浅谈指数函数

姜岩

摘要：指数函数在新课标中占有重要的地位，因此高考对指数函数的考查有升温趋势。重点是指数函数的图像与性质，以及指数函数的实际应用问题，但幂的运算是解决与指数有关问题的基础，也要引起重视。另外，最简单的指数方程有可能出现在2012年的高考之中。接下来，让我们一起探讨一下指数与指数函数的相关问题。

关键词：根式  幂  指数  指数函数

在研究此部分内容时，我们要从指数函数的背景出发，去理解掌握幂的含义、意义及运算。从而掌握指数函数的概念，并理解指数函数的单调性与函数图象通过的特殊点。大体上分为两部分，即指数与指数函数。在每一部分又有比较系统的分类，现在让我们一起进入指数函数的研究讨论。

一、指数

在研究指数部分还可以概括为“指数五问”，即：如何理解次方根的概念；如何进行根式运算；如何理解分数指数幂的意义；分数指数幂和指数指数幂的异同；有理数指数幂的运算性质与整数指数幂的运算性质。以下就是从这几个方面，通过典型例题分析来加深讨论进而理解归纳指数函数知识点。

（一）如何理解次方根的概念

对于次方根概念的理解，按照从特殊到一般，再由一般到特殊的学习方法，即从平方根、立方根推广到次方根，再由次方根的意义对应到某个题目中的为具体数。

我们也可以换另外一种方式来理解，若一个数的次方等于，那么怎么用来表示的呢？如果回答，这个回答是不正确的，因为它不完整。而正确答案应该是

其主要性质有：

（1）当为奇数时，；

（2）当为偶数时， 

其中，性质（2）尤为重要。在解题过程中一定要分析透彻，了解已知的是奇数还是偶数，在解答偶数情况时一定要注意加绝对值，在根据情况进行下一步去绝对值的运算。否则就会出现符号错误。

对于根式的概念可概括如下：

表2-1

对于根式运算，简单的问题可根据根式的意义直接计算。一般可将根式化为分数指数幂，利用分数指数幂的运算性质行进计算。

但要注意的是，计算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分数，又含有负指数。

例1.化简下列各式（其中各字母均为正数）

（1）；

（2）. 

分析：先化为分数指数幂，再进行运算。

解：（1）原式=.

    （2）原式=

             =

             =

             =

             =.

评注：根式运算或根式与指数式混合运算时，将根式化为指数运算较为方便，对于计算结果，不强求统一用什么形式来表示，如果有特殊要求，要根据要求写出结果。但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数。

例2.(2011年广西梧州诊断题)

计算：（1）；

（2）已知，求的值.

分析：（1）先化为分数指数幂，再进行运算。注意绝对值。（2）先对已知条件进行转化，再对所求算式进行类似转化，从而找到切入点。

解：（1）原式=

              =

              =

              =.

（2）已知， 即.

则， 于是：.

同上运算就可得到：，.

设,    则：

.

从而=.

评注：题（1）中的最后一步有成立，间接说明，故可以直接去绝对值。在平时解题过程中也要注意题中的隐含条件。  题（2）是培养解题的转换思想，这类题型的特点就是由已知条件入手，使其转化为桥梁条件，在进一步对所求式进行转换，进而得到最终结果。

（三）如何理解分数指数幂的意义

分数指数幂不可理解为个相乘，它是根式的一种新的写法。规定=（,、都是正整数，且），==（,、都是正整数，且），在这样的规定下，根式与分数指数幂表示相同意义的量，它们只是形式上的不同而已。的正分数指数幂为，的负分数指数幂无意义，负数的分数指数幂是否有意义，应视、的具体数字而定。

例3.计算：

（1）；

（2）.

分析：本题考查分数指数幂的综合运算，要注意先算乘方、开方，再算乘除，最后进行加减运算。

解：（1）原式=

              =.

（3）原式=

               =

               =.

评注：进行分数指数幂的运算要熟练掌握分数指数幂的运算性质，并灵活运用，一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时还要注意运算顺序问题。

（四）分数指数幂和整数指数幂的异同

（Ⅰ）相同点：分数指数幂与整数指数幂都是有理数指数幂，都可以利用有理数指数幂的运算性质进行运算；

（Ⅱ）不同点：整数指数幂表示的是相同因式的连乘积，而分数指数幂是根式的一种新的写法，它表示的是根式。

（五）有理数指数幂的运算性质与整数指数幂的运算性质

有理数指数幂与整数指数幂在运算形式上是完全一样的，都是，，式中。对于这三条性质，不要求证明，但必须记准、会逆用、要用活。

例4.（2011年广东珠海模拟题）化简的结果是  （    ）

A.                B.                C.                  D. 

分析：.

答案：B.

