线性规划高考试题精选(一)

一．选择题（共15小题）

1．设x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值是（　　）

A．﹣15    B．﹣9    C．1    D．9

2．若x，y满足，则x+2y的最大值为（　　）

A．1    B．3    C．5    D．9

3．设x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为（　　）

A．0    B．1    C．2    D．3

4．已知x，y满足约束条件则z=x+2y的最大值是（　　）

A．﹣3    B．﹣1    C．1    D．3

5．若x、y满足约束条件，则z=x+2y的取值范围是（　　）

A．[0，6]    B．[0，4]    C．[6，+∞）    D．[4，+∞）

6．设x，y满足约束条件则z=x﹣y的取值范围是（　　）

A．[﹣3，0]    B．[﹣3，2]    C．[0，2]    D．[0，3]

7．已知x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值是（　　）

A．0    B．2    C．5    D．6

8．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值为（　　）

A．    B．1    C．    D．3

9．已知变量x，y满足约束条件，则4x+2y的取值范围是（　　）

A．[0，10]    B．[0，12]    C．[2，10]    D．[2，12]

10．不等式组，表示的平面区域的面积为（　　）

A．48    B．24    C．16    D．12

11．变量x、y满足条件，则（x﹣2）2+y2的最小值为（　　）

A．    B．    C．5    D．

12．若变量x，y满足约束条件且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n，则m﹣n等于（　　）

A．8    B．7    C．6    D．5

13．设x，y满足约束条件，当且仅当x=y=4时，z=ax﹣y取得最小值，则实数a的取值范围是（　　）

A．[﹣1，1]    B．（﹣∞，1）    C．（0，1）    D．（﹣∞，1）∪（1，+∞）

14．实数x，y满足，若z=2x+y的最大值为9，则实数m的值为（　　）

A．1    B．2    C．3    D．4

15．平面区域的面积是（　　）

A．    B．    C．    D．

二．选择题（共25小题）

16．设x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为　   　．

17．若x，y满足约束条件，则z=3x﹣4y的最小值为　   　．

18．已知x，y满足约束条件，则z=5x+3y的最大值为　   　．

19．若实数x，y满足，如果目标函数z=x﹣y的最小值为﹣2，则实数m=　   　．

20．已知a＞0，x，y满足约束条件若z=2x+y的最小值为1，则a=　   　．

21．设z=x+y其中x，y满足，若z的最大值为6，则z的最小值为　   　．

22．已知点x，y满足不等式组，若ax+y≤3恒成立，则实数a的取值范围是　   　．

23．设实数x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为10，则a2+b2的最小值为　   　．

24．已知实数x，y满足，则的最小值为　   　．

25．若变量x，y满足，则x2+y2的最大值是　   　．

26．设变量x，y满足约束条件，则的取值范围是　   　．

27．在平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定，若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为（2，1），则的最大值为　   　．

28．已知动点P（x，y）满足：，则x2+y2﹣6x的最小值为　   　．

29．已知实数x，y满足，则的最小值是　   　．

30．设实数x，y满足，则2y﹣x的最大值为　   　．

31．设x、y满足约束条件，则目标函数z=x2+y2的最大值为　   　．

32．已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=　   　．

33．若x，y满足约束条件，则的最小值是　   　．

34．若x，y满足约束条件，则的范围是　   　．

35．已知实数x，y满足：，z=2x﹣2y﹣1，则z的取值范围是　   　．

36．若实数x，y满足不等式组，目标函数z=kx﹣y的最大值为12，最小值为0，则实数k=　   　．

37．若实数x、y满足不等式组，且z=y﹣2x的最小值等于﹣2，则实数m的值等于　   　．

38．设x，y满足不等式组，若z=ax+y的最大值为2a+4，最小值为a+1，则实数a的取值范围为　   　．

39．已知不等式组表示的平面区域的面积为，则实数k=　   　．

40．已知变量x，y满足的约束条件，若x+2y≥﹣5恒成立，则实数a的取值范围为　   　．

线性规划高考试题精选(一)

