（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；

（2）有三个角是直角的四边形是矩形；

（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．

6.关于x的一元二次方程x2+2x+3m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　）

A．m＜ B．m≤ C．m＞﹣ D．m≤

【分析】若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式△＝b2﹣4ac＞0，建立关于m不等式，求出m的取值范围．

【解答】解：∵a＝1，b＝2，c＝3m，

∴△＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×3m＝4﹣12m＞0，

解得m＜．

故选：A．

【点评】考查了根的判别式．总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；

（3）△＜0⇔方程没有实数根．

7.我国古代数学著作《增删算法统宗》记载”绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．“其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是（　　）

A． B．

C． D．

【分析】设索长为x尺，竿子长为y尺，根据“索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托”，即可得出关于x、y的二元一次方程组．

【解答】解：设索长为x尺，竿子长为y尺，

根据题意得：．

故选：A．

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

8.下列命题为假命题的是（　　）

A．若a＝b，则a﹣2019＝b﹣2019

B．若a＝b，则

C．若a＞b，则 a2＞ab

D．若a＜b，则a﹣2c＜b﹣2c

【分析】根据等式的性质、不等式的性质进行判断即可．

【解答】解：A、若a＝b，则a﹣2019＝b﹣2019，是真命题；

B、若a＝b，则，是真命题；

C、若a＞b，当a＞0时，则 a2＞ab；a＜0时，a2＜ab，是假命题；

D、若a＜b，则a﹣2c＜b﹣2c，是真命题；

故选：C．

【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解等式的性质、不等式的性质，属于基础定义，难度不大．

9.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：

①ab＜0；②b2＞4ac；③a+b+c＜0；④3a+c＜0．其中正确的是（　　）

A．①④ B．②④ C．①②③ D．①②③④

【分析】由抛物线开口方向得到a＞0，然后利用抛物线的对称轴得到b的符号，则可对①进行判断；利用判别式的意义和抛物线与x轴有2个交点可对②进行判断；利用x＝1时，y＜0可对③进行判断；利用抛物线的对称轴方程得到b＝﹣2a，加上x＝﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0，则可对④进行判断．

【解答】解：∵抛物线开口向上，

∴a＞0，

∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，

∴b＝﹣2a＜0，

∴ab＜0，所以①正确；

∵抛物线与x轴有2个交点，

∴△＝b2﹣4ac＞0，所以②正确；

∵x＝1时，y＜0，

∴a+b+c＜0，所以③正确；

∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，

∴b＝﹣2a，

而x＝﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0，

∴a+2a+c＞0，所以④错误．

故选：C．

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．

10.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，点D在BC上，以AC为对角线的所有▱ADCE中，DE的最小值是（　　）

A．4 B．6 C．8 D．10

【分析】平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当OD⊥BC时，OD最小，即DE最小，根据三角形中位线定理即可求解．

【解答】解：平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当OD⊥BC时，OD最小，即DE最小．

∵OD⊥BC，BC⊥AB，

∴OD∥AB，

又∵OC＝OA，

∴OD是△ABC的中位线，

∴OD＝AB＝3，

∴DE＝2OD＝6．

故选：B．

【点评】此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，正确理解DE最小的条件是关键．

二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）

11．因式分解：（2a+1）a﹣4a﹣2＝　   　．

【分析】直接提取公因式2a+1，进而分解因式得出答案．

【解答】解：（2a+1）a﹣4a﹣2

＝（2a+1）a﹣2（2a+1）

＝（2a+1）（a﹣2）．

故答案为：（2a+1）（a﹣2）．

【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．

12.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点D；再分别以点B和点D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线CE交AB于点F，则AF的长为　   　．

【分析】连接CD，根据在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4可知AB＝2BC＝8，再由作法可知BC＝CD＝4，CE是线段BD的垂直平分线，据此可得出BD的长，进而可得出结论．

【解答】解：如图，连接CD，

∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，

∴AB＝2BC＝8．

由题可知BC＝CD＝4，CE是线段BD的垂直平分线，

∴∠CDB＝∠CBD＝60°，DF＝BD，

∴AD＝CD＝BC＝4，

∴BD＝AD＝4，

∴BF＝DF＝2，

∴AF＝AD+DF＝4+2＝6．

故答案为：6．

【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知线段垂直平分线的作法和直角三角形的性质是解答此题的关键．解题时注意：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．