以上是对指数式运算的简单分类介绍。通过例题分析，我们可以了解到指数算式运算的大体特点和一般方法。接下来是进一步对指数式运算的常用技巧的归纳：

Ⅰ.注意使用乘法公式

例5.计算： 

解：原式=

          =

          =

          =

          =

评注：本题连续应用平方差公式，使计算大为简化。

Ⅱ.注意因式分解

例6.计算： 

解：原式=.

评注：本题把分子、分母分别分解因式、约分，再分解因式，计算十分简捷。

Ⅲ. 注意运用分式的基本运性质

例7.计算

解： 

评注：本题利用了分式的基本性质，消去了分子、分母的公因式。

Ⅳ. 使用换元法

例8.计算： 

解：设则

原式=

    =

    =

评注：通过换元法把分数指数、负分数指数都化为正整数指数，给解题带来很大方便。

Ⅴ.注意运用指数运算的法则 

例9.计算： 

解：原式=.

评注：本题应用了幂的运算法则，使计算变得比较简便。

Ⅵ. 用“1”进行代换

例10.计算： 

解：原式=

        =

        =

评注：本题根据各式的特点，对各式分子中的“1”分别用巧妙地进行代换，是运算变得较为简捷。

小结：在指数这部分分为五大部分进行研究，由次方根的概念到根式的运算；分数指数幂的意义，与整数指数幂的异同及其运算。特别是在混合运算时一定要注意细节，还有一般运算所用的方法。

二、指数函数

指数函数是中学数学中三类基本初等函数之一，是高考必考内容，主要考查定义域、值域、图象以及指数函数的主要性质（单调性），比较两个函数的值大小，以及解指数函数不等式，并能解决某些实际问题。接下来是对指数函数知识点的分类讨论呢。

在理解指数函数的概念时，应抓住定义的“形式”，像，，，等函数均不符合的形式，因此，它们都不是指数函数。

画指数函数函数的图象，应抓住三个关键点：，，.熟记指数函数，，，在同一坐标系中图象的相对位置，由此掌握指数函数图象的位置与底数大小的关系。

关于指数函数的图象和性质可概括为下表所示：

表7-1

例11.求下列函数的定义域

（1）；       （2）.

解：（1），

，即.

函数的定义域为.

（2）由，得.

当时，；当时，.

原函数的定义域为当时，；当时，.

例12.求的值域。

解：，

即

例13.设，求函数的最大值和最小值.

分析：注意到，设，则原来的函数成为，利

用闭区间上二次函数的值域求法，可求得函数的最值。

解：设，由，知，则

所以原函数可转化为，，对称轴

    故函数最小值为，因端点距对称轴远，故函数的最大值为.

评注：换元法是一种常见的数学方法，在涉及指数形式的换元时，经常用到

，等。

（二）函数的图象问题 

指数函数的重点是函数的概念、图象和性质，其中图象是关键。当底数时，的图象特征是“一撇”，当底数时，的图象特征是“一捺”，合起来记忆就是“一撇一捺”，两者都位于轴上方且都必过点。指数函数的图象是解题的重要工具和好帮手，所以我们首先要学好指数函数的图象及其变换。

1.平移变换

例14.为了得到函数的图象，可以把函数的图象  （    ）

A．向左平移个单位长度               B.向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度                D.向右平移个单位长度

    解： ，

可以把函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象。故选D。

评注：一般地，函数的图象可由的图象向左（当时）或向右（当时）平移个单位长度得到；函数的图象可由的图象向上（当时）或向下（当时）平移个单位长度得到。

2.对称变换

    例15.函数的图象是   （   ）

        A．               B.              C.              D.

    解：当时，由条件可得函数的图象特征是“一撇”，在第一象限内，又图象关于轴对称，故选B项。

    评注：一般地，函数的图象可由的图象先得到在第一象限内的部分，再由图象关于轴对称得到。

3.伸缩变换

例16.在同一坐标系中，直线与函数，，，的图象依次交于A、B、C、D四点，则这四点由上而下依次为  （   ）

A．ABCD          B.DCBA          C.BCDA          D.CABD

解：因为函数的图象可由图象的纵坐标拉伸（横坐标不变）而得，函数的图象可由图象的纵坐标拉伸（横坐标不变）而得，又函数

与，与的图象分别关于轴对称，画图可知交点A、B、C、D自上而下排列。故选A项。

评注：一般地，函数的图象可由图象的纵坐标伸缩（横坐标不变）得到。

4.翻折变化

例17.函数的递减区间、递增区间分别是  （   ）

A.，                  B.，  

C.,                    D., 

解：因为，所以可把函数的图象向下平移个单位得到函数的图象，再把轴下方的部分向上翻折即得函数的图象，从而知递减区间、递增区间分别是，。故选A项。

评注：一般地，函数的图象可由的图象在轴下方的部分向上翻折得到。

最后，是指数函数图象的性质的一些妙用：

5.比较指数幂的大小

例18.比较下列两个指数幂的大小

（1）         ；

（2）         ；

（3）         .

