专题13 一次函数中的找规律问题训练(解析版)八年级数学下学期(人教版)

（时间：60分钟  总分：120）      班级            姓名              得分      

一、选择题

1．在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作轴于点，作等腰直角三角形 (与原点重合)，再以为腰作等腰直角三角形，以为腰作等腰直角三角形，…按照这样的规律进行下去，那么的坐标为( ) 

A．    B．

C．    D．

【答案】B

【分析】

根据直线的解析式以及等腰直角三角形的性质即可得出A2（0，2），A3（2，4），A4（6，8），根据坐标的变化即可找出变化规律An（2n-1-2，2n-1）．即可得出点A2020的坐标．

【详解】

解：∵点B1、B2、B3、…、Bn在x轴上，且A1B1=B1B2，A2B2=B2B3，A3B3=B3B4，

∵A1（-1，1），

∴A2（0，2），A3（2，4），A4（6，8），

，…，

∴An（2n-1-2，2n-1）．

∴A2020的坐标为（22019-2，22019）．

故选：B．

【点睛】

本题考查一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质以及规律型中点的坐标，解题的关键是找出An坐标的变化规律，注意掌握解决该题型题目时，结合一次函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质找出线段的变化规律是解题的关键．

2．如图，在平面直角坐标系中，点，，，和，，，分别在直线和轴上，，，，是以，，，为顶点的等腰直角三角形．如果点，那么点的纵坐标是（    ）

A．    B．    C．    D．

【答案】A

【分析】

设点A2，A3，A4…，A2019坐标，结合函数解析式，寻找纵坐标规律，进而解题．

【详解】

解：在直线，

，

，

设，，，，，，，，，

则有，，，，

又△，△，△，，都是等腰直角三角形，

，，，．

将点坐标依次代入直线解析式得到：

，，，，，

又，

，，，，，

故选：A．

【点睛】

此题主要考查了一次函数点坐标特点，等腰直角三角形斜边上高等于斜边长一半，解题的关键是找出规律．

3．正方形，，，…，按如图所示的方式放置，点，…和点，…分别在直线和轴上．则点的纵坐标是（    ）

A．    B．    C．    D．

【答案】B

【分析】

先根据一次函数图象上点的坐标特征及正方形的性质确定点A1，A 2，A3，A4，A5进而确定C1，C 2，C3，C4，C5的坐标并总结出点Cn的纵坐标的规律为2n-1（n为正整数），将n=2030代入即可解答．

【详解】

解：由题意可知，A1纵坐标为1，A2的纵坐标为2，A3的纵坐标为4，A4的纵坐标为8， A1和C1，A2和C2，A3和C3，A4和C4的纵坐标相同，

∴C1，C2，C3，C4，,C5,…Cn的纵坐标分别为1，2，4，8，16，…2n-1

∴的纵坐标为22020-1=22019．

故答案为B．

【点睛】

本题考查了一次函数图像上点的坐标特征、正方形的性质以及找规律，找出Cn点纵坐标的规律为2n-1（n为正整数）是解答本题的关键．

4．如图，在平面直角坐标系中，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3……都是等腰Rt△，直角顶点P1(3，3)，P2，P3……，均在直线y＝﹣x+4上，设△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3……的面积分别为S1，S2，S3……则S2019的值为（    ）

