内蒙古通辽市2021年中考数学真题试卷(Word版+答案+解析)

一、单选题（共10题；共20分）

1. 的倒数是（   ）            

A.                                B.                                C. 2                               D. 

2.下列计算正确的是（    ）            

A.         B.         C.         D. 

3.为迎接中国党建党一百周年，某班50名同学进行了党史知识竞赛，测试成绩统计如下表，其中有两个数据被遮盖．  

A. 平均数，方差         B. 中位数，方差         C. 中位数，众数         D. 平均数，众数

4.关于x的一元二次方程  的根的情况，下列说法正确的是（    ）            

A. 有两个不相等的实数根     B. 有两个相等的实数根     C. 无实数根     D. 无法确定

5.如图，是由若干个相同的小正方形搭成的一个几何体的主视图和左视图，则组成这个几何体的小正方形的个数不可能是（  ）  

A. 3                                  B. 4                                  C. 5                                  D. 6

6.随着互联网技术的发展，我国快递业务量逐年增加，据统计从2018年到2020年，我国快递业务量由507亿件增加到833.6亿件，设我国从2018年到2020年快递业务量的年平均增长率为x  ， 则可列方程为（    ）            

A.                          B. 

C.                          D. 

7.如图，在  中，  ，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（    ）  

A.         B.         C.         D. 

8.定义：一次函数  的特征数为  ，若一次函数  的图象向上平移3个单位长度后与反比例函数  的图象交于A  ， B两点，且点A  ， B关于原点对称，则一次函数  的特征数是（    ）            

A.                      B.                      C.                      D. 

9.如图，已知  ，  ，  ，点E为射线  上一个动点，连接  ，将  沿  折叠，点B落在点  处，过点  作  的垂线，分别交  ，  于M  ， N两点，当  为线段  的三等分点时，  的长为（    ）  

A.                     B.                     C.  或                     D.  或 

10.如图，在矩形  中，  ，  ，动点P  ， Q同时从点A出发，点P沿A→B→C的路径运动，点Q沿A→D→C的路径运动，点P  ， Q的运动速度相同，当点P到达点C时，点Q也随之停止运动，连接  ．设点P的运动路程为x  ，   为y  ， 则y关于x的函数图象大致是（    ）  

A.                            B. 

C.                            D. 

二、填空题（共7题；共7分）

11.冠状病毒是一类病毒的总称，其最大直径约为0.00000012米，数据0.00000012科学记数法表示为________．    

12.如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常随机闭合开关  ，  ，  中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是________．  

13.一副三角板如图所示摆放，且  ，则  的度数为________．  

14.我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托.折回索子却量竿，却比竿子短一托.”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺.设绳索长x尺，竿长y尺，则正确的方程组是________    

15.若关于x的不等式组  ，有且只有2个整数解，则a的取值范围是________．    

16.如图，  是⊙O的弦，  ，点C是⊙O上的一个动点，且  ，若点M  ， N分别是  ，  的中点，则图中阴影部分面积的最大值是________．  

17.如图，  ，  ，  …，  都是斜边在x轴上的等腰直角三角形，点  ，  ，  ，…，  都在x轴上，点  ，  ，  ，…，  都在反比例函数  的图象上，则点  的坐标为________．（用含有正整数n的式子表示）  

三、解答题（共9题；共79分）

18.计算；     

19.先化简，再求值：  

 ，其中x满足  ．

20.如图，甲、乙两个转盘均被分成3个面积相等的扇形，每个扇形中都标有相应的数字，同时转动两个转盘（当指针指在边界线上时视为无效，需重新转动转盘），当转盘停止后，把甲、乙两个转盘中指针所指数字分别记为x  ， y ． 请用树状图或列表法求点  落在平面直角坐标系第一象限内的概率．  

21.如图，一段河流自西向东，河岸笔直，且两岸平行，为测量其宽度，小明在南岸边B处测得对岸边A处一棵大树位于北偏东60°方向，他以  的速度沿着河岸向东步行  后到达C处，此时测得大树位于北偏东45°方向，试计算此段河面的宽度（结果取整数，参考数据：  ）  