13.如图，▱ABCD中，∠B＝70°，BC＝6，以AD为直径的⊙O交CD于点E，则弧DE的长为　   　．

【分析】连接OE，求出∠DOE＝40°，根据弧长公式计算，得到答案．

【解答】解：连接OE，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝BC＝6，∠D＝∠B＝70°，

∵OD＝OE，

∴∠OED＝∠D＝70°，

∴∠DOE＝40°，

∴弧DE的长＝＝π，

故答案为：π．

【点评】本题考查的是弧长计算、平行四边形的性质，掌握弧长公式是解题的关键．

14.如图，曲线l是由函数y＝在第一象限内的图象绕坐标原点O逆时针旋转90°得到的，且过点A （m，6），B （﹣6，n），则△OAB的面积为　   　．

【分析】作AM⊥y轴于M，BN⊥x轴于N，直线AM与BN交于点P，根据旋转的性质得出点A （m，6），B （﹣6，n）在函数y＝﹣的图象上，根据待定系数法求得m、n的值，继而得出P（6，6），然后根据S△AOB＝S矩形OMPN﹣S△OAM﹣S△OBN﹣S△PAB即可求得结果．

【解答】解：作AM⊥y轴于M，BN⊥x轴于N，直线AM与BN交于点P，

∵曲线l是由函数y＝在第一象限内的图象绕坐标原点O逆时针旋转90°得到的，且过点A （m，6），B （﹣6，n），

∴点A （m，6），B （﹣6，n）在函数y＝﹣的图象上，

∴6m＝﹣12，﹣6n＝﹣12，

解得m＝﹣2，n＝2，

∴A（﹣2，6），B（﹣6，2），

∴P（﹣6，6），

∴S△AOB＝S矩形OMPN﹣S△OAM﹣S△OBN﹣S△PAB＝6×6﹣×2×6﹣×6×2﹣×4×4＝16，

故答案为16．

【点评】本题考查反比例函数的图象、旋转的性质、待定系数法求反比例函数的解析式，解题的关键是矩形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．

15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，E为斜边AB的中点，点P是射线BC上的一个动点，连接AP、PE，将△AEP沿着边PE折叠，折叠后得到△EPA′，当折叠后△EPA′与△BEP的重叠部分的面积恰好为△ABP面积的四分之一，则此时BP的长为　   　．

【分析】根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出AB，即可得到AE的值，然后根据勾股定理求出BC．①若PA′与AB交于点F，连接A′B，如图1，易得S△EFP＝S△BEP＝S△A′EP，即可得到EF＝BE＝BF，PF＝A′P＝A′F．从而可得四边形A′EPB是平行四边形，即可得到BP＝A′E，从而可求出BP；②若EA′与BC交于点G，连接AA′，交EP与H，如图2，同理可得GP＝BG，EG＝EA′＝1，根据三角形中位线定理可得AP＝2＝AC，此时点P与点C重合（BP＝BC），从而可求出BP．

【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，E为斜边AB的中点，

∴AB＝4，AE＝AB＝2，BC＝2．

①若PA′与AB交于点F，连接A′B，如图1．

由折叠可得S△A′EP＝S△AEP，A′E＝AE＝2，．

∵点E是AB的中点，

∴S△BEP＝S△AEP＝S△ABP．

由题可得S△EFP＝S△ABP，

∴S△EFP＝S△BEP＝S△AEP＝S△A′EP，

∴EF＝BE＝BF，PF＝A′P＝A′F．

∴四边形A′EPB是平行四边形，

∴BP＝A′E＝2；

②若EA′与BC交于点G，连接AA′，交EP与H，如图2．

．

同理可得GP＝BP＝BG，EG＝EA′＝×2＝1．

∵BE＝AE，∴EG＝AP＝1，

∴AP＝2＝AC，

∴点P与点C重合，

∴BP＝BC＝2．

故答案为2或2．

【点评】本题主要考查了轴对称的性质、30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、平行四边形的判定与性质、等高三角形的面积比等于底的比、三角形中位线定理等知识，运用分类讨论的思想是解决本题的关键．

16.如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝45°，AB＝4，点P为线段AB上一动点，过点P作PE⊥AB交AD于点E，沿PE将∠A折叠，点A的对称点为点F，连接EF、DF、CF，当△CDF为等腰三角形时，AP的长为　   　．