参与试题解析

一．选择题（共15小题）

1．（2017•新课标Ⅱ）设x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值是（　　）

A．﹣15    B．﹣9    C．1    D．9

【解答】解：x、y满足约束条件的可行域如图：

z=2x+y 经过可行域的A时，目标函数取得最小值，

由解得A（﹣6，﹣3），

则z=2x+y 的最小值是：﹣15．

故选：A．

2．（2017•北京）若x，y满足，则x+2y的最大值为（　　）

A．1    B．3    C．5    D．9

【解答】解：x，y满足的可行域如图：

由可行域可知目标函数z=x+2y经过可行域的A时，取得最大值，由，可得A（3，3），

目标函数的最大值为：3+2×3=9．

故选：D．

3．（2017•新课标Ⅰ）设x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为（　　）

A．0    B．1    C．2    D．3

【解答】解：x，y满足约束条件的可行域如图：

，则z=x+y经过可行域的A时，目标函数取得最大值，

由解得A（3，0），

所以z=x+y 的最大值为：3．

故选：D．

4．（2017•山东）已知x，y满足约束条件则z=x+2y的最大值是（　　）

A．﹣3    B．﹣1    C．1    D．3

【解答】解：x，y满足约束条件的可行域如图：目标函数z=x+2y经过可行域的A时，目标函数取得最大值，

由：解得A（﹣1，2），

目标函数的最大值为：﹣1+2×2=3．

故选：D．

5．（2017•浙江）若x、y满足约束条件，则z=x+2y的取值范围是（　　）

A．[0，6]    B．[0，4]    C．[6，+∞）    D．[4，+∞）

【解答】解：x、y满足约束条件，表示的可行域如图：

目标函数z=x+2y经过C点时，函数取得最小值，

由解得C（2，1），

目标函数的最小值为：4

目标函数的范围是[4，+∞）．

故选：D．

6．（2017•新课标Ⅲ）设x，y满足约束条件则z=x﹣y的取值范围是（　　）

A．[﹣3，0]    B．[﹣3，2]    C．[0，2]    D．[0，3]

【解答】解：x，y满足约束条件的可行域如图：

目标函数z=x﹣y，经过可行域的A，B时，目标函数取得最值，

由解得A（0，3），

由解得B（2，0），

目标函数的最大值为：2，最小值为：﹣3，

目标函数的取值范围：[﹣3，2]．

故选：B．

7．（2017•山东）已知x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值是（　　）

A．0    B．2    C．5    D．6

【解答】解：画出约束条件表示的平面区域，如图所示；

由解得A（﹣3，4），

此时直线y=﹣x+z在y轴上的截距最大，

所以目标函数z=x+2y的最大值为

zmax=﹣3+2×4=5．

故选：C．

8．（2017•天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值为（　　）

A．    B．1    C．    D．3

【解答】解：变量x，y满足约束条件的可行域如图：

目标函数z=x+y结果可行域的A点时，目标函数取得最大值，

由可得A（0，3），目标函数z=x+y的最大值为：3．

故选：D．

9．（2017•大庆三模）已知变量x，y满足约束条件，则4x+2y的取值范围是（　　）

A．[0，10]    B．[0，12]    C．[2，10]    D．[2，12]

【解答】解：法1：作出不等式组表示的平面区域，

得到如图的四边形及其内部，其中A（2，1），B（0，1），

设z=F（x，y）=4x+2y，将直线l：z=4x+2y进行平移，可得

当l经过点A时，目标函数z达到最大值，z最大值=F（2，1）=10，

当l经过点B时，目标函数z达到最小值，z最小值=F（0，1）=2

因此，z=4x+2y的取值范围是[2，10]．

法2：令4x+2y=μ（x+y）+λ（x﹣y），则，解得μ=3，λ=1，

故4x+2y=3（x+y）+（x﹣y），

又1≤x+y≤3，

故3≤3（x+y）≤10，又﹣1≤x﹣y≤1，

所以4x+2y∈[2，10]．

故选C．

10．（2017•潮州二模）不等式组，表示的平面区域的面积为（　　）

A．48    B．24    C．16    D．12

【解答】解：画出不等式组表示的平面区域如图阴影所示，

则点A（﹣2，2）、B（2，﹣2）、C（2，10），

所以平面区域面积为S△ABC=|BC|•h=×（10+2）×（2+2）=24．

故选：B．

11．（2017•汉中二模）变量x、y满足条件，则（x﹣2）2+y2的最小值为（　　）

A．    B．    C．5    D．

【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，

设z=（x﹣2）2+y2，则z的几何意义为区域内的点到定点D（2，0）的距离的平方，

由图象知CD的距离最小，此时z最小．

由得，即C（0，1），

此时z=（x﹣2）2+y2=4+1=5，

故选：C．

12．（2017•林芝县校级三模）若变量x，y满足约束条件且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n，则m﹣n等于（　　）