22.暑期将至，某校组织学生进行“防漏水”安全知识竞赛，老师从中随机抽取了部分学生的成绩（得分取整数，满分为100分），整理后绘制成如图所示的不完整的扇形统计图和频数分布直方图．  

测试成绩扇形统计图．

测试成绩频数分布直方图

其中A组的频数a比B组的频数b小15．请根据以上信息，解答下列问题：

（1）本次共抽取________名学生，a的值为________；    

（2）在扇形统计图中，n=________，E组所占比例为________%；    

（3）补全频数分布直方图；    

（4）若全校共有1500名学生，请根据抽样调查的结果，估计成绩在80分以上的学生人数．    

23.为做好新冠疫情的防控工作，某单位需购买甲、乙两种消毒液经了解每桶甲种消毒液的零售价比乙种消毒液的零售价多6元，该单位以零售价分别用900元和720元采购了相同桶数的甲、乙两种消毒液．    

（1）求甲、乙两种消毒液的零售价分别是每桶多少元？    

（2）由于疫情防控进入常态化，该单位需再次购买两种消毒液共300桶，且甲种消毒液的桶数不少于乙种消毒液桶数的  ，由于购买量大，甲、乙两种消毒液分别获得了20元/桶，15元/桶的批发价．求甲种消毒液购买多少桶时，所需资金总额最少？最少总金额是多少元？    

24.如图，  是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线  ，点P是射线  上的动点，连接  ，过点B作  ，交⊙O于点D  ， 连接  ．  

（1）求证：  是⊙O的切线    

（2）当四边形  是平行四边形时，求  的度数．    

25.已知  和  都是等腰直角三角形  ，  ．  

（1）如图1，连接  ，  ，求证：  ；    

（2）将  绕点O顺时针旋转．  

①如图2，当点M恰好在  边上时，求证：  ；

②当点A  ， M  ， N在同一条直线上时，若  ，  ，请直接写出线段  的长．

26.如图，抛物线  交x轴于  ，  两点，交y轴于点C  ， 动点P在抛物线的对称轴上．  

（1）求抛物线的解析式；    

（2）当以P  ， B  ， C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及  的周长；    

（3）若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q  ， 使得以A  ， C  ， P  ， Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．    

答案解析部分

一、单选题

1.【答案】 A   

【考点】绝对值及有理数的绝对值，有理数的倒数    

【解析】【解答】解：∵  =2，2的倒数是. 

∴  的倒数是  .

故答案为：A.

 【分析】先根据绝对值的定义求出  ， 再根据两个倒数的乘积等于1，即可得出答案.

2.【答案】 C   

【考点】同底数幂的乘法，合并同类项法则及应用，积的乘方    

【解析】【解答】解：A.  ，不符合题意， 

B.  ，不符合题意，

C.  ，符合题意，

D.  ，不符合题意，

故答案为：C．

【分析】分别根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，积的乘方与幂的乘方运算法则逐一判断即可。

3.【答案】 C   

【考点】分析数据的集中趋势    

【解析】【解答】解：根据题意，共有50名学生，被遮盖的数据为50-1-2-3-5-6-8-10-12=3， 

可以求得众数为100，中位数为第25,26个数的平均数，为98；

所以统计过程中与被遮盖的数据无关是中位数和众数．

故答案为：C

【分析】根据众数、中位数的定义求解即可。

4.【答案】 A   

【考点】一元二次方程根的判别式及应用    

【解析】【解答】解：△=[-（k-3）]2-4（-k+1） 

=k2-6k+9+4k-4

=（k-1）2+4，

∵（k-1）2≥0，

∴（k-1）2+4≥4，

∴方程有两个不相等的实数根，

故答案为：A．

【分析】先计算判别式，再配方得到判别式，再根据非负数的性质得到  ， 再根据判别式的意义即可得到方程总有两个不相等的实数根。

5.【答案】 D   

【考点】由三视图判断几何体    

【解析】【解答】解：由主视图和左视图得到俯视图中小正方形的个数可能为： 

∴这个几何体的小正方形的个数可能是3个、4个或5个，

故答案为：D.