A．    B．    C．    D．

【答案】A

【分析】

分别过点P1、P2、P3作x轴的垂线段，先根据等腰直角三角形的性质求得前三个等腰直角三角形的底边和底边上的高，继而求得三角形的面积，得出面积的规律即可得出答案．

【详解】

解：如图，分别过点P1、P2、P3作x轴的垂线段，垂足分别为点C、D、E，

∵P1（3，3），且△P1OA1是等腰直角三角形，

∴OC＝CA1＝P1C＝3，

设A1D＝a，则P2D＝a，

∴OD＝6+a，

∴点P2坐标为（6+a，a），

将点P2坐标代入y＝﹣x+4，得：﹣（6+a）+4＝a，

解得：a＝，

∴A1A2＝2a＝3，P2D＝，

同理求得P3E＝、A2A3＝，

∵S1＝×6×3＝9、S2＝×3×＝、S3＝××＝、……

∴S2019＝．

故选：A．

【点睛】

本题考查了几何类的规律题，掌握等腰直角三角形的性质、三角形面积的规律是解题的关键．

5． 已知：直线y=x+（n为正整数）与两坐标轴围成的三角形面积为Sn，则S1+S2+S3+…+S2019（　　）

A．    B．    C．    D．

【答案】D

【分析】

依次求出S1、S2、S3，就发现规律：Sn=×，然后求其和即可求得答案．注意．

【详解】

解：∵当n=1时，直线为y=x+，

∴直线与两坐标轴的交点为（0，），（-1，0），

∴S1=×1×=；

当n=2时，直线为y=x+，

∴直线与两坐标轴的交点为（0，），（-，0），

∴S2=××=×；

当n=3时，直线为y=x+，

∴直线与两坐标轴的交点为（0，），（-，0），

∴S3=××=×；

…，

Sn=×，

∴S1+S2+S3+…+S2019=×（1-+++…+-）=（1-）=

故选：D．

【点睛】

本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，根据题意找出规律是解答此题的关键．

6．如图，函数y＝x和y＝－x的图象分别为直线l1、12，过点A1（1，－）作x轴的垂线交l1于点A2，过点A2作y轴的垂线交l2于点A3，过点A3作x轴的垂线交l1于点A4，过点A4作y轴的垂线交l2于点A5，……，依次进行下去，则A2019的横坐标为（    ）

A．－21007    B．21008    C．－21008    D．－21009

【答案】D

【分析】

可根据点A1坐标结合两条直线的解析式求出点这几个点的坐标，找出其横坐标的变化规律，再确定A2019的横坐标

【详解】

解：点的横坐标与的横坐标相同均为1，将代入y＝x得，可得，代入y＝－x得，依次类推可得， 

观察可知其规律为，且一四象限点的横坐标相同，二三象限点的横坐标相同.所以先确定点的所在象限.

点在第三象限与点的横坐标相同

点的横坐标为

所以点的横坐标为

故选：D

【点睛】

本题是平面直角坐标系中点坐标规律的探究题，找准点的变化规律是解题的关键.

二、填空题

7．如图，点在直线上，过点作轴交直线于点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，再过点作过点轴交直线和直线于，两点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，…，按此规律进行下去，则等腰直角的边长为_____．（用含正整数的代数式表示）

【答案】

【分析】

列出各点坐标寻找规律，横纵坐标成倍扩大．

【详解】

解：点在直线上，

点横坐标为2，将代入得，

点坐标为．

△为等腰直角三角形，

，

点坐标为．．

过点作轴，

，的横坐标为3，将分别代入与中得，的纵坐标分别为3，，

即，，，

．点坐标为．

同理可得，

．

故答案为：．

【点睛】

本题考查一次函数图象上点的特征及等腰直角三角形的性质，解题关键是通过计算找出点及边长变化规律．

8．如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点在直线上．若，且都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为，则可表示为____．

【答案】

【分析】

由等边三角形性质可知，A1B1∥A2B2…∥AnBn，因为直线yx与x轴的夹角∠B1OA1＝30°，∠OA1B1＝120°，可得出OA1＝A1B1，A1B1＝1，∠OB2A2＝30°，…，∠OBnAn＝30°，

B2A2＝OA2＝2，B3A3＝4，…，BnAn＝2n﹣1，因为∠OB1A2＝90°，根据勾股定理可知B1B2，则S1，同理即可得出答案．

【详解】

解：由等边三角形可知：

A1B1∥A2B2∥…∥AnBn，

B1A2∥B2A3∥…∥BnAn+1，

∵直线yx与x轴的夹角∠B1OA1＝30°，∠OA1B1＝120°，

∴∠OB1A1＝30°，

∴OA1＝A1B1，

∴A1（1，0），

∴A1B1＝1，

同理∠OB2A2＝30°，…，∠OBnAn＝30°，

∴B2A2＝OA2＝2，B3A3＝4，…，BnAn＝2n﹣1，

可知∠OB1A2＝90°，…，∠OBnAn+1＝90°，

∴B1B2，B2B3＝2，…，BnBn+1＝2n﹣1，

∴S1，S2，…，Sn＝22n﹣3．

∴当n=2021时，

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查了一次函数函数图像点的坐标特征，合理利用函数图像上点的坐标规律是解决本题的关键．

9．如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，…，依次进行下去，则点的坐标为________；点的坐标为________．

【答案】，        

【分析】

写根据一次函数图象上点的坐标特征可得出点A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8等的坐标，根据坐标的变化即可找出变化规律“A4n+1（32n，32n+1），A4n+2（﹣32n+1，32n+1），A4n+3（﹣32n+1，﹣32n+2），A4n+4（32n+2，﹣32n+2）（n为自然数）”，依此规律结合2022＝505×4+2即可找出点A2022的坐标．

【详解】

解：当x＝1时，y＝3x＝3，

∴点A1的坐标为（1，3）；

当y＝﹣x＝3时，x＝﹣3，

∴点A2的坐标为（﹣3，3）；

同理可得：A3（﹣3，﹣9），A4（9，﹣9），A5（9，27），A6（﹣27，27），A7（﹣27，﹣81），…，

∴A4n+1（32n，32n+1），A4n+2（﹣32n+1，32n+1），

A4n+3（﹣32n+1，﹣32n+2），A4n+4（32n+2，﹣32n+2）（n为自然数）．

∵2022＝505×4+2，

∴点A2022的坐标为，

故答案为：（﹣27，27），．

【点睛】

本题考查了两条直线相交或平行问题、一次函数图象上点的坐标特征以及规律型中点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“A4n+1（32n，32n+1），A4n+2（﹣32n+1，32n+1），A4n+3（﹣32n+1，﹣32n+2），A4n+4（32n+2，﹣32n+2）（n为自然数）”是解题的关键．