A．8    B．7    C．6    D．5

【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：

由z=2x+y，得y=﹣2x+z，

平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C时，

直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大，

由，解得，

即C（2，﹣1），此时最大值z=2×2﹣1=3，

当直线y=﹣2x+z经过点B时，

直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小，

由，解得，即B（﹣1，﹣1），

最小值为z=﹣2﹣1=﹣3，

故最大值m=3，最小值为n=﹣3，

则m﹣n=3﹣（﹣3）=6，

故选：C

13．（2017•瑞安市校级模拟）设x，y满足约束条件，当且仅当x=y=4时，z=ax﹣y取得最小值，则实数a的取值范围是（　　）

A．[﹣1，1]    B．（﹣∞，1）    C．（0，1）    D．（﹣∞，1）∪（1，+∞）

【解答】解：作出约束条件所对应的可行域（如图阴影），

变形目标函数可得y=ax﹣z，其中直线斜率为a，截距为﹣z，

∵z=ax﹣y取得最小值的最优解仅为点A（4，4），

∴直线的斜率a＜1，

即实数a的取值范围为（﹣∞，1）

故选：B．

14．（2017•肇庆一模）实数x，y满足，若z=2x+y的最大值为9，则实数m的值为（　　）

A．1    B．2    C．3    D．4

【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．

由z=2x+y得y=﹣2x+z，

平移直线y=﹣2x+z，

由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B时，直线y=﹣2x+z的截距最大，

此时z最大，此时2x+y=9．

由，解得，即B（4，1），

∵B在直线y=m上，

∴m=1，

故选：A

15．（2017•五模拟）平面区域的面积是（　　）

A．    B．    C．    D．

【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，

则区域是圆心角是是扇形，

故面积是．

故选：A．

二．选择题（共25小题）

16．（2017•新课标Ⅰ）设x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为　﹣5　．

【解答】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，

由图可知，目标函数的最优解为A，

联立，解得A（﹣1，1）．

∴z=3x﹣2y的最小值为﹣3×1﹣2×1=﹣5．

故答案为：﹣5．

17．（2017•新课标Ⅲ）若x，y满足约束条件，则z=3x﹣4y的最小值为　﹣1　．

【解答】解：由z=3x﹣4y，得y=x﹣，作出不等式对应的可行域（阴影部分），

平移直线y=x﹣，由平移可知当直线y=x﹣，

经过点B（1，1）时，直线y=x﹣的截距最大，此时z取得最小值，

将B的坐标代入z=3x﹣4y=3﹣4=﹣1，

即目标函数z=3x﹣4y的最小值为﹣1．

故答案为：﹣1．

18．（2017•明山区校级学业考试）已知x，y满足约束条件，则z=5x+3y的最大值为　35　．

【解答】解：不等式组对应的平面区域如图：

由z=5x+3y得y=﹣，

平移直线y=﹣，则由图象可知当直线y=﹣

经过点B时直线y=﹣的截距最大，

此时z最大，

由，解得，即B（4，5），

此时M=z=5×4+3×5=35，

故答案为：35

19．（2017•重庆模拟）若实数x，y满足，如果目标函数z=x﹣y的最小值为﹣2，则实数m=　8　．

【解答】解：画出x，y满足的可行域如下图：

可得直线y=2x﹣1与直线x+y=m的交点使目标函数z=x﹣y取得最小值，

故，

解得x=，y=，

代入x﹣y=﹣2得﹣=﹣2⇒m=8

故答案为：8．

20．（2017•湖南三模）已知a＞0，x，y满足约束条件若z=2x+y的最小值为1，则a=　　．

【解答】解：先根据约束条件画出可行域，

设z=2x+y，

将最大值转化为y轴上的截距，

当直线z=2x+y经过点B时，z最小，

由 得：，代入直线y=a（x﹣3）得，a=；

故答案为：

21．（2017•山东模拟）设z=x+y其中x，y满足，若z的最大值为6，则z的最小值为　﹣3　．

【解答】解：作出可行域如图：

直线x+y=6过点A（k，k）时，z=x+y取最大，

∴k=3，

z=x+y过点B处取得最小值，B点在直线x+2y=0上，

∴B（﹣6，3），

∴z的最小值为=﹣6+3=﹣3．

故填：﹣3．

22．（2017•黄冈模拟）已知点x，y满足不等式组，若ax+y≤3恒成立，则实数a的取值范围是　（﹣∞，3]　．

【解答】解：满足不等式组的平面区域如右图所示，

由于对任意的实数x、y，不等式ax+y≤3恒成立，

根据图形，可得斜率﹣a≥0或﹣a＞kAB==﹣3，

解得：a≤3，

则实数a的取值范围是（﹣∞，3]．

故答案为：（﹣∞，3]．

23．（2017•惠州模拟）设实数x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为10，则a2+b2的最小值为　　．