【分析】左视图底面有2个小正方体，主视图与左视图相同，则可判断出该几何体底面最少有2个小正方体，最多4个，根据这个思路可判断出该几何体有多少个小立方块。

6.【答案】 C   

【考点】一元二次方程的实际应用-百分率问题    

【解析】【解答】解：设从2018年到2020年快递业务量的年平均增长率为x  ，  

2018年我国快递业务量为：507亿件，

2019年我国快递业务量为：  =  亿件，

2020年我国快递业务量为：  +  ，

根据题意，得： 

故答案为：C．

【分析】根据题意可得等量关系，根据等量关系列出方程即可。

7.【答案】 B   

【考点】三角形全等的判定（AAS）    

【解析】【解答】解：由题意可得：AD平分∠BAC,DE⊥AB, 

在△ACD和△AED中

∠AED=∠C  ， ∠EAD=∠CAD,AD=AD

∴△ACD≌△AED（AAS）

∴DE=DC,AE=AC,即C、D符合题意；

在Rt△BED中，∠BDE=90°-∠B

在Rt△BED中，∠BAC=90°-∠B

∴∠BDE=∠BAC  ， 即选项A符合题意；

选项B  ， 只有AE=EB时，符合题意．

故答案为：B ． 

【分析】由尺规作图的痕迹可得，DE⊥AB,AD平分∠BAC,根据同角的余角相等可判断A；

 根据角平分线的性质可判断C，证得△ACD≌△AED，由于DE不是AB的垂直平分线，不能证明∠BAD=∠B.

8.【答案】 D   

【考点】定义新运算    

【解析】【解答】解：由题意得一次函数  的图象向上平移3个单位长度后解析式为  ， 

∵直线  与反比例函数  的图象交于A  ， B两点，且点A  ， B关于原点对称，

∴点A  ， B  ， O在同一直线上，

∴直线  经过原点，

∴m+3=0，

∴m=-3，

∴一次函数  的解析式为  ，

∴一次函数  的特征数是  ．

故答案为：D

【分析】将一次函数  的图象向上平移3个单位长度后解析式为  ，联立一次函数与反比例函数解析式，得到关于x的一元二次方程，设A、B的坐标，得到一元二次方程的两根，根据根与系数的关系，得到一次函数的特征的答案。