解：（方法一）（1）属于同底不同指数幂的比较大小，直接利用单调性得；

（2）属于不同底而指数相同的指数比较大小，可以运用是增函数得

；

    （3）属于不同底不同指数的比较大小，找中间变量，得.

评注：指数幂比较大小的问题有三种类型：同底不同指；不同底同指；不同底不同指。除上述解法外，还有“数形结合”法，即将要比较大小的幂指数函数的图象画在同一坐标系中，按指数画出竖线得交点交点靠上的对应数值较大。

解：（方法二）（1）作出函数图象和直线、，如图11-1所示，得交点A、B。

由于点A在点B的上方，故； 

（2）作出函数图象、和直线，如图11-2，得交点C、D。

由于点C在点D的上方，故；

（3）同上画出图象，进行比较。

例19.已知，它们互不相等，比较与的大小。

解：若则，，；

若则

故当时，.

同理可得，当时，；当时， 

=

例20.（2008年安徽高考题）在同一平面之骄傲坐标系中，函数的图象与的图象关于直线对称，而函数的图象与的图象关于轴对称。若，则的值为  （   ）.

A.            B.            C.            D. 

分析：依题意得点位于函数的图象上，点关于轴的对称点必位于的图象上，点关于直线的对称点位于函数的图象上，因此有，。

解：答案选B项。

6.求参数的范围

例21.当时，的值总大于，则实数的取值范围  （   ）

A．       B．       C.       D． 

解：作出两条指数函数图象。如图12-1。因为当时，的值总大于，作直线的交点在轴上的投影对应值为由图象看出，于是有，解得。故选D项。

                                       图12-1

（三）函数的单调性问题

1.比较大小

例22.比较与的大小。

分析：此题是以为底的两个指数函数值大小的比较，应先比较指数幂的大小。

解：是单调递增函数， 

若，即，

若，即时，有，

若，即时，有，

例23.（2009年江苏高考题）已知函数若实数、满足，则、的大小关系为                 。

分析： ，为R上的减函数，由可知，故填.

解：.

评注：一般比较同底数幂的大小，即依据指数函数的单调性。

2.解指数不等式

例24.当为何值时， 

分析：此题底数不同，则首先考虑能否化成同底数，然后根据指数函数的性质求出

的最值范围。

解：不等式等价于

是单调递减函数，

原不等式的解集是

3.解指数方程

例25.解方程

分析：此方程是由三个不同底数的指数式构成的，且左边是和函数，所以不能直接用单调性来求解。由观察知是方程的一个根，那么方程还有其他的根吗？即中是否含有方程的根？由此启发我们考虑构造指数函数，用单调性来处理。

解：原方程等价于

构造函数，显然，当时， 即是原方程的根。

又当时都是减函数，即时减函数。

当

当

原方程只有一个根.

例26.（2008年上海高考题）已知函数

（1）若，求的值；

（2）若对于恒成立，求实数的取值范围。

解：（1）当时，；当时， 

由条件可知，即；

解得：.

（2）解：当时， 

即

， .

故的取值范围是

4.指数函数的单调性

例27.（2011年江苏苏州测试题）已知

（1）求函数的单调区间； 

（2）与的大小.

解：（1）由

可作出函数的图象如图16-1所示。因此函数在上递减；函数在

上递增。

                                     图16-1

（2）

    即当时，；同理当，；当时，.

例28.（2009年湖南高考题）设函数在内有定义，对于给定的正数，定义函数取函数，当时，函数的单调递增区间为  （   ）.

A.       B.       C.       D. 

分析：当时， 的单调递增区间为.

解：答案选C项。

例29.（2007年山东高考题）设函数与的图象的交点为，则所在的区间是  （   ）.

A．         B.          C.          D. 

分析：考查函数，则为R上的递增函数。且为连续函数，，， .

    解：答案选B项。

（四）求指数函数的最值

例30.已知，求的最小值与最大值。

分析：先对函数进行变形转化为的二次函数，换元后求最值。

解：原函数可化为

令，由，为增函数，知

，

时，有最大值；当时，有最小值.

评注：解形如的函数一般要做一下转化：令

，便有，转化为在闭区间上的二次函数求最值问题。

（五）指数函数的定点问题

例31.判断是否有恒通过的定点？

解：令，即，则.

函数恒通过定点.

    评注：指数函数的函数值为时，自变量取，即函数恒通过定点（即不管取何值，指数函数都恒过点）。在研究与指数函数有关的复合函数时，常令指数为，以发现该函数通过的定点。

（六）讨论形如函数的性质

例32.已知函数.

（1）求的定义域和值域；

（2）证明：；

（3）讨论的单调性。

分析： ，通过分离常数，使变量集中，那么讨论函数的性质就比较容易了。

（1）解： .