【分析】如图1，当DF＝CD时，有两个解，如图2，当CF＝CD＝4时，有两个解，如图3中，当FD＝FC时有一个解，分别求出即可．

【解答】解：如图1，当DF＝CD时，点F与A重合或在点F′处．

∵在菱形ABCD中，AB＝4，

∴CD＝AD＝4，

作DN⊥AB于N，

在RT△ADN中，∵AD＝4，∠DAN＝45°DN＝AN＝NF′＝2，

∴AP＝2，

如图2，当CF＝CD＝4时，点F与B重合或在F′处，

点F与B重合，PE是AB的垂直平分线，

∴AP＝AB＝2，

如图3中，当FD＝FC时，

AF＝2+2，

∴AP＝AF＝+1．

综上所述：当△CDF为等腰三角形时，AP的长为2或+1或2．

故答案为：2或+1或2．

【点评】本题考查了菱形的性质，等腰直角三角形的性质，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．

三、解答题（本题有8小题，共80分）

17.（10分）（1）计算：|﹣|+2﹣1﹣3tan45°

【分析】本题涉及绝对值、负整数指数幂、特殊角的三角函数值3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．

【解答】解：原式＝+﹣3×1

＝+﹣3

＝﹣1．

【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值等考点的运算．

（3）先化简，再求值：2（a+）（a﹣）﹣a（a﹣6）+6，其中a＝﹣1．

【分析】直接利用多项式乘法将原式变形，进而把已知代入求出答案．

【解答】解：原式＝2（a2﹣3）﹣a2+6a+6

＝2a2﹣6﹣a2+6a+6

＝a2+6a

把a＝﹣1代入，得，

原式＝a2+6a＝（﹣1）2+6（﹣1）

＝4﹣3．

【点评】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确化简原式是解题关键．

18.（8分）如图，正方形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE，过B点作BH⊥AE，垂足为点H，延长BH交CD于点F，连接AF．

（1）求证：AE＝BF．

（2）若正方形边长是5，BE＝2，求AF的长．

【分析】（1）根据ASA证明△ABE≌△BCF，可得结论；

（2）根据（1）得：△ABE≌△BCF，则CF＝BE＝2，最后利用勾股定理可得AF的长．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°，

∴∠BAE+∠AEB＝90°，

∵BH⊥AE，

∴∠BHE＝90°，

∴∠AEB+∠EBH＝90°，

∴∠BAE＝∠EBH，

在△ABE和△BCF中，

，

∴△ABE≌△BCF（ASA），

∴AE＝BF；

（2）解：∵AB＝BC＝5，

由（1）得：△ABE≌△BCF，

∴CF＝BE＝2，

∴DF＝5﹣2＝3，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝AD＝5，∠ADF＝90°，

由勾股定理得：AF＝＝＝＝．

【点评】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，本题证明△ABE≌△BCF是解本题的关键．

19．（8分）某品牌牛奶供应商提供A，B，C，D四种不同口味的牛奶供学生饮用．某校为了了解学生对不同口味的牛奶的喜好，对全校订牛奶的学生进行了随机调查，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．

根据统计图的信息解决下列问题：

（1）本次调查的学生有多少人？

（2）补全上面的条形统计图；

（3）扇形统计图中C对应的中心角度数是　   　；

（4）若该校有600名学生订了该品牌的牛奶，每名学生每天只订一盒牛奶，要使学生能喝到自己喜欢的牛奶，则该牛奶供应商送往该校的牛奶中，A，B口味的牛奶共约多少盒？

【分析】（1）利用A类别人数及其百分比可得总人数；

（2）总人数减去A、B、D类别人数，求得C的人数即可补全图形；

（3）360°×C类别人数所占比例可得；

（4）总人数乘以样本中A、B人数占总人数的比例即可．

【解答】解：（1）本次调查的学生有30÷20%＝150人；

（2）C类别人数为150﹣（30+45+15）＝60人，

补全条形图如下：

（3）扇形统计图中C对应的中心角度数是360°×＝144°

故答案为：144°

（4）600×（）＝300（人），

答：该牛奶供应商送往该校的牛奶中，A，B口味的牛奶共约300盒．

【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图等知识．结合生活实际，绘制条形统计图，扇形统计图或从统计图中获取有用的信息，是近年中考的热点．只要能认真准确读图，并作简单的计算，一般难度不大．

20．（8分）地铁10号线某站点出口横截面平面图如图所示，电梯AB的两端分别距顶部9.9米和2.4米，在距电梯起点A端6米的P处，用1.5米的测角仪测得电梯终端B处的仰角为14°，求电梯AB的坡度与长度．

参考数据：sin14°≈0.24，tan14°≈0.25，cos14°≈0.97．

【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数即可求得电梯AB的坡度，然后根据勾股定理即可求得AB的长度．