【解答】解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y=，

作出可行域如图：

∵a＞0，b＞0，

∴直线y=的斜率为负，且截距最大时，z也最大．

平移直线y=，由图象可知当y=经过点A时，

直线的截距最大，此时z也最大．

由，解得，即A（4，6）．

此时z=4a+6b=10，

即2a+3b﹣5=0，

即（a，b）在直线2x+3y﹣5=0上，

a2+b2的几何意义为直线上点到原点的距离的平方，

则原点到直线的距离d=，

则a2+b2的最小值为d2=，

故答案为：．

24．（2017•历下区校级三模）已知实数x，y满足，则的最小值为　　．

【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，

的几何意义是区域内的点与点E（3，0）的斜率，

由图象知AE的斜率最小，由得，

即A（0，1），

此时的最小值为=，

故答案为：．

25．（2017•平遥县模拟）若变量x，y满足，则x2+y2的最大值是　10　．

【解答】解：由约束条件作出可行域如图，

联立，解得B（3，﹣1），

x2+y2的几何意义为可行域内动点与原点距离的平方，其最大值|OB|2=32+（﹣1）2=10，

故答案为：10．

26．（2017•遂宁模拟）设变量x，y满足约束条件，则的取值范围是　　．

【解答】解：不等式组表示的区域如图，

的几何意义是可行域内的点与点（﹣1，﹣1）构成的直线的斜率问题．

当取得点A（0，1）时，

取值为2，

当取得点C（1，0）时，

取值为，

故答案为：

27．（2017•渭南一模）在平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定，若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为（2，1），则的最大值为　7　．