9.【答案】 D   

【考点】翻折变换（折叠问题），相似三角形的判定与性质    

【解析】【解答】解：当点  为线段  的三等分点时，需要分两种情况讨论： 

①如图1，当  时，

∵  ∥  ，  ，  ，

∴四边形  为矩形，

∴  ，  ，  ．

由折叠的性质可得  ，  ．

在  中，  ．

∵  ，  ，

∴  ，

∴  ∽  ，

∴  ，即  ，解得  ，

∴  ．

②如图2，当  时，

∵  ∥  ，  ，  ，

∴四边形  为矩形，

∴  ，  ，  ．

由折叠的性质可得  ，  ．

在  中，  ．

∵  ，  ，

∴  ，

∴  ∽  ，

∴  ，即  ，解得  ，

∴  ．

综上所述，  的长为  或  ．

故答案为：D．

【分析】根据勾股定理可得  ， 根据相似三角形的性质，可得EN的长，根据勾股定理可得答案。

10.【答案】 C   

【考点】动点问题的函数图象    

【解析】【解答】解：如图1，当0≤x≤3时，  ， 

∴A选项不符合题意，不合题意；

如图2，当3＜x≤4时，作QE⊥AB于E  ，   ，

∴B选项不符合题意，不合题意；

如图3，当4＜x≤7时，  ，

∴选项D不符合题意，不合题意．

故答案为：C

【分析】当0≤x≤3时，当3＜x≤4时，当4＜x≤7时，分三种情况讨论即可得出。

二、填空题

11.【答案】 1.2×10-7   

【考点】科学记数法—表示绝对值较小的数    

【解析】【解答】解：0.00000012=1.2×10-7 ．  

故填1.2×10-7 ． 

【分析】利用科学记数法表示出来即可。

12.【答案】    

【考点】列表法与树状图法    

【解析】【解答】解：画树状图得 

，

由树状图得共有6种等可能性，其中能让两个小灯泡同时发光应同时闭合  ，  ，故有2种等可能性，所以概率为  ．

故答案为： 

【分析】因为随机闭合开关  ，   ，  中的两个，有3种方法，其中有2种能够让灯泡发光，即可得到发光的概率。

13.【答案】    

【考点】平行线的性质，三角形的外角性质    

【解析】【解答】解：如图，  

 ．

故答案为  ．

【分析】由  ， 得出  ， 得出  的度数。

14.【答案】    

【考点】二元一次方程组的实际应用-配套问题    

【解析】【解答】解：根据题意得：  ． 

故答案为：  ．

【分析】根据题意可得等量关系：绳索长=竿长+5尺，竿长=绳索长的一半+5尺，根据等量关系可得方程组。

15.【答案】 -1【考点】解一元一次不等式组    

【解析】【解答】解：解不等式  得：  ， 

解不等式  得：  ，

∴不等式的解集为1≤x＜  ，

∵不等式组只有2个整数解，

∴不等式组的整数解为1、2，

∴2＜  ≤3，

解得：-1＜a≤1，

故答案为：-1＜a≤1

【分析】今儿不等式得出x的解，即可得出x的范围，即可得出它的正数解，即得出a的取值范围。

16.【答案】    

【考点】扇形面积的计算，几何图形的面积计算-割补法    

【解析】【解答】解：连接OA,OB  ， 连接OM  ， 如图 

∵  ,

∴  ，

∵M为AB中点，

∴OM⊥AB  ，   , 

∴  ,

设OM=x  ， 则AO=2x  ， 在Rt△AOM中

  即

  ，

解得x=1，

即  ,

S弓形ADB=S扇形OADB  =  ，

∵M,N为边AB,BC的中点，

∴  ∥AC  ， 

∴  ,

∴  ,

当C,O,M在同一直线上时，△ABC的面积最大，

由垂径定理可知，AC=BC,

又∵∠ACB=60°，

∴△ABC为等边三角形，

∴  ,

在Rt△ACM中，

 ,

∴  的最大值为：  ,

∴  ,

∴阴影面积的最大值为：  ．

故填：  ．

【分析】连接OA,OB  ， 连接OM  ， 由M为AB中点，得出OM⊥AB  ， 设OM=x  ， 则AO=2x  ， 在Rt△AOM中即解得x=1，S弓形ADB=S扇形OADB   ， M,N为边AB,BC的中点，由相似得到  ， 当C,O,M在同一直线上时，△ABC的面积最大，在Rt△ACM中，得出的面积最大，即可得出阴影部分的面积。

17.【答案】    

【考点】探索数与式的规律，探索图形规律    

【解析】【解答】解：  为等腰三角形 

 直线  的解析式为 

由题意得： 

解得 

 为等腰三角形

 设直线  的解析式为 

 ，解得 

 直线  的解析式为 

解得 

 点  

 为等腰三角形

 设直线  的解析式为 

解得 

 直线  的解析式为 

解得 

综上可得：点  ，点  ，点 

总结规律可得  坐标为： 

故答案为： 

【分析】由  为等腰三角形、 为等腰三角形、 为等腰三角形即可得出相对应的值，总结规律可得  坐标。

三、解答题

18.【答案】 解：    

=2+1-2×  +  

=  ．

【考点】实数的运算    

【解析】【分析】分别进行零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值，绝对值的化简等运算，再合并即可。