【解答】解：作BC⊥PA交PA的延长线于点C，作QD∥PC交BC于点D，

由题意可得，BC＝9.9﹣2.4＝7.5米，QP＝DC＝1.5米，∠BQD＝14°，

则BD＝BC﹣DC＝7.5﹣1.5＝6米，

∵tan∠BQD＝，

∴tan14°＝，

即0.25＝，

解得，ED＝18，

∴AC＝ED＝18，

∵BC＝7.5，

∴tan∠BAC＝＝，

即电梯AB的坡度是5：12，

∵BC＝7.5，AC＝18，∠BCA＝90°，

∴AB＝＝19.5，

即电梯AB的坡度是5：12，长度是19.5米．

【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．

21．（10分）某景区在同一线路上顺次有三个景点A，B，C，甲、乙两名游客从景点A出发，甲步行到景点C；乙花20分钟时间排队后乘观光车先到景点B，在B处停留一段时间后，再步行到景点C．甲、乙两人离景点A的路程s（米）关于时间t（分钟）的函数图象如图所示．

（1）甲的速度是　   　米/分钟；

（2）当20≤t≤30时，求乙离景点A的路程s与t的函数表达式；

（3）乙出发后多长时间与甲在途中相遇？

（4）若当甲到达景点C时，乙与景点C的路程为360米，则乙从景点B步行到景点C的速度是多少？

【分析】（1）由图象可得甲行走的路程和时间，即可求甲的速度；

（2）由待定系数法可求乙离景点A的路程s与t的函数表达式；

（3）两人相遇实际上是函数图象求交点；

（4）由乙从B景点开始行走的路程+360＝景点B和景点C之间的距离，可列方程解即可．

【解答】解：（1）甲的速度＝＝60米/分钟，

故答案为：60

（2）当20≤t≤30时，设s＝mt+n，

由题意得

解得

∴s＝300t﹣6000

（3）当20≤t≤30时，60t＝300t﹣6000，

解得t＝25，

∴乙出发后时间＝25﹣20＝5，

当30≤t≤60时，60t＝3000，

解得t＝50，

∴乙出发后时间＝50﹣20＝30，

综上所述：乙出发5分钟和30分钟时与甲在途中相遇；

（4）设乙从B步行到C的速度是x米/分钟，

由题意得5400﹣3000﹣（90﹣60）x＝360，

解得x＝68，

所以乙从景点B步行到景点C的速度是68米/分钟．

【点评】本题是一次函数实际应用问题，考查了对一次函数图象代表意义的分析和从方程角度解决一次函数问题．

22．（10分）某五金商店准备从机械厂购进甲、乙两种零件进行销售．若每个甲种零件的进价比每个乙种零件的进价少2元，且用900元正好可以购进50个甲种零件和50个乙种零件．

（1）求每个甲种零件、每个乙种零件的进价分别为多少元？

（2）若该五金商店本次购进甲种零件的数量比购进乙种零件的数量的3倍还少5个，购进两种零件的总数量不超过95个，该五金商店每个甲种零件的销售价格为12元，每个乙种零件的销售价格为15元，则将本次购进的甲、乙两种零件全部售出后，可使销售两种零件的总利润（利润＝售价﹣进价）超过371元，通过计算求出该五金商店本次从机械厂购进甲、乙两种零件有哪几种方案？

【分析】（1）设每个甲种零件的进价为x元，每个乙种零件的进价为y元，根据“每个甲种零件的进价比每个乙种零件的进价少2元，且用900元正好可以购进50个甲种零件和50个乙种零件”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）设购进乙种零件m个，则购进甲种零件（3m﹣5）个，根据购进两种零件的总数量不超过95个且销售两种零件的总利润超过371元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数即可得出各进货方案．

【解答】解：（1）设每个甲种零件的进价为x元，每个乙种零件的进价为y元，

依题意，得：，

解得：．

答：每个甲种零件的进价为8元，每个乙种零件的进价为10元．

（2）设购进乙种零件m个，则购进甲种零件（3m﹣5）个，

依题意，得：，

解得：23＜m≤25．

∵m为整数，

∴m＝24或25，3m﹣5＝67或70，

∴该五金商店有两种进货方案：①购进甲种零件67个，乙种零件24个；②购进甲种零件70个，乙种零件25个．

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．

23.（10分）如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交弧AC于点D，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E．