【解答】解：由约束条件作出可行域如图，

令z==2x+y，化为y=﹣2x+z，

由图可知，当直线y=﹣2x+z过B（2，3）时，z有最大值为2×2+3=7．

故答案为：7．

28．（2017•湖北二模）已知动点P（x，y）满足：，则x2+y2﹣6x的最小值为　　．

【解答】解：由，

∵y+＞y+|y|≥0，

∴，

∵函数f（x）=是减函数，

∴x≤y，

∴原不等式组化为．

该不等式组表示的平面区域如下图：

∵x2+y2﹣6x=（x﹣3）2+y2﹣9．

由点到直线的距离公式可得，P（3，0）区域中A（）的距离最小，所以x2+y2﹣6x的最小值为．

故答案为：﹣．

29．（2017•盐城一模）已知实数x，y满足，则的最小值是　　．

【解答】解：作出不等式组所表示的平面区域如图所示：

由于可以看做平面区域内的点与原点的连线的斜率，

结合图形可知，当直线过OA时 斜率最小．

由于可得A（4，3），此时k=．

故答案为：．

30．（2017•和平区校级模拟）设实数x，y满足，则2y﹣x的最大值为　5　．

【解答】解：画出，的可行域如图：

将z=2y﹣x变形为y=x+z作直线y=x将其平移至A时，直线的纵截距最大，z最大，

由可得A（﹣1，2），

z的最大值为：5．

故答案为：5．

31．（2017•德州二模）设x、y满足约束条件，则目标函数z=x2+y2的最大值为　52　．

【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，

得到如图的四边形OABC，其中A（0，2），B（4，6），C（2，0），O为原点

设P（x，y）为区域内一个动点，则|OP|=表示点P到原点O的距离

∴z=x2+y2=|OP|2，可得当P到原点距离最远时z达到最大值

因此，运动点P使它与点B重合时，z达到最大值

∴z最大值=42+62=52

故答案为：52

32．（2017•镇江模拟）已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=　2　．

【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．

则A（2，0），B（1，1），

若z=ax+y过A时取得最大值为4，则2a=4，解得a=2，

此时，目标函数为z=2x+y，

即y=﹣2x+z，

平移直线y=﹣2x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为4，满足条件，

若z=ax+y过B时取得最大值为4，则a+1=4，解得a=3，

此时，目标函数为z=3x+y，

即y=﹣3x+z，

平移直线y=﹣3x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为6，不满足条件，

故a=2；

故答案为：2．

33．（2017•南雄市二模）若x，y满足约束条件，则的最小值是　　．

【解答】解：x，y满足约束条件的可行域如图：

则的几何意义是可行域的点到坐标原点距离，由图形可知OP的距离最小，直线x+y﹣2=0的斜率为1，所以|OP|=．

故答案为：．

34．（2017•清城区校级一模）若x，y满足约束条件，则的范围是　　．

【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：

的几何意义是区域内的点到定点D（﹣1，0）的斜率，

由图象知CD的斜率最小，

由得C（，），

则CD的斜率z==，

即z=的取值范围是（0，]，

故答案为：．

35．（2017•梅河口市校级一模）已知实数x，y满足：，z=2x﹣2y﹣1，则z的取值范围是　[﹣，5）　．

【解答】解：不等式对应的平面区域如图：（阴影部分）．

由z=2x﹣2y﹣1得y=x﹣，平移直线y=x﹣，

由平移可知当直线y=x﹣，经过点C时，

直线y=x﹣的截距最小，此时z取得最大值，

由，解得，即C（2，﹣1），

此时z=2x﹣2y﹣1=4+2﹣1=5，

可知当直线y=x﹣，经过点A时，

直线y=y=x﹣的截距最大，此时z取得最小值，

由，得，即A（，）

代入z=2x﹣2y﹣1得z=2×﹣2×﹣1=﹣，

故z∈[﹣，5）．

故答案为：[﹣，5）．

36．（2017•深圳一模）若实数x，y满足不等式组，目标函数z=kx﹣y的最大值为12，最小值为0，则实数k=　3　．

【解答】解：实数x，y满足不等式组的可行域如图：得：A（1，3），B（1，﹣2），C（4，0）．

①当k=0时，目标函数z=kx﹣y的最大值为12，最小值为0，不满足题意．

②当k＞0时，目标函数z=kx﹣y的最大值为12，最小值为0，当直线z=kx﹣y过C（4，0）时，Z取得最大值12．

当直线z=kx﹣y过A（1，3）时，Z取得最小值0．

可得k=3，满足题意．

③当k＜0时，目标函数z=kx﹣y的最大值为12，最小值为0，当直线z=kx﹣y过C（4，0）时，Z取得最大值12．可得k=﹣3，

当直线z=kx﹣y过，B（1，﹣2）时，Z取得最小值0．可得k=﹣2，

无解．

综上k=3

故答案为：3．

37．（2017•夏邑县校级模拟）若实数x、y满足不等式组，且z=y﹣2x的最小值等于﹣2，则实数m的值等于　﹣1　．

【解答】﹣1解：由z=y﹣2x，得y=2x+z，

作出不等式对应的可行域，

平移直线y=2x+z，

由平移可知当直线y=2x+z经过点A（1，0）时，

直线y=2x+z的截距最小，此时z取得最小值为﹣2，

即y﹣2x=﹣2，

点A也在直线x+y+m=0上，则m=﹣1，

故答案为：﹣1

38．（2017•阳山县校级一模）设x，y满足不等式组，若z=ax+y的最大值为2a+4，最小值为a+1，则实数a的取值范围为　[﹣2，1]　．

【解答】解：由z=ax+y得y=﹣ax+z，直线y=﹣ax+z是斜率为﹣a，y轴上的截距为z的直线，

作出不等式组对应的平面区域如图：

则A（1，1），B（2，4），

∵z=ax+y的最大值为2a+4，最小值为a+1，

∴直线z=ax+y过点B时，取得最大值为2a+4，

经过点A时取得最小值为a+1，

若a=0，则y=z，此时满足条件，

若a＞0，则目标函数斜率k=﹣a＜0，

要使目标函数在A处取得最小值，在B处取得最大值，

则目标函数的斜率满足﹣a≥kBC=﹣1，

即0＜a≤1，

若a＜0，则目标函数斜率k=﹣a＞0，

要使目标函数在A处取得最小值，在B处取得最大值，

则目标函数的斜率满足﹣a≤kAC=2，

即﹣2≤a＜0，

综上﹣2≤a≤1，

故答案为：[﹣2，1]．

39．（2017•许昌三模）已知不等式组表示的平面区域的面积为，则实数k=　4　．

【解答】解：画出不等式组表示的平面区域，

如图所示，

由题意可知k＞0，可行域的三个顶点为A（0，0），

B（，），C（，），

∵AB⊥BC，|AB|=k，

点C到直线AB的距离为k，

∴S△ABC=AB•BC=×k×k=，

解得k=4，

故答案为：4．

40．（2017•白银区校级一模）已知变量x，y满足的约束条件，若x+2y≥﹣5恒成立，则实数a的取值范围为　[﹣1，1]　．

【解答】解：由题意作出其平面区域，

则x+2y≥﹣5恒成立可化为图象中的阴影部分在直线x+2y=﹣5的上方，

则实数a的取值范围为[﹣1，1]．

故答案为：[﹣1，1]．