19.【答案】 解：∵    

∴x=2或x=-1

∴  

=  

=  

=  

=x（x+1）

∵x=-1分式无意义，∴x=2

当x=2时，x（x+1）=2×（2+1）=6．

【考点】利用分式运算化简求值    

【解析】【分析】先化简，得出x的值，由x=-1分式无意义，得出x=2，由此得出化简后式子的值。

20.【答案】 解：由题意可知，x，y的所有取值情况如下所示： 

故P(点  落在平面直角坐标系第一象限内)=  ．

【考点】列表法与树状图法    

【解析】【分析】话树状图，共有9种等可能的结果，点（x,y)落在平面直角坐标系第一象限内的结果有4种，再由概率公式求解即可。

21.【答案】 解：如图，作AD⊥BC于D， 

由题意得∠EBA=∠DAB=60°，∠FCA=∠DAC=45°，

∴AD=CD，

设AD=CD=xm，由题意得BC=1.5×40=60m，

在Rt△ABD中，  m，

∴  ，

解得  

答：此河段的宽度为82m．

【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题    

【解析】【分析】如图，作AD⊥BC于D，由题意得到BC=1.5×40=60m，根据三角形外角的性质得到  ， 求得  ， 得到BC=AC=60米，在Rt中，根据三角函数的定义即可得到结论。