由，故的定义域为R.

又，则有.

故的值域为

(2)证明： ，

且定义域为R.

（3）解：对进行分类讨论：

1当时，由为增函数，得为减函数，则

为增函数；

2当时，类似地，可得为减函数。

故当时，在R上为增函数；当时，在

R上为减函数。

评注：此题（3）中，若，则为增函数，增，也增，此时无法判断的增减性。造成这一困难的原因在于：变量分布的“范围”太大，因而变化因素不集中，通过分离常数，使变量集中于分母，就容易判断其增减性了。

这种变量集中的思想在数学解题中具有广泛的应用。如二次函数求最值时，常常使用配方法，就是这种思想的体现。

（七）与指数函数有关的复合函数问题

求复合函数“”型函数的单调区间，特别是指数函数与二次函数的复合

的单调性问题，满足“同增异减”法则。

例33.已知函数，求它的单调区间。

分析：这是一个复合函数问题，注意应用复合函数单调性的判断方法。

解：令，则是关于的减函数。

令，则在上是减函数，在上是增函数，可得在上是增函数，在上是减函数。

评注：问题的一般结论为：复合函数为增函数，则的单调性相同；若为减函数，则的单调性相反。

例34.（2011年江西九江模拟题）已知函数在区间上为减函数，求的取值范围。

解：由知，函数在上是减函数，在

上是增函数。

当时，是减函数，

故当时，为减函数，

此时，同理时.

当时，在上为减函数。

的取值范围为.

评注：根据指数函数的定义，研究指数函数通常从分析底数开始，当底数时，指数函数是增函数；当时，指数函数为减函数。形如的单调性要根据两函数在相应区间上的单调性确定。其单调性遵循同增异减的规律。

（八）指数函数的综合问题

在讨论指数函数的性质或利用其性质解决问题时，应特别注意函数的底的取值是还是，其单调性的确定涉及分类讨论的思想。

例35.已知，.试判断在定义域上是否为单调函数？若是，是增函数还是减函数？

解：设，则，

，

即.

.

的定义域是.

设，则

，

若，则

此时，

，即.

同理若，则.

综上所述，当且时，在上单调递增。

例36.（2011年湖南十二校联考题）已知函数是奇函数，则当时，，设的反函数是，则               。

分析：函数是奇函数，当时，，

则设令，得，故填.

答案：.

例37.（2011年四川成都诊断题）已知定义域为R的函数是奇函数。

（1）求、的值；

（2）证明：函数在R上是减函数；

（3）若对于任意，不等式恒成立，求的取

值范围。

解：（1）是R上的奇函数，

故即，.

且恒成立，即

（2）设.

.

，则， 

故函数在R上是减函数。

（3）由于是减函数，不等式，

可变形为，

，

即，.

小结：学习了指数函数的定义、图像和性质以及应用。关键要抓住底数a>1 和1>a>0

时函数图像的不同特征和性质是学好本部分的关键；其次是复合函数问题，对于函数，它的定义域与一致，值域是先确定的值域，再根据指数函数的值域、单调性来确定。当涉及复合函数单调性的问题时要加强注意“同增异减”的原则；最后是综合问题，在此部分要灵活掌握指数函数的性质和单调性，重点是学会分类讨论思想。

以上仅是对高学课程中的指数函数问题进行了简单的例析。主要分为两大块：指数和指数函数。在每一部分都有知识要点和典型例题加以深入研究分析。

指数中有：次方根的概念；根式运算；指数幂的意义；分数指数幂和整数指数幂的异同；有理数指数幂的运算性质与整数指数幂的运算性质。

指数函数分为：指数函数的定义域及值域；指数函数的图象；指数函数的单调性；指数函数的最值；形如函数的性质；与指数函数有关的复合函数问题；指数函数的综合问题。

指数函数属于“数与代数”领域，是在已经学习一次函数、二次函数的基础上，再一次进入函数的范畴，让大家进一步理解函数的内涵，并感受到现实中存在各种函数。函数是高中数学学习的重点和难点，函数的思想贯穿于整个高中数学之中，是重中之重。经过大量的例题分析和考试真题，希望对学习此部分知识的学者有一定的帮助，加深对指数函数的理解。

注释：

[1] 王后雄.湖北省特级教师，中国化学教学专业委员会会员，《中学生理科月刊》杂志主编。

参考文献：

[1]王后雄：高考完全解读，接力出版社发行，2011年3月第5版。

[2] 徐美琴 许三保编：指数函数和对数函数，1978年10月第2版。

[3]曲一线：三年中考两年模拟，2011年3月第4版。

[4]人民教育中学数学组：数学及解题指导，人民教育出版，2009年3月第3版。

[5]广州教育局研究室：高考备考指南，华南理工大学出版，2009年4月第3版。