（1）求证：AC∥DE；

（2）连接AD、CD、OC．填空

①当∠OAC的度数为　   　时，四边形AOCD为菱形；

②当OA＝AE＝2时，四边形ACDE的面积为　   　．

【分析】（1）由垂径定理，切线的性质可得FO⊥AC，OD⊥DE，可得AC∥DE；

（2）①连接CD，AD，OC，由题意可证△ADO是等边三角形，由等边三角形的性质可得DF＝OF，AF＝FC，且AC⊥OD，可证四边形AOCD为菱形；

②由题意可证△AFO∽△ODE，可得，即OD＝2OF，DE＝2AF＝AC，可证四边形ACDE是平行四边形，由勾股定理可求DE的长，即可求四边形ACDE的面积．

【解答】证明：（1）∵F为弦AC的中点，

∴AF＝CF，且OF过圆心O

∴FO⊥AC，

∵DE是⊙O切线

∴OD⊥DE

∴DE∥AC

（2）①当∠OAC＝30°时，四边形AOCD是菱形，

理由如下：如图，连接CD，AD，OC，

∵∠OAC＝30°，OF⊥AC

∴∠AOF＝60°

∵AO＝DO，∠AOF＝60°

∴△ADO是等边三角形

又∵AF⊥DO

∴DF＝FO，且AF＝CF，

∴四边形AOCD是平行四边形

又∵AO＝CO

∴四边形AOCD是菱形

②如图，连接CD，

∵AC∥DE

∴△AFO∽△ODE

∴

∴OD＝2OF，DE＝2AF

∵AC＝2AF

∴DE＝AC，且DE∥AC

∴四边形ACDE是平行四边形

∵OA＝AE＝OD＝2

∴OF＝DF＝1，OE＝4

∵在Rt△ODE中，DE＝＝2

∴S四边形ACDE＝DE×DF＝2×1＝2

故答案为：2

【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，菱形的判定，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．

24．（14分）已知：直线与y轴交于A，与x轴交于D，抛物线y＝x2+bx+c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为 （1，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是直线AE上一动点，当△PBC周长最小时，求点P坐标；

（3）动点Q在x轴上移动，当△QAE是直角三角形时，求点Q的坐标；

（4）在y轴上是否存在一点M，使得点M到C点的距离与到直线AD的距离恰好相等？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）利用直线与y轴交于A，求得点A的坐标，再利用B点的坐标利用待定系数法求得抛物线的解析式即可；

（2）求出点C关于直线AE的对称点F的坐标，然后求出直线BF的解析式后求与直线AE的交点坐标即可；

（3）设出P点的坐标，然后表示出AP、EP的长，求出AE的长，利用勾股定理得到有关P点的横坐标的方程，求得其横坐标即可；

（4）设出M点的坐标，利用C点的距离与到直线AD的距离恰好相等，得到有关M点的纵坐标的方程解得M点的纵坐标即可．

【解答】解：（1）∵直线与y轴交于A，

∴A点的坐标为（0，2），

∵B点坐标为 （1，0）．

∴

∴；

（2）作出C关于直线AE的对称点F，由B和F确定出直线BF，与直线AE交于P点，

利用△DFC面积得出F点纵坐标为：，

∴利用勾股定理得出，

∴F（，），

∴直线BF的解析式为：y＝﹣32x+32，

，

可得：P（）；

（3）根据题意得： x+2＝x2﹣x+2，

解得：x＝0或x＝6，

∴A（0，2），E（6，5），

∴AE＝3，

设Q（x，0），

①若Q为直角顶点，

则AQ2+EQ2＝AE2，

即x2+4+（x﹣6）2+25＝45，

此时x无解；

②若点A为直角顶点，

则AQ2+AE2＝EQ2，

即x2+4+45＝（x﹣6）2+25，

解得：x＝1，

即Q（1，0）；

③若E为直角顶点，

则AQ2＝AE2+EQ2，

即x2+4＝45+（x﹣6）2+25，

解得：x＝＝，

此时求得Q（，0）；

∴Q（1，0）或（，0）

（4）假设存在，设M坐标为（0，m），则OM＝|m|，

此时MD⊥AD，

∵OC＝4，AO＝2，OD＝4，

∴在直角三角形AOD中，根据勾股定理得：AD＝2，且AM＝2﹣m，CM＝，

∵MD＝MC，

∴根据勾股定理得：＝，

即（2﹣m）2﹣（2）2＝m2+16，

解得m＝﹣8，

则M（0，﹣8）．

【点评】本题考查了函数综合知识，函数综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型．近几年的中考压轴题多以函数综合题的形式出现．解决函数综合题的过程就是转化思想、数形结合思想、分类讨论思想、方程思想的应用过程．