22.【答案】 （1）150；12

（2）144；4

（3）解：C组学生人数为：  （名），  

如图所示：

（4）解：80分以上的学生为D组和E组， 

一共占比为：  ，

∴  （名），

∴估计成绩在80分以上的学生有660名．

【考点】用样本估计总体，频数（率）分布直方图，扇形统计图    

【解析】【解答】解：（1）∵A组的频数a比B组的频数b小15，且由扇形统计图可得：A组占比8%，B组占比18%， 

∴总人数：  （名），

 （名），

∴共抽取150名学生，a的值为12；

（2）D组占比为：  ，

∴  ，

E组占比为：  ，

∴在扇形统计图中，  ，E组所占比例为4%；

【分析】（1）从统计图中可知，A组比B组少12%，A组比B组少24人，可求出调查人数，进而求出a、b的值；

 （2）D部分占整体的  ， 因此相应的圆心角占的即可；求出C部分的人数，即可补全频数分布直方图；

 （3）样本估计总体，样本中优秀占  ， 因此估计总体1200人的即可为优秀的人数。

23.【答案】 （1）解：设甲种消毒液每桶的单价为x元，乙种消毒液每桶的单价为（x-6）元， 

依题意，得：   ，

解得：x=30，

经检验，x=30是原方程的解，且符合实际意义，则x-6=24．

答：甲种消毒液每桶的单价为30元，乙种消毒液每桶的单价为24元；

（2）解：设购买甲种消毒液m桶，则购买乙种消毒液（300-m）桶，根据题意得到不等式： 

m≥  (300-m)，解得：m≥75，

∴75≤m≤300，

设总费用为W，根据题意得：

W=20m+15(300-m)=5m+4500，

∵k=5>0，

∴W随m的减小而减小，

∴当m=75时，W有最小值，

∴W=5×75+4500=4875元

∴甲种消毒液购买75桶时，所需资金总额最少，最少总金额是4875元．

【考点】分式方程的实际应用，一元一次不等式的应用    

【解析】【分析】（1）设甲种消毒液每桶的单价为x元，乙种消毒液每桶的单价为（x-6）元，依题意列方程，解得即可；

 （2）设购买甲种消毒液m桶，则购买乙种消毒液（300-m）桶，根据题意得到不等式，解之即得m的取值范围，即可得到答案。 

24.【答案】 （1）证明：如图，连接OD， 

则  

   是⊙O的切线

又  

在  和  中

    是⊙O的切线．

（2）解：如图，连接OD 

 四边形  是平行四边形

 ,  

 四边形  是平行四边形

又  

 四边形  是菱形

 四边形  是正方形

    ．

【考点】平行四边形的性质，切线的判定    

【解析】【分析】（1）连接OD，证明即可；

 （2）证明四边形  是正方形即可求解。 

25.【答案】 （1）解：∵  和  都是等腰直角三角形，  

∴  ，

又  ，

 ,

∴  ，

∴  ，

∴  ；

（2）解：①连接BN，如下图所示： 

∴  ，

 ，

且  ，

∴  ，

∴  ，  ，

∴  ，

且  为等腰直角三角形，

∴  ，

在  中，由勾股定理可知：

 ，且  

∴  ；

②  或  

【考点】旋转的性质，三角形的综合    

【解析】【解答】解：(2)②分类讨论： 

情况一：如下图2所示，设AO与NB交于点C  ， 过O点作OH⊥AM于H点，

 ,  为等腰直角三角形，

∴  ,

在  中，  ,

∴  ；

情况二：如下图3所示，过O点作OH⊥AM于H点，

 ,  为等腰直角三角形，

∴  ,

在  中，  ,

∴  ；

故  或  ．

【分析】（1）通过代换得到对应角相等，在根据等腰直角三角形的性质得到对应边相等，利用“SAS”证明  ， 即可得到  ；

 （2）①连接BN，根据等腰直角三角形的性质，利用“SAS”得到   ， 得对应角相等，对应边相等，从而可证  ， 再根据勾股定理，结合线段相等进行代换，即可证明结论成立；②分类讨论。分N在线段AM上和M在线段AN上分类讨论，连接BN，设BN=x，根据勾股定理列出方程，求出x的值，即可得到BN的长，BN的长就是AM的长。

26.【答案】 （1）解：将  ，  代入二次函数表达式中，  

∴   ，解得  ，

∴二次函数的表达式为：  ；

（2）解：连接BP、CP、AP，如下图所示：  

由二次函数对称性可知，BP=AP，

∴BP+CP=AP+CP，

BC为定直线，当C、P、A三点共线时，  有最小值为  ，

此时  的周长也最小，

设直线AC的解析式为：  ，代入  ，

∴  ，解得  ，

∴直线AC的解析式为：  ，

二次函数的对称轴为  ，代入  ，得到  ，

∴P点坐标为(1,2)，

此时  的周长最小值=  ；

（3）解：Q点坐标存在，为(2，2)或(4，  )或(4，  )或(  ，  )或(  ，  )   

【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数-动态几何问题，二次函数的其他应用    

【解析】【答案】解：(3)  设P点坐标为(1，t)，Q点坐标为(m  ， n)， 

分类讨论：

情况一：AC为菱形对角线时，另一对角线为PQ  ， 

此时由菱形对角互相平分知：AC的中点也必定是PQ的中点，

由菱形对角线互相垂直知：  ，

∴  ，解得  ，

∴P点坐标为(1，1)，对应的Q点坐标为(2，2)；

情况二：AP为菱形对角线时，另一对角线为CQ  ， 

同理有：  ，解得  或  ，

∴P点坐标为(1，  )或(1，  )，对应的Q点坐标为(4，  )或(4，  )；

情况三：AQ为菱形对角线时，另一对角线为CP  ， 

 设P点坐标为(1，t)，Q点坐标为(m  ， n)，

同理有：  ，解得  或  ，

∴P点坐标为(1，  )或(1，  )，对应的Q点坐标为(-2，  )或(-2，  )；

纵上所示，Q点坐标存在，为(2，2)或(4，  )或(4，  )或(  ，  )或(  ，  )．

【分析】（1）将    ，   代入二次函数表达式中，得出a、b的值，即可得到抛物线的解析式；

 （2）连接BP、CP、AP，由二次函数对称性可知，BP=AP，得出  ，BC为定直线，当C、P、A三点共线时，  有最小值为    ， 此时  的周长也最小，设直线AC的解析式为：    ， 代入    ， 可得k、m的值，即可得到直线AC的解析式，二次函数的对称轴为    ， 代入    ， 得到    ， 得到P的坐标，此时得到  的周长最小值；

 （3）过点M作直线m//AC，直线m与抛物线交点即为P点，根据M的坐标可求出m的直线的表达式，联立抛物线的解析式与直线m的解析式即可求出p的坐标。