10．如图，直线y＝x+4与y轴交于A1，按如图方式作正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…，点A1，A2，A3…在直线y＝x+4上，点C1，C2，C3，…在x轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到右依次记为S1，S2，S3…，Sn，则Sn的值为______（用含n的代数式表示，n为正整数）．

【答案】22n+1

【分析】

根据直线解析式判断出直线与坐标轴相交构成的三角形是等腰直角三角形，再求出OA1，即第一个正方形的边长，同理依次求出第二个、第三个正方形的边长，然后根据规律写出第n个正方形的边长，如果根据阴影部分的面积等于相应正方形的面积的一半列式计算即可得解．

【详解】

∵直线y＝x+4的k＝1，

∴直线与x轴的夹角为45°，

∴直线与坐标轴相交构成的三角形是等腰直角三角形，

当x＝0时，y＝4，

所以，OA1＝4，

即第一个正方形的边长为4，

所以，第二个正方形的边长为4+4＝8，

第三个正方形的边长为8+8＝16，

…，

第n个正方形的边长为2n+1，

∴S1＝×4×4＝，

S2＝×8×8＝，

S3＝×16×16＝，

…，

Sn＝×2n+1×2n+1＝＝22n+1．

故答案为22n+1．

【点睛】

本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，根据直线解析式判断出等腰直角三角形是解题的关键，也是本题的难点．

11．如图，在平面直角坐标系中，点在 x轴上，在直线 上，若，且 都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为 ．则 可表示为 _________ ．

【答案】．

【分析】

直线与轴的成角，可得，，，，，；根据等腰三角形的性质可知，，，，；根据勾股定理可得，，，，再由面积公式即可求解．

【详解】

解：△、△△都是等边三角形，

，，

直线与轴的成角，，

，

，

∵，

，

同理，，，

，，，，

易得，，，

，，，，

，，，；

故答案是：．

【点睛】

本题考查一次函数的图象及性质，等边三角形和直角三角形的性质；能够判断阴影三角形是直角三角形，并求出每边长、应用相似三角形规律求解是解题的关键．

12．正方形，，…按如图的方式放置，，，…和点，，…分别在直线和轴上，则点的横坐标是_________

【答案】14

【分析】

先利用直线的解析式可求出点的坐标，从而可得的长，再利用直线的解析式分别求出的坐标，然后利用正方形的性质即可得．

【详解】

对于直线，

当时，，即，

，

四边形，，都是正方形，

，

点的横坐标为2，

将代入直线解析式得：，即，

，

，

点的横坐标为6，

将代入直线解析式得：，即，

，

，

则点的横坐标为14，

故答案为：14．

【点睛】

本题考查了正方形的性质、一次函数图象上的点坐标等知识点，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．

13．如图，已知直线a：y=x，直线b：y=-x和点P(1，0)，过点P作y轴的平行线交直线a于点P1，过点P1作x轴的平行线交直线b于点p2，过点p2作y轴的平行线交直线a于点p3，过点p3作x轴的平行线交直线b于点p4，…，按此作法进行下去，则点P2021的横坐标为_____________．

【答案】

【分析】

点，在直线上，得到，求得的纵坐标的纵坐标，得到，即的横坐标为，同理，的横坐标为，的横坐标为，，，，，求得，于是得到结论．

【详解】

解：点，在直线上，

，

轴，

的纵坐标的纵坐标，

在直线上，

，

，

，即的横坐标为，

同理，的横坐标为，的横坐标为，，，，，

，

令，则

的横坐标为，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，规律型：点的坐标，正确的作出规律是解题的关键．

14．如图，在平面直角坐标系中，点，点，作第一个正方形且点在上，点在上，点在上；作第二个正方形且点在上，点在上，点在上…，如此下去，其中纵坐标为______，点的纵坐标为______．

【答案】        

【分析】

先确定直线AB的解析式，然后再利用正方形的性质得出点C1和C2的纵坐标，归纳规律，然后按规律求解即可．

【详解】

解：设直线AB的解析式y=kx+b

则有： ，解得： 

所以直线仍的解析式是：

设C1的横坐标为x，则纵坐标为

∵正方形OA1C1B1

∴x=y，即，解得 

∴点C1的纵坐标为

同理可得：点C2的纵坐标为=

∴点Cn的纵坐标为．

故答案为：，．

【点睛】

本题属于一次函数综合题，主要考查了运用待定系数法求一次函数的解析式、正方形的性质、一次函数图象上点的坐标特点等知识，掌握数形结合思想是解答本题的关键．